sbor

ηD = ε D 100ּ%

D

Относительная погрешность указывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от среднего арифметического значения измеряемой величины.

6. Для каждой из трех проведенных серий измерений результат представьте в виде:

D = (D ± eD ) мкР/ч

Проделайте этот комплекс обработки измерений для каждой серии и заполните графы таблицы I для mD ,eсист ,eсл , η. Обратите внимание как изменя-

ется mD в зависимости от числа измерений, как ведет себя коэффициент Стьюдента при изменении числа измерений N и коэффициента надежности b

Контрольные вопросы

1.Что такое доверительная вероятность (коэффициент надежности) ? Каков ее смысл?

2.Что такое доверительный интервал ? Каков его смысл?

3.Как изменяется среднее квадратичное отклонение среднего арифметического при увеличении числа измерений?

4.Как изменяется коэффициент Стьюдента при увеличении коэффициента надежности? Почему?

5.Что такое абсолютная погрешность, относительная погрешность?

6.Как рассчитать абсолютную погрешность прямых измерений при наличии систематической и случайной погрешностей?

Литература

1.Савельев И.В. Курс общей физики, т. 3, -М.: Наука, все издания.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики, т. 3, -М.: Наука, все издания.

3.Трофимова Т.И. Курс физики , -М.: Высшая школа, все издания.

31

Лабораторная работа № 102

Определение скорости полета пули при помощи физического маятника

Приборы и принадлежности: физический маятник, пружинная пушка, две пули, линейка.

Цель работы: ознакомление с одним из методов определения скорости быстродвижущихся тел.

Теория метода

В основу определения скорости быстродвижущихся тел при помощи физического маятника положены законы сохранения момента импульса и энергии.

Физический маятник представляет собой твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси O, не проходящей через его центр масс С (см. рис.1).

Рис. 1. Физический маятник.

В маятник массы М стреляют пулей, имеющей массу m (m<<М) и скорость v.

После удара центр масс маятника поднимется на высоту Н и сместится в

С

горизонтальном направлении на величинуS/2, если конец маятника смещается на S.

Полагая удар абсолютно неупругим, запишем закон сохранения момента

импульса в виде
I1w1 = (I1 + I) w,	(1)

где I1×w1 — момент импульса пули относительно точкиO; (I1 +I)×w — момент импульса мятника и пули после неупругого удара.

Момент импульса пули можно представить так: I1w1 = m x2×(v/x) = mvx, (2)

где х — расстояние от оси вращения O до точки удара пули.

32

Подставив формулу (2) в выражение (1)				и	полагая I1<<I (т.к. m<<M),
получим:
mvx = Iw,
откуда
V =	Iω	,	(3)
	mx
где I — момент инерции маятника относительно оси O равный
I= (Ml2) /3.				(4)
Закон сохранения момента импульса(1) можно применять не только к
замкнутым системам, в которых			внешние		силы отсутствуют, но и к

незамкнутой системе, если геометрическая сумма моментов внешних сил равна нулю. В момент удара на маятник будет действовать внешняя сила— сила реакции оси, но ее момент относительно оси вращения O равен нулю, т.к. линия

ее действия проходит	через	ось. Момент другой силы — силы		тяжести	—
относительно этой же оси в момент удара можно считать также равным нулю,
если процесс удара и торможения пули протекает за столь малый промежуток
времени Dt, что маятник за это время не успевает существенно отклониться от
вертикального положения.		Следовательно,	хотя система "маятник–пуля"
является незамкнутой, для нее справедлив закон сохранения момента импульса.
В настоящей	работе используется		баллистический	метод	изучения

быстропротекающего процесса (полета пули). При этом момент инерции физического маятника делают большим, чтобы: 1) за время удара маятник

практически		не	смещался		от положения		равновесия; 2) максимальное
отклонение маятника от положения равновесия было небольшим.
	Угловую		скорость w		маятника	после	удара		можно	,	найтиесли
воспользоваться законом сохранения механической энергии										в	замкнутой
системе "подвес–маятник–Земля". Если						пренебречь		трением в		подвесе и
сопротивлением воздуха, этот закон будет выполняться, так как в											системе
будут	действовать			лишь	силы	тяготения		и	, упругостиявляющеся
консервативными.

