sbor

б) на каждом промежуточном этапе расчетов корректно записывать результат,

производя соответствующие округления, а не выписывать все 6-9 знаков после

запятой, которые имеются на табло калькулятора.

Запомните!

Точность

результата

не

может

быть

повышена

путе

искусственного расширения набора разрядов в математических операциях с

числами.

2. Обработка результатов

измерений, расчет величин

x

, sx ,

s

, и других

x

представляет собой довольно трудоемкую работу, которая

может быть

существенно облегчена. Обратите внимание на свой калькуля.торВ ряде

калькуляторов

может

существовать

набор

функциональных ,

клави

позволяющих

существенно

ускорить

статистическую

обработку

данных

измерений, например клавиши

Sx, Sx2 , sn , sn-1

и другие. Особенно удобны т.н.

научные

калькуляторы (scientific

calculator), имеющие

функцию ,,STAT’’

(статистика), с клавишами

x

,

s, s,

используя которые (после ввода исходных

данных), можно очень быстро вычислить указанные величины.

Внимание! В мировой практике, в теории вероятности и математической

статистике

для

обозначения

с.к. .огенеральной

совокупности

используется

буква s. Эта же буква используется в калькуляторах. Однако (в последнем случае) это лишь совпадение в обозначениях.

Вкалькуляторах с функцией,,STAT’’ клавише с обозначениемs

соответствует следующая математическая операция: s = S(xi - x)2 . Клавиша s n

соответствует sx ,

определяемой так: sx

=

Σ(xi

-

x)2

(см. соответствующую

n

-1

формулу в разделе 1.2.2.).

соответствие следующее: σn º σ ; σn -1 º sx

В калькуляторах с клавишами sn , sn-1

Подчеркнем, что

в

различных

типах калькуляторов могут иметь место

различия

между

обозначением

клавиши и выполняемой математиче

ской

операцией.

Поэтому,

предварительно

целесообразно выяснить, по каким

формулам определяются те или иные статистические величинывашем калькуляторе. Можно также, взяв 5-6 чисел, и используя приведенные выше формулы, найти и сравнить результаты расчета вручную и на калькуляторе.

Часть 2 (практическая). Проведение и обработка прямых и косвенных

измерений

Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, измеряемые тела. Цель лабораторной работы:

1)научиться пользоваться измерительными приборами: штангенциркулем и микрометром;

2)провести прямые измерения линейных размеров одного из предметов

(стержень, параллелепипед, кольцо или другой предмет); 3) определить погрешности прямых измерений;

11

4) найти объем предмета и погрешность его определения.

Инструменты для измерения размеров

Штангенциркуль. Схема одного из его видов показана на рис.1а. Он состоит из двух основных частей: неподвижной части 1, на которой нанесена шкала 3 с миллиметровыми делениями (на рис.1а они не показаны) и подвижной каретки 2 со вспомогательной шкалой нониусом4. Нониус позволяет измерить доли миллиметра. Цену нониуса можно определить, разделив 1мм на число делений

шкалы нониуса. Обычно цену деления нониуса указывают на приборе внизу шкалы нониуса, например: 0,1мм; 0,05мм. В данном штангенциркуле цена деления нониуса равна 0,05мм. На шкале нониуса нанесены цифры: 0; 25; 50; 75 и 1, что означает (в частности) 0,25; 0,50 и 0,75мм.

Измеряемый предмет располагают между верхней или нижней парой губок 5, перемещая каретку 2. Сильный нажим недопустим, т.к. может привести к деформациям измеряемого тела или губок. Зажав предмет между губками, винтом 6 закрепляют каретку, чтобы она случайно не сместилась. Возможен другой способ: устанавливают между предметом и губками небольшой зазор (~0,1-0,3мм) при открепленном винте 6. Затем, закрепив винт 7, вращают винт 8, перемещая каретку 2 до соприкосновения губок 5 с предметом, что позволяет более плавно переместить каретку 2 и точнее выполнить измерения.

На рис.1б показана часть основной шкалы с нониусом. Отсчет производят так:

1)целое число миллиметров определяют по основной шкале от её “0,, до “0,,на нониусе;

2)найти совпадающие штрихи на нониусе и на основной шкале и по шкале нониуса определить сотые доли миллиметра. На рис. 1б отсчет такой: 11,35мм. Результат должен быть кратен 0,05.

