![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Санкт-Петербургский университет управления и экономики
- •2014 Оглавление
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Формирование исходных данных к задачам
- •Рекомендуемая литература
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
- •1.1. Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1.2. Определители 2-го и 3-го порядков
- •Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
- •Свойства определителей
- •1.3. Обратная матрица
- •1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)
- •Формулы Крамера для решения слаУр
- •Рассмотрим матрицу специального вида
- •Метод Гаусса решения слаУр
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Условие параллельности двух прямых
- •Условие перпендикулярности двух прямых
- •2.2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
- •3.1. Раскрытие неопределенности вида .
- •3.2. Раскрытие неопределенности вида
- •3.3. Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
- •3.4. Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •3.5. Правила дифференцирования
- •Правила дифференцирования
- •3.6. Производная сложной функции
- •3.7. Метод логарифмического дифференцирования
- •3.8. Производная функции, заданной неявно
- •3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •3.10. Исследование функций и построение графиков функций
- •Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач
- •4.1. Метод интегрирования подведением под знак дифференциала
- •4.2. Метод интегрирования по частям
- •4.3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4.4. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
- •1. Элементы линейной алгебры
- •2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Предел и производная функции одной переменной
- •4. Интегральное исчисление функции одной переменной
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
2.1. Прямая на плоскости
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой.
Уравнение вида
называется
уравнением
прямой с угловым коэффициентов,
здесь
,
- угол, образованный прямой с положительным
направлением осиОх,
b
– ордината точки пересечения прямой с
осью Оу.
Пусть даны две
точки прямой
и
.Уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки имеет
вид
.
Уравнение прямой,
проходящей через заданную точку
в заданном направлении,
определяемом угловым коэффициентом k
, имеет вид
.
Условие параллельности двух прямых
Две прямые
параллельны в том и только в том случае,
когда составляют равные углы
с осьюОх,
следовательно
или
.
Условие перпендикулярности двух прямых
Две прямые
перпендикулярны в том и только в том
случае, когда угол
между ними равен
,
т.е.
.
Координаты точки
,
делящей отрезокАВ
в данном
отношении
,
где
,
,
можно вычислить по формулам
.
В частности, если
,
то
,
т.е.М
– середина отрезка АВ,
то формулы примут вид
.
Если
уравнение прямой дано в общей форме:
,
то расстояние точки
до этой прямой находится по формуле:
.
Площадь треугольника
с вершинами
,
можно вычислить по формуле
.
Пример
Даны
вершины треугольника
.
Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
3) координату точки пересечения медиан;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;
5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
6) площадь треугольника.
Решение
Используем уравнение прямой, проходящей через две точки
. Подставив координаты точек
, получим
- общее уравнение
прямой АВ,
из которого находим уравнение прямой
с угловым коэффициентом
,
.
Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны
(рис.1):
,
т.е.
,
.
Подставим координаты точек в уравнение
прямой, проходящей через две точки,
получим
- общее уравнение прямойСЕ.
Точка М делит каждую медиану в отношении
, считая от вершины. Таким образом, ее координаты
можно найти по формулам:
.
В нашем случае
,
откуда
.
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку
перпендикулярно прямой
из уравнения
. Найдем угловой коэффициент прямойАС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки
и
:
- уравнение АС.
Угловой коэффициент
прямой АС
равен
,
тогда, используя условие перпендикулярности
двух прямых
,
получим
- уравнение высоты.
Длину высоты
можно найти, как расстояние от точки
до прямойАС
по формуле
.
В нашем случае уравнение прямойАС:
,
следовательно,
.
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении
и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямойАВ равен
, следовательно,
-
- уравнение искомой прямой.
Площадь треугольника находится по формуле:
, в нашем случае
.
у
А(4;6)
Е
В(-4;0)
М
0
1 х
С(-1;-4)
Рис. 1