В момент максимального отклонения маятника от положения равновесия его кинетическая энергия, равная после удара пулиIw2/2, превращается в

потенциальную, равную MgHC. По закону сохранения энергии: Iw2/2 = MgHC,

откуда

w2 = 2MgHC . (5) I

Выразим HC через S – горизонтальное перемещение конца маятника, которое измерить в опыте проще, чем высоту подъема центра масс HC. На рис.1 видно, что

H C	=	H	=	L - L cos a	=	L	(1 - cos a) = L sin 2	a	.
	2		2		2		2

Поскольку углы отклонения маятника малы, то sin(a/2)»a/2 и S»a×L. Поэтому

33

æa		ö	2	S2
Hc=L ç		÷	=		.	(6)
	2
è		ø		4L

Подставим выражения (4) и (6) в формулу (5):

ω =	2Mg ×3		×S2	=		3g		× S .	(7)
	2	×	4L			3
	M × L					2L

Возвращаясь к формуле (3), получаем для скорости пули окончательное выражение:

V =

Iw

=

ML2S

3g

=

MS

gL

.

(8)

3

mx 3mx

mx

6

2L

Описание установки

Установка для определения скорости пули(рис. 2) состоит из массивной подставки 1, пружинной пушки 2 и стойки 3, к которой подвешен физический маятник 4, выполненный в виде деревянной доски. К нижней части доски прикреплена чашка 5 с пластилином. Расстояние "х" следует измерять от точки попадания пули до оси подвеса маятника. С целью удобства его можно отсчитывать от линии a-a, учтя, что Оa =45 см. Для определения перемещения нижнего конца доски в горизонтальном направлении имеется шкала6 с вертикальными штрихами.

Рис.2. Схема лабораторной установки.

Измерения и обработка результатов

1. Занесите в таблицу 1 исходные данные для величин М, m, L, g и их погрешностей.

				Tаблица 1
M	mM	m	mm	L	mL	g	mg
кг	кг	кг	кг	м	м	м/с2	м/с2

34

2.Выровняйте поверхность пластилина. Произведите по пять выстрелов из пушки каждой из двух пуль, имеющих массы m1 и m2. При этом

будут получены две серии по пять измерений для горизонтальных перемещений Si маятника и соответствующих им расстоянийxi. Указанные величины (xi,Si) занесите в таблицу, которую составьте

самостоятельно.

3. Для каждой серии рассчитайте по методике обработки прямых измерений x , S , mx , mS .

4.Используя x и S , с помощью формулы(8) определите среднюю скорость каждой пули.

5.Рассчитайте относительную погрешность измерения скорости пули:

m

æ m

ö2

æ m

ö

2

æ m

ö

2

æ m

ö

2

æ m

ö2

æ mg ö

2

η

=

V

=

L

ç

M

÷

+ ç

m

÷

+ ç

S

÷

+ ç

X

÷

+ ç

÷ + ç

÷ .

V

2L

v

è M ø

è

m ø

è S ø

è

x ø

è

ø

è 2g ø

Среднюю квадратичную погрешность m

найдите по формуле

V

m

=

v

× η

.

V

V

Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 2.

Таблица 2

m

m

m

v

η

m

x

S

S

V

V

x

кг

м

м

м

м

м/с

-

м/с

Окончательно скорость каждой пули представьте в виде:

V= v ± mv .

Внимание! Несмотря на новую редакцию данной работы, в разделе «Измерения и обработка результатов» пока оставлены использующиеся в ранее изданных описаниях ряда лабораторных (работдо2006г.) обозначения средней квадратической погрешности буквойm, например, для величины х: mx , mx . В настоящее время, более правильным является использование других обозначений: sx и sx , что отражает использование их

в мировой практике: учебниках, калькуляторах и др. Более подробно см. описание лабораторной работы №100 «Проведение измерений и обработка их результатов».