Микрометр позволяет измерить длины с точностью до0,01мм. Его устройство показано на рис.2. Части 1 и 2 представляют одно целое. Относительно подковообразной части корпуса1 микрометра перемещается подвижный стержень 3, представляющий собой конец микрометрического винта с шагом

12

0,5мм (находится внутри корпуса2). Винт соединен с барабаном4, на конической части которого нанесена шкала– 50 делений. Барабан 4 можно вращать за головку5, но непосредственно перед контактом стержня3 с измеряемым телом необходимо вращать за предохранительную головку6 – “трещотку,,.

Вращение следует прекратить сразу после появления треск!аЭто предохранит микрометр от поломки.

Рис.2.

На цилиндрической части корпуса 2 находится осевая линия 7, ниже которой

нанесена	основная	миллиметровая шкала с нулевым делением“0,,. Выше
осевой	линии 7	нанесена вспомогательная шкала, причем её деления

расположены посередине делений основной шкалы. Поворот барабана 4 на одно деление соответствует перемещению стержня3 на 0,01 мм, а полный оборот барабана 4 – на 0,5мм.

Если микрометр исправен, то при соприкосновении стержней3 и 3¢ (до первых щелчков трещотки 6) край барабана 4 (обозначен 8) совпадет с “0,, на нижней шкале. Если нет – то соответствующее показание надо записать и его следует учесть в последующих измерениях. Если несовпадение больше 0,5мм, то микрометр надо заменить. Зажав предмет между стержнями3 и 3¢ (с помощью головки 6), производят отсчет. По нижней шкале отсчитывают целое число миллиметров от “0,, до края 8 барабана 4. Число сотых долей мм можно найти двумя способами. Во-первых, оцените “на глаз,, расстояние L. Это можно уверенно сделать с точностью до 0,1мм. Если величина L £ 0,5мм и на вспомогательной шкале не открыто полностью вспомогательное деление9, то необходимо к отсчету целого числа мм по основнойшкале добавить только число сотых долей мм на барабане напротив осевойлинии 7. Если открыто вспомогательное деление 9, то к отсчету сотых долейна конусной шкале барабана надо добавить еще 0,50мм. Таким образом, деления вспомогательной шкалы позволяют оценить: надо к отсчету на барабане прибавлять0,50мм или нет. На рис.2 отсчет такой 7,60=7,00+0,50+0,10.

Заметим, что в ряде случаев, трудно оценить нужно ли прибавлять 0,5мм или нет. Тогда, открепив измеряемый предмет, надо повернуть барабан 4 на 200-300 взад-вперед и посмотреть открыто или закрыто вспомогательное деление9, одновременно оценивая величину L.

13

Измерения и обработка результатов измерений

Для выполнения работы необходимо в методическом кабинете(ком.512) получить инструменты (штангенциркуль и микрометр) и два измеряемых предмета (стержень {или трубку} и параллелепипед) Если студент делает лабораторную работу один, то можно ограничитьсяизмерением одного из предметов.

Каждый из двух студентов бригады проводит измерениятолько одного из предметов; сначала, например, штангенциркулем, а затем микрометром. В это

время	другой	студент		проводит		измерениясвоего	предмета	сначала
микрометром, а		затем штангенциркулем.				Выбор предмета	проведите	заранее
(чтобы подготовить соответствующие таблицы).
	Неоднородность				предмета
геометрическим		параметрам		и	шероховатость
поверхностей		обуславливают			случайные
ошибки измерений.
Прямые измерения. Последовательность действий							при измерениях и
обработке измерений.

1.Установить величину систематической ошибки используемого прибораd и занести её в таблицу

2.Измерить штангенциркулем и микрометром величиныh и d (для стержня). Количество измерений должно быть порядка5-7. Все измеряемые величины необходимо сразу заносить в таблицы заранее подготовленные в лабораторном журнале (см. образцы).

