Tipovoy_raschet_III-1

В а р и а н т

20

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1.

yln y + xy

′

= 0.

2.

′

=3

x

2

+ y

2

+ y .

xy

y′ =

x

+4y

−5

2

x

2

x2

3.

.

4.

xy

+

dx + x

y −

dy = 0 .

6x − y

−5

y

2

y

3

Найдите решение задачи Коши.

5.

′

3

;

y(1) = e

−1

.

y +2xy = −2x

6.

2

′

3

5π

.

2(cos

y cos 2y − x)y

= sin 2y;

y

=

2

4

′

7.

3

y = (x

3

+

8)e

−2x

y

2

;

y(0)

=1.

4y + x

8.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

y

′′′

tg5x =

′′

5y .

9.

Найдите решение задачи Коши:

′′

3

+49

= 0;

y(3) = −7;

′

= −1.

y y

y (3)

10. Найдите

общее решение

дифференциального

уравнения

x

2

y

′′

′

+12y = 0 , если одно из его частных решений y1 = x

3

.

−6xy

11. Найдите решение задачи Коши:

′′

−2y

′

=

4e−2x

y(0) = ln 4;

′

= ln 4 −2 .

y

1 +e−2x ;

y (0)

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

= −4xe

x

.

y

−4y +3y

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 5; 5; 5; ±3i ; 1±i ; 1±i ; 1±i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

	коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
	x2 +3x −2 +(x2 −2)e5x +cos3x + x sin 3x −(x +3)ex cos x +ex sin x .
	14. Решите систему дифференциальных уравнений
	dx		=5y −x,
	dt
		dy	=5x + y.
	dx

В а р и а н т 21

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1. (1+e

x

)y

′

= ye

x

.

2.

y

′

=

y2

+8

y

+12 .

x2

x

3.y′= x + y +2 .

x+1

4.y cos y dx − 1 cos y + 2y dy = 0 .

x2 x x x

Найдите решение задачи Коши.

′

x + y +2

x

2

3

′

5.

y

+

=

;

y(0) =

.

6.

(13y

−x)y = 4y;

y(5) =1.

x +1

2

3

7.

8xy′−12y = (5x2 +3)y3 ;

y(1) =

2 .

8.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

y′′′th 7x = 7y′′.

9.

Найдите решение задачи Коши:

y

′′

=128y

3

;

y(1) =1;

′

=8 .

y (1)

10.

Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

′′

+

′

если одно из его частных решений

(ctg x)y

2y +(2tg x +ctg x)y = 0,

y1 = cos x .

11.

Найдите решение задачи Коши:

y

′′

+0,25y

= 0,25ctg0,5x;

y(π) = 2;

′

y (π) = 0,5.

12.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

y

′′′

−5y

′′

′

= e

−x

(32x −32) .

+3y +9y

13.

Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 0; 2; ±i ; ±i ; −2 ±4i ; −2 ±4i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

	коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
	x2 −5xe2x +cos x +(x3 −1)sin x +e2x cos 4x .
	14. Решите систему дифференциальных уравнений
	dx		= −x +8y,
	dt
		dy	= x + y.
	dx

В а р и а н т

22

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1.

1 − x2 y′+ xy2 + x = 0 .

2. xy′

=

3y3 +12x2 y

.

6x2 +2y2

3.

y′

=

2x + y −3

.

4x −4

4.

x

y

= 0 .

+ y

dx +

x +

dy

x

2

+ y

2

x

2

+ y

2

Найдите решение задачи Коши.

5.

′

3

;

y(0)

=3.

6.

(x +ln

2

′

= 0,5y;

y(2) =1.

y

+ xy = −x

y −ln y)y

7.

′

+ y) = xy

2

; y(0) = 2 .

2(y

8.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

x3 y′′′+ x2 y′′=

x .

9.

Найдите решение задачи Коши:

′′

3 =9y;

y(1) = 0;

′

y −

y (1) =1.

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

x

2 ′′

′

y

+ xy +4y = 0 , если одно из его частных решений y1 = cos(2ln x ).

11. Найдите решение задачи Коши

y

′′

−3y

′

+2y =(2 +e

−x

)

−1

;

y(0) =1+3ln 3;

′

y (0) =5ln 3.

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

+4y

′′

+8y

′

= (20x

+14)e

2x

.

y

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; −2 ; −2 ; ±2i ; ±4i ; −1 ±3i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

	коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
	x3 +3x +(1−x)e2x + x2 cos 2x +sin 4x −xex cos3x .
	14. Решите систему дифференциальных уравнений
	dx		= x −2y,
	dt
		dy	= x − y.
	dx

В а р и а н т 23

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

2

2

′

=

x2 + xy −3y2

1.

6xdx −2ydy = 2yx

dy

−3xy

dx . 2.

y

.

x2 −4xy

y′

2x + y −3

x + y2

dx

3.

=

.

4.

dy −

= 0 .

2x −2

y2

y

Найдите решение задачи Коши.

5.

y′

−

2

y = ex (x +1)2 ; y(0) =1.

x +1

6.

(2xy + y)dy +2y2dx = 0;

y (−0,5)=1.

7.

′

+ xy = (x −1)e

x

2

;

y(0)

=1.

y

y

8.Найдите общее решение уравнения y′′cth x −y′+ch−1 x =0 .

9.Найдите решение задачи Коши:

′′

5

= −32;

y(0)

′

= 4 .

y y

=1; y (0)

10.

Найдите

общее

решение дифференциального

уравнения

x

2

y

′′

′

= 0 , если одно из его частных решений y1 = x

−1

.

+4xy +2y

11.

Найдите решение задачи Коши:

′′

′

e−x

′

y

+3y

+2y = 2 +ex ;

y(0) = 0;

y (0) = 0.

12.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

−9y = e

x

(8x −12) .

y

−7y +15y

13.

Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 0; −1; ±4i ; 1 ±3i ; 1 ±5i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

	коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
	x2 −5x +(2x +5)e4x + x sin 4x + x2 cos 4x + xe3x cos5x .
	14. Решите систему дифференциальных уравнений
	dx		=12x −5y,
	dt
		dy	=5x +12y.
	dx

В а р и а н т

24

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1.

′

2.

′

3x

2

+ y

2

+ y .

y(1+ln y) + xy = 0 .

xy = 2

3.

y′ =

y

.

4.

1 + xy

dx +

1 −xy

= 0.

2x +2y −2

x2 y

xy2

Найдите решение задачи Коши.

5.

y′+2xy = xe−x2 sin x;

y(0) =1.

6.

2

3

π

.

ydx +(2x −2sin

y

− ysin 2y)dy = 0;

y

=

2

4

7.

2y′−3y cos x = e−2x (2 +3cos x)y−1;

y(0) =1.

8.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

(x +1)y

′′′

′′

= x +1.

+ y

9.

Найдите решение задачи Коши:

y

′′

−16y

3

= 0;

y(

2) =1;

′

2)

= 2

2 .

y (

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

x

2 ′′

−6y = 0 , если одно из его частных решений y1 = x

3

.

y

11. Найдите решение задачи Коши:

1

π

π

y′′+ y

=

; y

=

1; y′

= 0 .

sin x

2

2

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

− y

′′

′

x

(8x +4) .

y

−5y −3y = −e

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 1; 1; ±2 ; ±4i ; 2 ±i ; 2 ±i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение этого уравнения с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет

вид x3 −x −2 + x2 +5x −1 + x cos 2x +(x −3)sin 4x +e2x (cos x + x sin x) . ex

14. Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = −2x −3y,

dxdy = −x.

В а р и а н т 25

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1. (3 +ex )yy′= ex .

3. y′ = x +5y −6 . 7x − y −6

Найдите решение задачи Коши.

2.4y′= y2 +10 y +5.

x2 x

4.	y	dx −	xy +1	dy = 0 .
	x2
			x

5.

y′−

2y

= (x +1)3 ;

y(0) =

1

.

x +1

2

6.

2(y3 − y + xy)dy = dx;

y(−2) = 0 .

7.

′

2

;

y(0)

=1.

y − y = xy

8.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

= y

′′

cos x .

(1+sin x)y

9.

Найдите решение задачи Коши:

8

y

′′

−8

=5y;

y(

′

5) =

5 .

5) = 0; y (

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

x

2 ′′

′

y1 =

1

.

y

−xy −3y = 0, если одно из его частных решений

x

11. Найдите решение задачи Коши

′′

′

=cos

−1

x;

y(0)

′

y

+ y

=1; y (0) = 0 .

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

+

′′

+

′

x

(16x

+20) .

y

5y

7y +3y = e

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 0; 1; 1; ±i; 4 ±i ; 4 ±i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет вид x2 +7x + x3ex +ex cos x −x2 cos x +sin x +e4x ((x2 + x)cos x −sin x) .

14. Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = y −x,

dxdy =15x + y.