Tipovoy_energo_1_kurs_2_semestr

30. Какой из цилиндров с данным объемом 10 имеет наименьшую

полную поверхность?

Задание 5. Асимптоты.

Прямая линия называется асимптотой для кривой, заданной уравнением y = f(x), если расстояние от точки M, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точки M вдоль какой-нибудь ветви кривой к бесконечности.

Различаются три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные

и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Если хотя бы один из пределов функции f(x) в точке a справа или слева равен бесконечности, то прямая

x = a - вертикальная асимптота.

Горизонтальные асимптоты. Если lim f(x) = A, то прямая y =

x!1

A - горизонтальная асимптота (правая при x ! +1 и левая при x ! 1).

Наклонные асимптоты. Если существуют пределы

	lim	f(x)	= k	;	lim (f(x)		k	x) = b	;
		x
	x!+1		1		x!+1		1	1

то прямая y = k1x + b1		- наклонная (правая) асимптота.
Если существуют пределы
lim	f(x)			lim (f(x)		k	x) = b	;
	x
x! 1				= k2; x!+1		2	2
то прямая y = k2x + b2		- наклонная (правая) асимптота.

Горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

Задание. Найти асимптоты кривой, заданной уравнением.

1. y = 174x x54 : 2.y = 4xx22+13:

3. y = x3x3 2 4x4 :

4. y = 44xx2+8+9:

5. y = 4x3+3x2 28x 2: 2 3x

6. y = x3x2 2 3x2 :

7. y = 2x2 6:

x 2

8. y = 2x3+2x2 23x 1: 2 4x

9. y = x53 3x5x2 :

10. y = x2 6x+4:

3x 2

11. y = 92x2x24:

12. y = 44xx32 31x:

13. y = 32xx2+17:

14. y = x2+16 :

9x2 8

15. y = x3+3x2 2x 2: 2 3x2

16. y = 217x+9x2 :

17. y = 2xx22 21:

18. y = 2x3 3x2 22x+1: 1 3x

19. y = x42x 113 :

20. y = 2xx22 13:

21. y = x3 2x2 23x+2: 1 x

22. y = x2+2x 1:

2x+1

23.

x

3

+x

2

y =

2 3x 1

:

24.

x

2

2x 2

y =

+5x+9

:

x+4

25.

2

y =

3x

+10

:

2

26.

4x

1

y =

3x

+ 3x:

x

1

27.

y = x

2

6x+3

:

2

3

x

28.

y =

x

:

x

2

29.

4

y =

x

:

x2

4x+3

30.

y =

x

3

:

x

2

9

6.Исследование функции методами дифференциального исчисления. Построение графиков.

Предлагается следующая схема исследования функции. 1.Область определения функции (О.О.Ф.).

2.Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты. 3.Четность, нечетность, периодичность функции.

4.Точки пересечения графика с осями координат.

5.Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты.

6.Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.

7.Направление выпуклости кривой. Точки перегиба. 8.График функции.

Пример. Исследовать функцию y = x22x34 и построить ее график. 1.Функция не определена в тех точках, в которых знаменатель

обращается в 0, т.е. при x = 2.

Область определения (1; 2)								( 2; 2)	(2; +1).
2.При	x =		2				разрыв. Выясним характер раз-
				функция терпитS					S
рыва, для чего вычислим пределы при стремлении x к 2.
				xlim2	2x3			= 1:
					x2		4
				!

Отсюда следует, что точки 2 являются точками разрыва второго рода, и согласно определению вертикальных асимптот x = 2 являются вертикальными асимптотами графика функции.

3.Исследуем функцию на четность-нечетность, для чего изменим знак аргумента на противоположный.

y(		x) =	2( x)3		=		2x3		=		y(x):
			( x)2			x2
				4				4

Вывод:функция-нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат и, следовательно, достаточно функцию исследовать в промежутке (0; 1). Функция непериодическая.

4.Находим точки пересечения графика с осями координат. Положим x = 0. Подставив это значение в функцию, получаем, что и y = 0. График пересекает оси координт в начале координат.

5.Ищем наклонную асимптоту:

k =

lim

y

=

lim

2x3

= 2

x!+1 x

x!+1 x(x2

4)

b = lim (y

2x) = lim

2x3 2x3 + 8x

= lim

8x

= 0:

x!+1

x!+1

x2 4

x!+1 x2 4

Кривая имеет наклонную асимптоту, причем

y 2x = x2 4 (		< 0; x < 2
	8x	> 0; x > 2

6.Находим интервалы монотонности и экстремумы. Ищем первую производную.

3x2

(x2 4) x32x

x2(x2 12)

y0 = 2

= 2

: В промежутке (0; 1) производная

(x2

4)2

(x2

4)2

p

обращается в нуль в точках x = 0 и x = 2

3 3; 46:

Производная обращается в бесконечность в точке x = 2:

Выясним знак производной в промежутках:

(0; 2) y0

< 0

p

функция убывает;

2; 2

3

y0

< 0

функция убывает;

p

(2

3;

) y0 > 0

1

p

функция возрастает.