Внимание. Таблицы для записи измеренных величинa,b,c параллелепипеда необходимо составить самостоятельно по аналогии с приведёнными ниже для стержня. Величина а измеряется штангенциркулем, b и с – микрометром. Примечание к п.2. В практике измерений, чтобы оценить имеют ли место

случайные ошибки и сколь они существенны по сравнениюd,с необходимо выполнить 3-4 пробных измерения величины .хЗатем надо найти диапазон изменения измеренных значений х: Dх = хmax-хmin и сравнить его с величиной d. Возможны следующие случаи:

а) Dх < d,	т.е. случайные ошибки несущественны; в						этом случае	результат
измерения может записан так:		х =	x	± d , где	x	= хср = (хmax + хmin) ¤ 2. Заметим,
что часто	после проведения	серии из3-4			измерений		выясняется,	что для

записи окончательного результата достаточно располагать всего лишь одним измерением. Однако для выяснения этого факта эксперимент с получением серии измерений совершенно необходим, т.к. такой исход не может быть предсказан заранее;

б) Dх > d, случайные ошибки существенны и необходимы последующие измерения для оценки их величины.

В данной лабораторной работе запись измерений пробной и основной серий производится в одной таблице.

14

Таблица 1

Таблица 2

Штангенциркуль

Микрометр

hi

s

d hh

di

s

d hd

h

d

h

d

мм

мм

мм

мм %

мм

мм

мм

мм %

n

1

2

…

7

3.Обработка измерений. Рассчитать величины h и d и занести их в таблицу.

4.Для данного числа n измерений и выбранного значенияb найти по таблице соответствующее значение коэффициента Стьюдента t

5.Найти величины t sh и t sd и сопоставить их с соответствующими величинами

d. Далее

при

выборе

вида

ошибки

руководствоваться.1.2.3.(стрп.7)

Обязательно

письменно

привести

обоснование

выбора

вида

ошибки

измерений в данном случае: d, ts

x

или e.

6.Записать окончательный результат в виде: х = x ± ошибка.

Например, h = h ± tsh = 6,35 ± 0,76 (мм) ; n=7, b=0,95, t=2,36.

7.Вычислить относительную погрешность h для прямых измерений.

Косвенные измерения

В

этой

части

лабораторной

работы

находят

объём

стержня

параллелепипеда

по

формуламV = S × h = (pd2

4)× h

и

V = abc .

В

указанные

формулы подставляют средние значения величин, айденные из обработки

прямых измерений:

,

,

a

и т.п.

d

h

Расчет

средней

квадратической

погрешности

определения

объё

~

sV проводят в следующей последовательности:

а) рассчитывают относительную погрешность по формуле:

2

æ s

ö

2

æ

s

ö2

æ s

ö2

æ s

ö2

V

d

h

π

ηV

= ç

÷

= ç

2

÷ + ç

÷ + ç

÷ .

V

d

è

ø

è

ø

è

h ø

è

π ø

Величину p считать заданной в виде:

p

=3,14±0,005.

Примечание. Известно: p=3,14159…; e=2,71828…; g=9,86… и т.п. В подобных

случаях случайную ошибку определяют как половину разряда, следующего за

последним

значимым

разрядом. Например, выбрав g=9,8м/с2

,

имеем:

g=9,8±0,05 м/с2.

Кроме этого, на стендах лабораторных работах указывается,

например, масса тела m=15г или плотность шарика r=2,6г/см3. Для указанных

случаев: sm=0,5г ; sr=0,05 г/см3.

=

б) величину s

находят по формуле: s

×hV ;

V

V

V

в) результаты расчётов заносят в соответствующую таблицу (см.ниже);

15

г) окончательный результат расчётов представить в виде: V= V ±sV .

Стержень

Параллелепипед

s

hV

s

hV

d

h

V

a

b

c

V

V

V

мм

мм

3

ммм3

%

мм

мм

мм3

мм3

%

Аналогичные действия проводят при определении объёма параллелепипеда и погрешности его определения. Формулу для hV параллелепипеда вывести

самостоятельно (см. раздел 2. Математическая	обработка	косвенных
измерений).

Контрольные вопросы:

1.Как определяется погрешность прибора?

2.Как называются статистические характеристики случайных погрешностей (выборочные оценки) и как они определяются?

3.Что такое доверительный интервал и как он определяется?

4.Как определяется суммарная погрешность при прямых измерениях?

5.Что такое промах и как его выявить?

6.Как решается вопрос о выборе необходимого числа измерений?

7.Составьте (на основе прочитанного) алгоритм последовательности действий при обработке прямых измерений.

8.Составьте (на основе прочитанного) алгоритм последовательности действий при обработке косвенных измерений.

9.Найдите вид формулы относительной погрешности h для следующих

	функций: а) g = 4π2l T2 , где l и Т — переменные величины; б) z =	х	;
		х + у
	в) y=x2 sina; х и a находят путем прямых измерений.

