ftd-1
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Факультет математики, механики и компьютерных наук
51(07) Ш965
С.А. Шунайлова
МАТЕМАТИКА
Сборник задач для студентов укрупненной группы «Экономика и управление»
Часть I
Челябинск Издательский центр ЮУрГУ
2014
УДК 510(022)(076.1) Ш965
Одобрено учебно-методической комиссией
факультета математики, механики и компьютерных наук
Рецензенты: Кипнис М.М., Пазий Н.Д.
Ш965 Шунайлова, С.А.
Математика: сборник задач для студентов укрупненной группы «Экономика и управление» / С.А. Шунайлова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2014. – Ч. I. – 35 с.
Сборник содержит задачи, предназначенные для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов первого курса следующих направлений и специальностей: 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», 38.03.05 «Бизнес-информатика», 38.05.01 «Экономическая безопасность», 38.05.02 «Таможенное дело».
УДК 510(022)(076.1)
© Издательский центр ЮУрГУ, 2014
2
|
|
|
МАТРИЦЫ |
|
|||
|
1 |
0 |
|
0 |
2 |
2 |
0 |
1. Даны матрицы A |
1 |
2 |
, B |
2 |
0 |
, C 0 |
1 . |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
Найдите: а) 3A 2B C ; б) 2A 4B 3C .
2. Найдите a, b, c из уравнений: |
1 2 |
|||||
а) 3 a 3 |
c |
|||||
4 b |
2 |
|
5 |
|
c |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
1 |
б) 2 b |
a |
a |
||||
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a1 47c
c |
|
5 |
c |
c |
|
|
|
7 |
2 |
|
7 5 ;
8 a
8
6 .
4
3. Выполните действия: |
|
|
|
ж) 1 |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) 3 |
|
4 5 0 6 |
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
1 |
|
3 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) 1 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
з) 1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
; |
|
|
||||
в) 5 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 5 4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
к) |
|
|
2 |
|
5 |
4 8 |
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
5 |
|
3 |
|
5 4 ; |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л) 5 |
|
4 8 |
|
0 1 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 5 4 |
|
7 |
1 |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
е) 0 |
|
2 |
1 |
|
1 |
4 |
3 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Найдите матрицу C AT B ABT , |
A 2 |
3 , |
B 5 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найдите матрицу C AT B 2BT , A 2 |
3 , B 1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найдите матрицу C 3A BT AT , если A |
|
5 |
|
8 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
1 , B 3 |
1 |
8 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Найдите матрицу C A2 |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
2 |
1 |
0 |
|
AT B , если A |
1 |
2 |
1 |
, B 3 |
1 |
4 |
. |
|||
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
8. Вычислите AAT и AT A для заданных матриц A :
а) 1 2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|||
1 3 ; б) 2 0 2 |
|
0 2 . |
|
||||||||||
|
4 |
|
1 |
5 |
1 |
|
2 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
Вычислите. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
n |
|
|
|
|
cos |
sin |
n |
||||
9. 0 |
1 |
. |
|
|
|
10. sin |
|
|
cos |
. |
|||
Найдите значение многочлена |
f x от матрицы A . |
|
|
|
|
|
|||||||
11. f x 3x2 4, A 2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x x |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
12. |
|
3x 1, A 1 |
3 . |
|
|
|||
13. f x 3x2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
2x 5, A 2 |
4 |
1 . |
||||||
|
|
|
|
|
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
14. Пользуясь свойствами определителей, докажите равенства:
|
|
|
1 a b |
|
|
|
|
|
|
1 2 4 |
|
|
3 1 1 |
|
|
3 1 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
2 |
a |
2 |
|
b |
2 |
|
|
a |
a |
2 |
|
a |
4 |
; |
г) |
3 7 8 |
|
0 6 7 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 9 11 |
|
|
0 8 10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 a4 |
|
b4 |
|
|
|
|
|
|
b b2 |
|
b4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 0 |
|
|
x |
1 0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
4 |
|
|
|
д) |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 5 |
|
0 |
2 5 |
y |
2 5 |
|||||||||||||||||||||||||
б) |
|
y |
2 5 |
2 y |
|
5 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 3 1 |
|
|
1 3 1 |
|
|
z 1 3 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
z |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
|
2 |
3 |
4 |
|
11 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
10 |
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
25 |
4 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15. Вычислите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