	Контрольные вопросы
1.	Напишите закон сохранения момента импульса и	закон	сохранения
	энергии при условии, что удар пули в маятник абсолютно упругий и
	прямой.
2.	Напишите закон сохранения момента импульса, полагая, что удар пули в
	маятник абсолютно упругий, но пуля отскочила	от	маятника в

35

	горизонтальной плоскости под угломa к линии						первоначального
	движения.
3.	Укажите направление вектора момента импульса					пули относительно
	точки подвеса, лежащей в вертикальной плоскости, в которой движется
	пуля.
4.	Определите	период	свободных	колебаний			данногофизического
	маятника.

5.Как по данным о величине деформации и жесткости пружины пушки рассчитать скорость пули заданной массы?

Литература:

1.Савельев И.В., Курс общей физики, т. 1, -М.: Наука, все издания.

2.Трофимова Т.И., Курс физики, -М.: Высшая школа, все издания; главы 3

и 4.

3.Веревочкин Ю.Г., Механика, -М.: МИИГАиК, 2005; §45 — 47, 49, 50, 54.

36

Лабораторная работа № 103

Определение момента инерции крестообразного маятника.

Приборы и принадлежности: крестообразный маятник (маятник Обербека), два груза на длинных нитях, штангенциркуль, метровая линейка, секундомер.

Теория метода и описание установки

Моментом инерции Ii		материальной точки массой Dmi относительно оси
называют произведение	m ×r2 ,		где r — расстояние от материальной точки
до оси.	i	i	i
Твёрдое тело можно рассматривать как совокупность материальных
точек. Поэтому момент инерции твердого тела относительно оси равен
			I = å mi ×ri	2
			i

или в наиболее общей форме

Ι = ò r2 ρdV ,

где ρ – плотность вещества в элементе объёма dV , находящемся на расстоянии r от оси вращения.

m

Моменты инерции однородных тел простой геометрической формы (цилиндр, шар, стержень и др.) нетрудно вычислить. Но при сложной форме

37

поверхности, ограничивающей тело, и неравномерном распределении плотности аналитический подсчёт величины момента инерции может быть сложным. Поэтому определение моментов инерции тел сложной конфигурации, как правило, проводится опытным путём.

Целью настоящей работы является определение момента инерции крестообразного маятника, а также проверка выполнения закона сохранения и

превращения энергии для лабораторной установки.

Маятник состоит из шкива и четырёх стержней, укрепленных на одной

горизонтальной

оси.

На

каждом стержне закреплено по одной шайбе

одинаковой массы. Благодаря равным расстояниям шайб от оси обеспечивается

состояния безразличного равновесия маятника.

Нить с прикреплённым к её концу грузом массыm

поднимают

на

высоту

H.

Число оборотов,

которое маятник совершит до момента касания

грузом пола, можно рассчитать по формуле N1

=

H

, где

r – радиус шкива

2πr

(рис. 1).

Потенциальная энергия груза массой m,

поднятого на высоту H, равна

mg H . При опускании этого груза с высоты H на пол потенциальная энергия

груза превращается в кинетическую энергию

его

поступательного

движения

mV 2

Iω2

,

в

кинетическую

энергию

вращающегося

маятника

, а также во

2

2

внутреннюю энергию системы (благодаря работе, совершаемой силами трения).

Пусть

А –

работа, которая совершается за один оборот маятника силами

трения, действующими на его

ось( A < 0 ).

Тогда за время опускания груза с

высоты

H

до

пола

эти

силы

совершат

работуN

A , где

N

1

=

H

—

1

2πr

количество оборотов маятника(силы трения считаем

независящими от

скорости вращения маятника). Поэтому применительно к системе маятник-груз

выражение,

связывающее

изменение

механической

энергии

и

работу

трения, принимает вид

æ mV 2

Iω2 ö

- mgH = -N

A

,

(1)

ç

+

÷

ç

2

2

÷

1

где

V

è

ø

и

w — соответственно

скорость

груза

и угловая

скорость

вращения

маятника непосредственно перед касанием грузом пола.

