4. Семантика букв алфавита алгебры высказываний

Рассмотрим значения букв, которые они имеют в классической двузначной логике.

1. Буквы первой категории- атомы принимает одно из двух возможных истинностных значений И или Л. И и Л в свою очередь интерпретируются как любое истинное и ложное высказывание.

2. Буквы второй категории- логические операторы ~. Значения этих букв раскроем в таблице.

A
И				Л
Л				И
A	B					A~B
И	И	И	И		И	И
И	Л	Л	И		Л	Л
Л	И	Л	И		И	Л
Л	Л	Л	Л		И	И

Записи , (А В), (А В), (А В), (А ~ В) читаются соответственно отрицание А, А конъюнкция В, А дизъюнкция В, А импликация В, А эквиваленция В. В этих записях буквы А и В называются соответственно конъюнктивными, дизъюнктивными, импликативными членами, членами эквиваленции; первый импликативный член называется антецедентом, второй В- консеквентом.

3. Буквы третьей категории- скобки- левая «(» и правая «)» – играют роль знаков препинания и самостоятельного смысла не имеют.

5. Истинностные значения и истинностные таблицы формул алгебры высказываний

Пусть формула А содержит п атомов Р₁, ..., Р_п. Так как каждый атом может принимать одно из двух возмож­ных истинностных значений И или Л, то различных возможных наборов значений п атомов Р_1, ..., Р_n имеется 2ⁿ.

Определение 3. Назовем интерпретацией формулы А алгебры высказываний всякий набор истинностных значений атомов, входящих в формулу А.

Данная формула в конкретной интерпретации сама принимает одно из истинностных значений И или Л которое определяется при выполнении в требуемом порядке всех предписываемых формулой логических опера­ций.

Определение 4. Таблица, содержащая всевозможные интерпретации формулы и соответствующие этим интер­претациям значения формулы, называется истинностной таблицей формулы.

Всякая формула характеризуется своей истинностной таблицей. Одна и та же таблица может отвечать раз­личным формулам.

6. Отношение равносильности формул

Определение 5. Формулы А и В называются рав­носильными, если во всех интерпретациях формул А и В, содержащих все атомы формул А и В, истинностные значения этих формул совпадают.

Равносильность формул А и В обозначается А В.

Очевидно, что равносильные формулы имеют одинако­вые истинностные таблицы, и наоборот, если истинност­ные таблицы формул совпадают, то они равносильны.

Отношение равносильности формул является отно­шением эквивалентности, т. е. а) А А для любой фор­мулы А; б) если А В, то ВА для любых формул А и В; в) если А В и В С, то А С для любых формул А, В, С. Поэтому множество всех формул разби­вается на классы эквивалентности — классы равносиль­ных формул. Все формулы из одного класса характе­ризуются одной и той же истинностной таблицей.