16

Лабораторная работа № 101

Проведение и обработка прямых и косвенных измерений

Принадлежности: штангенциркуль, микрометр, измеряемые тела.

Краткая теория

1. Основные понятия

В реальных условиях все измерения имеют погрешности, которые можно разделить на две группы: систематические и случайные.

Систематические погрешности возникают, в основном, из-за ограниченной точности измерительных приборов, а также вследствие закономерных воздействий на процесс измерений. К закономерному искажению экспериментальных результатов приведет, например, наличие массивного металлического тела недалеко от места проведения измерений с помощью компаса; влияние параллакса на считывание результатов измерений со шкалы ....

Случайные погрешности появляются вследствие случайного характера самой измеряемой величины и из-за незакономерных воздействий, искажающих результаты измерений. Примерами незакономерных воздействий на процесс измерений могут служить вибрации деталей лабораторных установок, невнимательность при снятии показаний и так далее. Со случайным характером измеряемой величины мы встретимся, например, с достаточно высокой точностью измеряя температуру воздуха в лаборатории, так как температура воздуха испытывает небольшие колебания даже при постоянных условиях.

Случайные погрешности приводят к получению разных результатов при повторных измерениях, проведенных в одинаковых условиях. При этом характерно примерно симметричное распределение данных около среднего значения измеряемой величины.

Измерения физических величин делятся на прямые и косвенные.

При прямых измерениях значение величины определяютнепосредственно с помощью прибора (например, длину ребра куба с помощью линейки).

При косвенных измерениях искомую величинурассчитывают по фор-

муле, в которую входят результаты прямых измерений и заданные значения вспомогательных величин и констант. Примером косвенных измерений может служить определение объема куба путем возведения в кубическую степень длины его ребра, измеренной с помощью линейки.

Абсолютная и относительная погрешности Из-за наличия погрешностей результаты измерений(как прямых, так и

косвенных) всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины. В качестве одной из характеристик серии измерений обычно используют среднее арифметическое значение

1 N

xN = å xi , (1)

N i=1

17

где xi — результат iго измерения, а N — количество проведенных измерений.

Абсолютная погрешность e показывает — на сколько среднее значе-

ние (1), рассчитанное по данным конкретной серии измерений, отличается от истинного значения (измеряется в тех же единицах, что и сама измеряемая величина).

Предназначение относительной погрешности показать — на сколько процентов мы ошиблись при проведении измерений. Поэтому за 100% следовало бы принять истинное значение измеряемой величины. Но истинное значение всегда неизвестно. Поэтому за 100% обычно принимают известную величину, которая наиболее близка к истинному значению: среднее арифметическое в серии (1). Таким образом, относительная погрешность находится по

формуле
h =	e	´100% .	(2)
	x
Методы оценки абсолютной погрешности e			обсуждаются ниже.

Систематическая погрешность при прямых измерениях

В качестве систематической погрешности прямых измеренийeсист будем рассматривать систематическую погрешность прибора. Для приборов со шкалой (кроме электроизмерительных) — линеек, штангенциркулей, секундомеров, оптических измерительных приборов и т.,п систематическая погреш-

ность eсист равна наименьшему делению шкалы прибора. Для цифровых приборов eсист совпадает с единицей наименьшего учитываемого разряда по индикатору прибора. При отсутствии случайной погрешности(нет разброса значений в серии измерений) eсист ограничивает сверху разность между измеренным и истинным значениями, а значит, является абсолютной погрешно-

стью e .

Если значение физической величины не определяется путем измерений, а задано, то за систематическую погрешность примем погрешность округления,

то есть половину единицы последнего	заданного десятичного знака. Напри-
мер, если дано, что g= 9,8 м/с2, то eсист	= 0,05 м/с2; если же g= 9,81 м/с2, то
eсист = 0,005 м/с2 .

