TIPOVOJ_RASChET_5_APREL
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет II |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Числовые и функциональные ряды |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
∑ |
|
|
sin n n |
|
|
. |
|
|
2. ∑ |
|
|
(n +1)2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n =1 arctg(n |
+1)n n |
|
|
|
|
n =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(n −1)! arctg |
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
1 n |
|
−n2 +2n −2 |
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
)(1 + n |
2 |
)ln ln(1 |
2 |
) |
|||||||||||||||||
|
n =1 |
3 n + |
1 |
1 |
|
|
|
n =2 ln(1 |
+ n |
|
+ n |
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n n arcsin |
|
|
|
∞ |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
n |
+1 |
. |
6. ∑ |
(−1) |
cos(3n + 2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2n +1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n |
+ n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 01 : |
|
∑(−1)n +1 |
|
. Укажите наи- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
n +1) |
|
2x + 3 |
n −1 |
∑( n + 3 − |
|
x −1 |
. |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
2ex2 |
+ cos(2x) − 3 − |
5 x 4 |
|
|
lim |
|
|
3 |
. |
|
2 ln(1 |
− x2 ) +arctg(2x |
2 ) + x 4 |
|||
x →0 |
|
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции
e2x2 −1 |
, |
x ≠ 0, |
|
|
x2 |
||
y = |
|
|
|
|
0, |
|
x = 0. |
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x 2 − 2x + 4) в ряд Тейлора в точке x0 = 1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
мых 0,5∫ arctgx x dx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 +(−1)n |
|
∞ (n !)2 tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
∑arctg(n + n )sin |
|
|
|
|
. 2. |
∑ |
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
3 |
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
1 |
2n +1 3n2 +5n −1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
4. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =1 |
4 |
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
|
n =3 n ln n(ln ln n) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ (−1)n |
|
n sin |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ (−1)n +3 sin(n2 + 5) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
3n −1 |
|
|
|
n |
4 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 01 : |
|
∑ |
(−1)n +1 |
|
|
|
. Укажите |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(n + |
1)! |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
x + 2 |
n +2 |
|
∑( 2n + 3 − |
2n ) |
|
. |
|
2x −1 |
||||
n =1 |
|
|
||
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
|
e−x2 |
x 4 |
|
|
|
|
|
lim |
|
+ x sin x −e 3 |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
x →0 |
ln(1 |
+ x |
2 |
) − x arcsin x + |
x |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислите двенадцатую производную в нуле от функции
cos(2x) −1 |
|
x ≠ 0, |
||
|
|
, |
||
x2 |
||||
y = |
|
x = 0. |
||
|
2, |
|
||
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ex2 +4x −2 в ряд Тейлора в точке x0 = −2.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычисли-
те приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,25 |
x |
|
|
мых ∫ |
dx . |
||
ex |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
πn |
|
|
|
n +1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
arctg(2n +1) 4 |
+ cos |
|
|
∞ |
2 |
(n |
|
+1)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
. 2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n(n +1) |
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
3n n − 5 |
2n2 +4n +3 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
n +1 |
|
|
|
|
|
|
+ n |
3 |
)(1 + n |
3 |
)(ln ln(1 + n |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
n =1 |
5 |
n + 4 |
|
|
1 |
|
|
n =2 ln(1 |
|
|
|
|
)) |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n 3 n arctg |
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
+ 3n + 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
(−1) 2 cos(4n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
5n + 7 |
|
|
|
|
|
n |
3 |
+ n |
+ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 001 : |
|
∑(−1)n +1 |
|
. Укажите наи- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
(2n) |
|
|
|
|
|
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
3x −1 |
n −2 |
|
∑( n + 5 − |
n ) |
2 − x |
. |
n =1 |
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
sin x − x cos x − x 3 |
+ |
x5 |
|
|
|
|
||||
lim |
3 |
30 |
. |
||
|
|
||||
x →0 |
x ln(1 + x 3 ) − arctg(x 4 ) |
10. Вычислите восьмую производную в нуле от функции
sin(3x) − 3x |
, x ≠ 0, |
|
|
3 |
y− 2 , x = 0.9
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции= x
y = x arctg(2x2 + 4x + 2) в ряд Тейлора в точке x0 = −1.
12. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,8
мых ∫ x2 cos xdx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
5 + sin n |
2 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. |
∑ |
(10 )(n !) |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n =1 |
(3 n7 |
+1)arctg(4n + 9) |
|
n =1 (2n)!arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n + n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
1 3n + 2 5n2 −2n −1 |
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ln |
2 |
ln n) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
7 3n − 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
n =3 n ln n(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n |
4 n tg |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n −3 |
sin(ln(e + n)) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. ∑ |
|
|
|
|
|
n |
+ 2 |
. |
|
6. ∑ |
(−1) |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4n − 3 |
|
|
|
|
|
n |
+ n |
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 001 : ∑ |
(−1)n +1 |
|
|
|
. Укажите |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n !(2n +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
2x +1 |
n +1 |
||
∑( 3n +1 − |
3n ) |
|
− 3x |
. |
n =1 |
|
2 |
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости.
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
1 − 2x2 − cos(2x) + 8 x 4
+x2 ln(1 − 6x 2 ) .
10.Вычислите тринадцатую производную в нуле от функции3lim 3x →0 3x arcsin(2x)
|
|
3 |
|
|
|
− x ) |
, |
x ≠ |
|||
ln(1 |
|||||
y = |
2 |
|
|
|
|
x0, |
|
|
x = |
||
|
|
|
|
|
0,
0.
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = sin(x2 + 6x + 7) в ряд Тейлора в точке x0 = −3.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
мых ∫1 sinx x dx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(2 +(−1)n )arctg (3 n + 2n ) |
∞ |
|
(2n + 2)! tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3n − |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
(3n + 5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∞ |
2n +1 |
2n −(3n2 +5) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
n |
|
|
|
(n |
2 |
+n |
|
|
|
|
|
2 |
(n |
2 |
+ n |
+1)) |
||||||||||||||||
|
n =1 |
9 |
|
2n +1 |
|
|
1 |
|
|
n =1 |
|
+1)(1 + ln |
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n |
3 n arcsin |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
3 |
+ n |
+ 2) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
n − 3 |
. |
6. ∑ |
(−1) |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
8n − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
6 |
+ 7n |
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n =4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 01 : |
|
∑(−1)n |
|
. Укажите |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
(n +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
4x + 3 |
n −1 |
|
∑( n − |
n −1) |
|
|
. |
|
x −1 |
|||||
n =1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
6x sin x + arctg(x 4 ) − 6x 2 |
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x2 |
|
3 |
|
|
||
x →0 |
3 |
1 |
+ 3x |
2 |
−e |
+ |
x |
4 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислите пятнадцатую производную в нуле от функции
|
1 |
+ 2x |
4 −1 |
|
|
|
|
|
|
, |
x ≠ 0, |
|
x |
|
|||
y = |
|
|
|
x = 0. |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x 2 + 8x +18) в ряд Тейлора в точке x0 = −4 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,5
мых ∫ e−x2dx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
3cos 2n arctg |
( |
7 n + 9 |
) |
|
|
∞ |
|
2n +1 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. ∑ |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
3 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 (n !) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
+3n +1 |
∞ |
|
arctg(ln(8n − 2)) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
4n +1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
4 |
2n +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(8n − 2))(8n − 2) |
|
||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
4n |
+ 9 |
1 |
|
|
|
|
n =1 |
(1 + ln |
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n 7 n2 |
tg |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
6. ∑ |
(−1) |
4 sin(n + 4) . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
−3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
n3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 0001 : ∑ |
(−1)n |
|
|
|
. Укажите |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
+1)! |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
(2n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2x −1 |
n +2 |
|
∑( 2n +1 − |
2n ) |
|
. |
|
3x + 2 |
||||
n =1 |
|
|
||
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
lim |
x(e2x2 |
− 1 + 4x2 ) |
. |
|
|
||
x →0 arcsin x + sin x − 2x |
|
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции
arctgx |
− x |
, |
x ≠ 0, |
||
|
x |
3 |
|
||
|
|
|
|||
y = |
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
x = 0. |
|
|
6 |
|
|
|
11. Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = cos(x2 − 6x + 5) в ряд Тейлора в точке x0 = 3 .
12. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычисли те приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,5
мых ∫ x2 arctg xdx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n(2 + cosπn) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(n |
+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
2. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n =1 |
(2n |
|
−1)arctg(n |
|
|
+ n |
|
) |
|
|
n =1 7n (n !)2 sin |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−(4n2 +5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n −1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. ∑ |
3n +1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4n |
2 |
−n)ln(4n |
2 |
−n)(ln ln(4n |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
−n)) |
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
||||
∞ (−1) |
|
n |
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) |
cos |
4n + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n + 4 |
. |
6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2n − 5 |
|
|
|
|
|
n |
4 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,1: |
∑(−1)n |
. Укажите наимень- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
x + 3 n +1 |
|
∑ |
( n + 3 −n) |
|
. |
|
|||
n =1 |
|
5 − 2x |
|
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
cos 2x + 2x arctg x −1 lim 3 3 . x →0 ln(1 + 2x ) − 2 sin(x )
10. Вычислите тринадцатую производную в нуле от функции
ex 3 −1 |
, |
x ≠ 0, |
|
|
x2 |
||
y = |
|
|
|
|
0, |
|
x = 0. |
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = sin(x2 − 4x +1) в ряд Тейлора в точке x0 = 2 .
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
мых ∫1 1 − xcos x dx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
cos |
n |
arctg |
n |
|
|
|
|
∞ |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
. |
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n2 −1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n =2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 3n n ! arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3n + 5 4n2 +n +3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
cos |
2n |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
∑ |
|
3n − 6 |
. |
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
3n −5 |
|
3 n7 + n5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n 4 n3 |
tg |
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
n |
2 |
+1 |
|
|||||||||
5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 6. ∑ |
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(3n |
2 |
|
|
|
|
2 |
(3n |
2 |
|
|
2 |
(ln(3n |
2 |
+ n)) |
|
7n |
+ 9 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
+ n)(1 + ln |
|
+ n))arctg |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0,1: |
∑ |
(−1)n nn . Укажите наимень- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
2n − 5) |
2x − 3 |
n −2 |
|
∑( 2n − |
|
1 − x |
. |
||
n = |
3 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
x sin 2x − 2 ln(1 + x2 ) + |
x 4 |
|
|
|||
|
|||||||
lim |
|
|
3 |
. |
|||
|
|
|
|||||
x →0 1 − |
x 4 |
+ x arctgx − |
1 + 2x2 |
||||
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
10. Вычислите семнадцатую производную в нуле от функции
|
2 |
|
|
|
cos(x ) −1 |
|
|
||
|
, |
x ≠ 0, |
||
|
||||
y = |
3 |
|
|
|
|
x0, |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ex2 −2x +4 в ряд Тейлора в точке x0 = 1.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
0,5 |
1 −e−x |
|
|
мых ∫ |
dx . |
||
x |
|||
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
|
2 |
( |
|
n ) |
|
|
|
|
∞ |
(2n)! |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. ∑ |
|
|
sin |
|
|
|
. |
|
2. ∑ |
tg |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(n2 + 3)arctg 3 n2 |
+ 5 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
n =1 |
|
|
n ! |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5n +1 −5n2 −2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. ∑ |
|
5n + 4 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2n + |
|
|
2 |
|
(n |
2 |
+ 2n + 2)) |
|
|||||||||||
n =1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
(n |
|
2)(1 + ln |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n 5 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
(−1) |
n |
|
arcsin |
|
|
|
∞ |
|
(−1) 3 sin |
3n |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n − 9 |
|
. 6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9n + 7 |
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n =1000 |
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
7. Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 001 : |
|
∑(−1)n |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
(2n −1) (2n + |
1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажите наименьшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы
сзаданной точностью.
8.Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
4x +1 |
n +3 |
|
∑( 3n − |
3n − 2) |
|
|
. |
|
x + 3 |
|||||
n =1 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. |
||||
9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел |
||||
|
cos x + xarctg x |
−1 |
||
lim |
2 |
|
|
. |
arcsin(x2 ) − x2ex |
4 |
|||
x →0 |
|
|
10. Вычислите девятнадцатую производную в нуле от функции
|
|
3 |
|
|
x ≠ |
|
|
|
, |
||
sin(x ) |
|||||
y = |
2 |
|
|
|
x = |
|
x0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,
0.
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = ln(x2 + 6x +11) в ряд Тейлора в точке x0 = −3.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислите приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
1
мых ∫x2e−xdx .
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
Исследуйте на сходимость ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
cosn |
|
|
|
|
∞ |
n |
|
2 |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2. ∑ |
6 (n |
|
arc tg |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(3n −1)arctg(2n + 4) |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
n =1 |
n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∞ |
|
2n |
7n + 2 3n2 −5n +3 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
n −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
)(2 + n |
3 |
)ln ln(2 |
+ n |
3 |
) |
|||||||||||||||||
|
n =1 |
5 |
|
|
7n − 3 |
|
|
|
|
n =1 ln(2 + n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
5 |
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ (−1) |
|
|
n |
|
sin |
|
|
|
|
∞ (−1) 5 cos |
3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 8 |
. |
6. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4n + 5 |
|
|
n |
2 |
+ 4n − |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислите сумму ряда с точностью α = 0, 0001 : |
∑ |
|
|
|
|
(−2) |
|
. Укажите наи- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
((2n +1)!) |
|
|
|
меньшее количество слагаемых, необходимое для вычисления суммы с заданной точностью.
8. Найдите область сходимости функционального ряда
∞ |
|
|
|
x −1 |
n −1 |
|
∑ |
( n + 3 − |
n − 3 ) |
|
. |
||
4x + 2 |
||||||
n = |
3 |
|
|
|
Исследуйте его на сходимость в граничных точках его области сходимости. 9. Используя разложения функций в степенные ряды, вычислите предел
|
3 arctg x − x ln(1 |
− 2x2 ) − 3x − |
13 x5 |
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
|
|
( 6 1 + 4x 4 |
|
|
|
|||||
x →0 x |
− cos 2x − 2x2 |
) |
|
||||||
10. Вычислите десятую производную в нуле от функции |
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ln(1 |
, x ≠ 0, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2, |
|
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Запишите первые пять ненулевых слагаемых в разложении функции y = 3 x 2 + 4x +12 в ряд Тейлора в точке x0 = −2.
12.С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычисли те приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагае-
1 |
x − sin x |
|
|
мых ∫ |
|
|
dx . |
x |
3 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|