![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
3 Отношения эквивалентности на множестве латинских квадратов
Два латинских квадрата называют изотопными, если один из них может быть получен из другого в результате изотопии – композиции из перестановки строк, перестановки столбцов и замены элементов множества M по подстановке из симметрической группыS(M).
Изотопия является отношением эквивалентности, поэтому множество латинских квадратов n-го порядка разбивается на непересекающиеся изотопические классы. Из одного латинского квадрата можно получить с помощью изотопии (n!)3 эквивалентных, но некоторые из них при этом могут совпасть с исходным, это называется автопаратопией. Доля латинских квадратов с нетривиальной группой автопаратопий стремится к нулю с ростом n.[6]
Латинский квадрат можно рассматривать как ортогональный массив. Меняя порядок элементов в каждой упорядоченной тройке этого массива, можно получить 6 латинских квадратов, которые называются парастрофами. В частности, парастрофом является латинский квадрат, полученный в результате транспонирования.
Композиция изотопии и парастрофии называется изострофией. Это ещё одно отношение эквивалентности, его классы называются главными классами. Каждый главный класс содержит 1, 2, 3 или 6 изотопических классов. В случае совпадения исходного латинского квадрата и изострофного ему, говорят об автострофии. С ростом n почти все латинские квадраты имеют тривиальную группу автострофий.[10]
Число классов эквивалентности | ||
n |
Число главных классов |
Число изотопических классов |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
4 |
2 |
2 |
5 |
2 |
2 |
6 |
12 |
22 |
7 |
147 |
564 |
8 |
283657 |
1676267 |
9 |
19270853541 |
115618721533 |
10 |
34817397894749939 |
208904371354363006 |
11 |
2036029552582883134196099 |
12216177315369229261482540 |
4 Ортогональные латинские квадраты
Два латинских квадрата L=(lij) и K=(kij) n-го порядка называются ортогональными, если все упорядоченные пары (lij,kij) различны. Пример двух ортогональных латинских квадратов и соответствующие им упорядоченные пары:
Эйлер называл такие квадраты "полными". В его честь в научной литературе их раньше называли "эйлеровыми" или "греко-латинскими" (так как Эйлер использовал буквы греческого алфавитадля квадрата, ортогонального латинскому).
Ортогональные латинские квадраты существуют для любого n, не равного 2 и 6.
Латинский квадрат L n-го порядка имеет ортогональный ему квадрат тогда и только тогда, когда в L существует n непересекающихся трансверсалей.
Особый интерес в связи с многочисленными приложениями вызывают множества из нескольких попарно ортогональных латинских квадратов n-го порядка. Максимально возможная мощностьN(n) такого множества равна n-1, в этом случае множество называется полным.
При n, стремящемуся к ∞, величина N(n) тоже стремится к ∞.
Для n, являющегося степенью простого
числа, всегда существует
полное множество попарно ортогональных
латинских квадратов, его можно
взаимооднозначно сопоставить с конечной
проективной плоскостью порядка n. Для
его построения применяется метод Боуза,
использующий для заполнения квадратов
значениямногочленоввида fa(x,y)=ax+y при ненулевом a надполем.[3]Пример построения полного множества
попарно ортогональных латинских
квадратов 4-го порядка (d – корень
примитивного многочлена x2+x+1 над
):
Если n ≡ 1 (mod 4) или n ≡ 2 (mod 4) и свободная от квадрата часть числа n содержит хотя бы один простой множитель p ≡ 3 (mod 4), то для таких n полного множества попарно ортогональных латинских квадратов не существует.
Известные нижние оценки числа N(n) при n < 33 приведены в следующей таблице (выделены оценки, которые могут быть улучшены):
Нижние оценки числа N(n) | ||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
N(n)≥ |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
6 |
7 |
8 |
2 |
10 |
5 |
12 |
3 |
4 |
15 |
16 |
3 |
18 |
4 |
5 |
3 |
22 |
6 |
24 |
4 |
26 |
5 |
28 |
4 |
30 |
31 |
Построение ортогональных квадратов – сложная комбинаторная задача. Для её решения применяются как алгебраические конструкции, так и комбинаторные (трансверсали, ортогональные массивы, дизайны, блок-схемы, тройки Штейнера и др.) Существует несколько подходов к решению этой задачи, их можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы, основанные на выборе базового латинского квадрата, к которому отыскиваются изотопные ортогональные латинские квадраты. Например, пять попарно ортогональных латинских квадратов 12-го порядка были найдены в результате построения четырех ортоморфизмовабелевой группы, являющейсяпрямым произведениемциклических групп порядков 6 и 2.[2]
Ко второй группе относятся методы, использующие для построения ортогональных латинских квадратов комбинаторные объекты (включая сами латинские квадраты) меньших порядков. Например, два латинских квадрата 22-го порядка были построены Bose и Shrikhande на основе двух дизайнов 15-го и 7-го порядка.