В точке x = 2 3 функция имеет минимум. Находим значение функ-

ции в этой точке:

y = 2(2p3)3 = 48p3 = 6p3: min (2p3)2 4 8

7.Зная первую производную, находим вторую:

y00 = 16x(x2 + 12): (x2 4)3

Вторая производная обращается в нуль в точке x = 0 и не существует при x = 2. Выясним знак второй производной в промежутках:

(0; 2) y00 < 0 график функции является выпуклым вверх (выпуклым);

(2; 1)y00 > 0 график функции является выпуклым вниз (крива вогнута).

Определим знак второй производной слева от x = 0.

( 2; 0) y00 > 0 кривая выпукла вниз (вогнута). Итак, при переходе через точку x = 0 вторая производная меняет знак, следовательно x = 0 - абсцисса точки перегиба. В которой вогнутость кривой меняется на выпуклость.

8.С учетом проведенного исследования и, помня, что кривая симметрична относительно начала координат, строим график функции.

Задание. Провести полное исследование и построить график функ-

ции.

1.

y =

x

:

2

(x+2)

2.

y =

x3

:

12(x 2)

3. y = 1 +

4xx2 1

:

4.

y =

4x 122

:

5.

(x 2)

y =

x

:

2

(x 2)

6.

y =

x 20;5

:

7.

3x

2

4

y = x +

:

x+2

x3

8.

y =

:

2

2

3x

9.

32x+2

y =

x

:

x

10. y = 2x 1 +

1

:

x+2

11.

y =

x 2

1:

(x+3)2

12. y =

x

:

2

x

4

13. y =

x

3

:

2

2

3x

14. y = x

+162

:

9x 8

15. y = (xx21)2 :

16. y = 217x+9x2 :

17. y = 2 2x x2 :

x+3

18. y = x2 3x+2:

(x+1)2

19.y = x3x2 4:

20.y = (xx21)2 :

21.y = x3x+42 :

22. y =	x4
	(x+1)	3

23.y = xx2 21x:

24.y = xx+13 :

25.y = x2x3 4:

26. y =	x3	:
	2(x+1)2

27.y = (x2x2)4 3 :

28.y = 3 x4x3 :

29.y = (2xx 1)12 :

30.y = 4 x2x2 :

Задание7. По графику функции построить графики первой и второй производной.

Задание 8. Задача электротехники на наибольшее и наименьшее значение.

При конструировании трансформаторов переменного тока важно заполнить внутренности катушки железными крестообразным сердечником возможно большей площади. Каковы должны быть соот-

ветствующие размеры x и y сечения сердечника, если радиус катушки равен a?

Значение a для каждого варианта равно номеру этого варианта.

Задание 9. Исследовать функцию на непрерывность и по-

строить схематично график.
f(x) =		8 x2; 2 < x				3
		>	2x + 1; x			2
			1
		<			; x > 3
На				x 3
		>				1	1
		:						) функция непре-
	каждом из промежутков ( ; 2); (2; 3); (3;

рывна, так как эти аналитические выражения, определяющие заданную функцию, являются элементарными функциями, а указанные промежутки входят в область определения каждой их них. Надо исследовать поведение функции в точках x = 2; x = 5; т.е. там, где стыкуются аналитические выражения. Для этого в каждой из точек вычисляем значение функции и левосторонний и правосторонний пределы.

x = 2; f(x) = 2 2 + 1 = 3

lim ( 2x + 1) = 3

x!2 0

lim x2 = 4

x!2+0

При x = 2 левосторонний и правосторонний пределы числа конечные, но не равные, следовательно в этой точке функция имеет разрыв, и это разрыв первого рода - скачок.

x = 3; f(3) = 32 = 9

lim x2 = 9

x!3 0

1				1
lim			=
x!3+0 x 3

При x = 3 правосторонний предел - бесконечность, поэтому в этой точке функция имеет разрыв второго рода (бесконечный скачок).

Непрерывность функции.

Исследовать функции на непрерывность и построить схематично график

8

> 2x + 1; x 2

<

f(x) = x2; 2 < x 3

:

> 1 ; x > 3

x 3

8

>x2; x 1

<

1. f(x) = 2x 3; 1 < x 2

>

:ln(x 2); x > 2

8

>3x + 2; x 0

<

2. f(x) =

>

2 cos x; 0 < x <

1

; x

x

ex+2; x

0

:

8

>

ln(x

2); x > 2

3. f(x) =

<

:

x2

1; 0 < x

2

4. f(x) =

8

x2; 0 < x 3

> arctan x; x

0

>

1

<

; x > 3

x 3

> sin x;

2

x

2

:

5. f(x) = 8

3x + 2;

2 < x 4

>

<

>

:ln(x 4); x > 4

8

2x 4; x 1

>

6. f(x) =

<

x2; 1 < x 5

1

; x > 5

x

>

x + 2;

5x

2

7. f(x) =

:

8 x2; 2 < x

0

>

<

>

ln(x); x > 0

:

8

e2; x 0

>

; x > 3

8. f(x) =

<

1

>

2x + 1; 0 < x

3

x 3

:

8

>

x2 1; x 0

<

9. f(x) = arcsin x; 0 < x 1

:

> 1 ; x > 1

x 1

8

>3x; x 2

<

10. f(x) = x2 + 1; 2 < x 0

>

:ln(x); x > 2

8

>2ex; x 0

11. f(x) =	<		x1 2; x > 2
	>	2 + x; 0 < x 2
		2x + 1; x								2
12. f(x) =	:									2
	8 cos x; 2					< x
	>
					1
	<					; x >
	>			x 2						2
	: