- •Рабочая тетрадь по математической статистике
- •Перед началом выполнения семестрового задания по математической статистике студент должен ответить на следующие вопросы:
- •Построение статистического распределения выборки.
- •Вычисление оценок математического ожидания и дисперсии
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
Вычисление оценок математического ожидания и дисперсии
Оценки математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам
, ,(1)
где — частота вариантыв выборке объема.
Если объем выработки велик, то вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии по формулам (1) громоздко. Для сокращения вычислений элементам выборки, попавшим в –тый интервал, припишем значения равные серединам интервалов
.
Вносим значения в пятый столбец таблицы 1.
Для упрощения дальнейших выкладок варианты заменяем наусловные варианты по формуле
,
где называетсяложным нулем (новым началом отсчета). Ложный ноль находим по следующему правилу:
Если число интервалов нечетное, то в качестве ложного нуля берем середину среднего интервала, если четное, то середину того интервала, у которого больше частота .
При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.
Значения вносим в таблицу 1.
Подсчитаем произведения , результаты внесем в таблицу 1.
Суммируя седьмой столбец таблицы 1, вычислим значение
=
Оценим математическое ожидание по формуле
.
Подсчитаем произведения , результаты внесем в таблицу 1.
Суммируя восьмой столбец таблицы 1, вычислим значение
=
Оценим дисперсию по формуле
.
Оценка занижает дисперсию генеральной совокупности, поэтому введя поправочный коэффициент
получим несмещенную оценку дисперсии
.
Вычислим оценку среднего квадратического отклонения
.
Для сравнения подсчитаем по «правилу ». Так как для случайной величины, имеющей нормальное распределение, почти все рассеивания укладывается на участке , то с помощью «правила» можно ориентировочно определить оценку среднего квадратического отклонения случайной величины. Берем максимальное практически возможное отклонение от среднего значения и делим его на три.
Табл. 1
Статистическое распределение выборки |
|
|
|
|
| |||
№ Кл. |
Границы классов |
|
| |||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
h1= =
|
h2=
|
|
Построение гистограммы относительных частот
Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны(плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы заполним последний столбец таблицы 1. По полученным данным построим гистограмму:
По данным таблицы 1 построим точки с координатами и соединим их плавной пунктирной линией. Эта линия будет аналогом плотности распределения случайной величины и, следовательно, по виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении (или о распределении, близком к нормальному) случайной величины с плотностью
В дальнейшем эту функцию будем называть теоретической плотностью распределения.