После падения груза на пол маятник по инерции будет вращаться до тех

пор,

пока

кинетическая

энергия

Iω2

, которую

он

имеет

в

момент касания

2

грузом пола, не превратится во внутреннюю энергию системы. Для этого этапа

связь изменения механической энергии системы и работы трениязадается уравнением

0 - Iω2 = -N2 A ,

2

38

в котором N2 — количество оборотов маятника от момента касания грузом пола до полной остановки. Отсюда следует, что

A = Iω2 . (2)

2N2

Подставив уравнение (2) в уравнение (1), получим:

mgH =

mV 2

Iω2

N

1

Iω2

+

+

×

.

(3)

2

2

N2

2

Последнее

слагаемое

в

правой

части(3) показывает, какая

механическая

энергия из-за

работы

трения

за время опускания груза

перешла во внутреннюю энергию системы.

При сделанных предположениях маятник вращается равноускоренно,

груз опускается с постоянным ускорением a . Поэтому, если измерить время

t

падения

груза

с

высотыH, то,

используя

уравнения

кинематики

равноускоренного

движения, можно

вычислить

скорость груза

в

момент

касания пола. Действительно, так как H =

a t

2

и V = at , то

2

2H

V =

.

(4)

t

Если пренебречь растяжением нити, то скорость падения груза численно равна линейной скорости точек на ободе шкива. Следовательно, угловая скорость вращения крестообразного маятника равна

ω =

V

=

2H

,

(5)

r

где r – радиус шкива.

rt

разрешая его относительноI ,

Подставляя (4) и (5) в уравнение (3)

и

получаем:

I =

mr2

æ gt2

ö

ç

-1÷.

(6)

N1

ç

2H

÷

1+

è

ø

N2

Величины H, m, r, t, N2 , N1 , входящие в формулу(6), определяют экспериментально, а величину g считают известной с точностью до второго десятичного разряда: g = 9,81 м / с2 .

Измерения и их обработка

1. Измерить штангенциркулем диметр шкиваd=2r и записать погрешность этого измерения (систематическую погрешность штангенциркуля).

39

2. Измерить время паденияt1 груза m1 с высотыH1 до пола. Для этого свободный конец нити, снабжённый узелком, закрепить (но не связывать) за прорезь в шкиве, аккуратно намотать нить на шкив, поворачивая маятник вручную и поднимая груз, привязанный к другом концу нити на высотуH1 .

Включить	секундомер	и	одновременно	осторожно	освободить,					гр
предоставляя ему возможность опускаться. Остановить секундомер в момент
удара груза	о . полПровести		измерения для	трёх высот( H ,H		2	,H	3	),
					1

различающихся на 10-15 сантиметров.

3. После падения груза на пол, концевой узелок нити должен непременно выскочить из прорези шкива. При этом маятник продолжает вращаться по инерции. Сосчитать число оборотов, которое маятник совершает от момента удара груза о пол, до своей полной остановки N2 . По полученным данным для

каждой

высоты H1,H2 ,H3 ,

вычислить

соответствующие

величиныI1,I2 ,I3

согласно равенству (6).

аналогичные измерения и рассчитатьI4 ,I5,I6

4. Провести с новым грузом m2

для соответствующих высотH4 ,H5,H6 , которые могут совпадать или не

совпадать с H1,H2 ,H3 . Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1

t

H

2

2r

m

H

N1 =

N2

Ii

I

(I - Ii )

mI

2πr

м

кг

м

с

кг ×м2

кг ×м2

кг2 ×м4

кг ×м2

5. Подсчитать

среднее

значение

момента

инерцииI

и

абсолютную

погрешность его измерения

mI по формулам

å6 (

- Ii )2

I1 + I2 + ...+ I6

I

I

=

,

mI =

i=1

.

6

6 ×5

6. Результат измерений представить в виде доверительного интервала

I± mI .

7.Используя геометрические размеры маятника, рассчитать его теоретический

момент инерции IТ по формуле:

40