Вероятность случайного события При рассмотрении случайных погрешностей нужно знать, что такое веро-

ятность. Вероятностью случайного события называют долю опытов, которая приводит к желаемому результату, если общее число опытов является достаточно большим (строго говоря, стремится к бесконечности). Другими словами, если при общем достаточно большом числе опытов N интересующее нас событие наблюдалось в N1 случаях, то вероятность этого события

P » N1 . N

Предположим, мы бросаем монету и нас интересует выпадение«решки». Если монету бросить 10 раз, то «решка» в принципе может выпасть любое ко-

18

личество раз от 1 до 10. Если же монету бросить тысячу раз, то число выпаде-

ний «решки» будет близко к пятистам, то есть отношение N1/N	будет мало от-
личаться от 0,5. И чем больше N — тем ближе отношение N1/N	к 0,5. Именно
это и означает, что вероятность выпадения «решки» равна 0,5.

Случайная погрешность, доверительный интервал Как уже отмечалось ранее, случайная погрешность приводит к тому, что

результаты измерений физической величины, проведенных при одинаковых условиях, оказываются разными. Более того, средние арифметические значения, рассчитанные по данным разных серий, также не совпадают друг с другом. Понятно, что чем длиннее серия, тем более достоверную информацию об измеряемой физической величине мы получаем. Поэтому под истинным значени-

ем физической величины при этих условиях понимают предел, к которому

стремится среднее арифметическое значение(1) при стремлении числа опытов в серииN к бесконечности. Понятно, что в принципе невозможно провести столь длинную серию измерений, которая гарантировала бы совпадение среднего арифметического с истинным значением измеряемой величины. Поэтому цель экспериментатора оценить— на сколько среднее арифметиче-

ское, рассчитанное по результатам

t m

x

tm

x

конкретной

серии измерений, отли-

чается

от

истинного значения. Де-

x - tm

x

x

x

+ t m x

x

и с т

лается

это путем расчета доверитель-

Р и с .

1 .

ного интервала, которым называется

интервал, с заданной вероятностью

содержащий

истинное

значение.

Приведем алгоритм расчета до-

верительного интервала по разработанному в математической статистике методу Стьюдента:

1.Для проведенной серии изN измерений по формуле(1) рассчитывается среднее арифметическое значение xN .

2.Вычисляется среднее квадратичное отклонение среднего арифметическо-

го

N

å( xi - xN )2

	m	x	=	i=1	. (3)
				N (N -1)

3.Задается вероятность b , с которой истинное значение попадет в рассчитываемый доверительный интервал( b называют коэффициентом на-

дежности).

4.По таблице1 находится коэффициент Стьюдента t = f (N , b ) , который зависит от количества измерений N в проведенной серии и от заданного значения коэффициента надежности b .

5.Рассчитывается полуширина доверительного интервала t × mx , которая в обе стороны откладывается от среднего арифметического значения(на рис.1 доверительный интервал выделен жирной линией).

19

Коэффициент надежности b имеет следующий смысл: если провести К однотипных серий измерений и для каждой из них рассчитать доверительный интервал с одним и тем же значением b , то при достаточно большом значении

К примерно b × K доверительных интервалов будет содержать истинное значение. Например, если серий 1000, а коэффициент надежности равен0,98, то число доверительных интервалов, содержащих истинное значение, будет близко к 980.

При заданной надежности b полуширина доверительного интервала ограничивает сверху абсолютное значение разности среднего и истинного значе-

ний (рис. 1). Поэтому абсолютная случайная погрешность — это полуши-

рина доверительного интервала:

eслуч = t ×m

x

.

(4)

Если число опытов в серии N ³ 30 , то при коэффициенте надежности b = 0,68 коэффициент Стьюдента t » 1, то есть eслуч » mx .

Таблица 1. Коэффициент Стьюдента находится на пересечении строки с заданным значением N и столбца с заданной величиной b

b	0.90	0,95	0,98	0,99	0,999
N
3	2,92	4,30	6,97	9,93	31,60
4	2,35	3,18	4,54	5,84	12,94
5	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
6	2,02	2,57	3,37	4,03	6,86
7	1,94	2,45	3,14	3,71	5,97
10	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
20	1,73	2,09	2,54	2,86	3,88

2. Методика обработки результатов прямых измерений

1.Установить систематическую погрешность измерительного прибора eсист и записать ее.

2.Провести серию измерений. Если все показания прибора совпадают между собой, то случайной погрешности нет, и результат измерений следует представить в виде

x = xпр ± e ,

где xпр —показание прибора. а e = eсист — абсолютная погрешность.

3.Если не все результаты измерений совпадают между собой, то нужно рассчитать случайную погрешность, последовательно применяя формулы (1), (3) и (4). Используемое при этом значение коэффициента Стью-

20