|
|
1 |
|
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 5 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
2 |
1 |
1 2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
6 |
|
3 |
|
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Решите уравнения:
а) |
|
|
|
2 x 4 |
|
|
|
|
0; |
|
|
|
д) |
|
x 1 |
5 |
|
0 ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x 1 |
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
; |
е) |
|
|
|
x2 4 |
1 |
|
0 . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3x x 22 |
|
|
|
x 2 |
x |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
x |
x 1 |
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
2x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17. Решите неравенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) |
|
|
3x 3 |
2 |
|
0 ; |
|
в) |
|
|
2x 2 |
1 |
|
0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
x 5 |
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
3 |
x |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
18. Решите уравнения: а) |
4 |
5 |
1 |
0 ; б) |
2 |
1 |
3 |
0 . |
|
2 |
1 |
5 |
|
x 10 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
19. Решите неравенства: а) |
1 |
x |
2 |
1; б) |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
0 . |
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
5 |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|||||||||||
20. Найдите матрицу, обратную к A . Сделайте проверку. |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
1 |
3 |
4 |
|
||||
а) A 6 |
4 ; |
|
|
д) |
3 |
5 6 ; |
|
|||||||
б) 123 |
15 ; |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
10 |
|
||||||||||
|
|
|
5 |
1 2 |
|
|||||||||
|
1 |
1 |
3 |
|
|
е) |
3 |
2 3 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) 5 1 |
2 ; |
|
|
|
1 |
1 5 |
|
|||||||
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 4 |
0 |
5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. Найдите матрицу Х из уравнения: |
б) X 4 |
2 6 |
12 ; |
||||||
а) 1 |
0 |
X 6 |
0 |
; |
|||||
2 |
3 |
9 |
12 |
|
|
1 |
1 |
18 |
36 |
2 |
1 |
|
5 |
1 |
|
3 |
4 |
0 |
2 |
в) 3 |
2 X |
1 0 ; |
г) |
X 1 |
2 |
3 |
3 . |
5
22. Решите матричное уравнение:
|
|
|
|
2 |
4 |
9 |
|
|
28 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а) 7 |
3 |
6 X |
|
1 ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
7 |
9 |
9 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
2 |
|
5 11 ; |
|
|
|
|||
|
|
|
б) X 0 1 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
15 |
|
22 |
16 |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
9 |
|
11 |
|
|
в) AXB C при A 1 0 , B 2 |
|
3 , |
C 14 |
20 ; |
|||||||||||
|
AXB C , если A 2 |
3 , B |
1 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
12 . |
|||||
г) |
0 |
1 |
|
3 , C 4 |
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА |
|
|
|
|
|||||||||
23. Выясните, продуктивна ли матрица A : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0,6 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,9 |
0,4 |
|
||
а) A 0,7 |
0,8 ; |
|
|
|
|
|
|
г) A |
0,5 |
0,5 |
0,5 . |
|
||||
б) A 0,0,62 |
0,0,82 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,2 |
0,3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) A 0,1 |
0 |
0,3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. Дана матрица прямых затрат A 0,30,1 |
|
0,20,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдите: а) вектор валовой продукции X |
для обеспечения выпуска конечной |
|||||||||||||||
продукции Y 400 |
; б) приращение вектора |
X для увеличения выпуска ко- |
||||||||||||||
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нечной продукции на Y 10050 .
25. Работа системы, состоящей из двух отраслей, в течение некоторого периода характеризуется следующими данными (табл. 1):
|
|
|
|
Таблица 1 |
Отрасль |
|
Потребление |
Чистая продукция |
|
I |
|
II |
||
|
|
|
||
I |
100 |
|
160 |
240 |
II |
275 |
|
40 |
85 |
Вычислите матрицу прямых затрат.
26. Имеются данные о работе системы нескольких отраслей в прошлом периоде и план выпуска конечной продукции Y1 в будущем периоде (табл. 2):
6
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
Отрасль |
|
Потребление |
Чистая |
План Y1 |
|
I |
|
II |
продукция |
||
|
|
|
|||
I |
80 |
|
120 |
300 |
350 |
II |
70 |
|
30 |
200 |
300 |
Найдите матрицы прямых и полных затрат, а также выпуск валовой продукции в плановом периоде, обеспечивающей выпуск конечной продукции Y1 .
27. Дана матрица S полных затрат некоторой модели межотраслевого баланса. Найдите: а) приращение валового выпуска X1, обеспечивающее приращение
конечной продукции Y1; б) приращение конечной продукции Y2 , соответст-
вующее приращению валового выпуска X 2 : |
|
1,5 |
0,2 |
0,1 |
|
Y1 |
|
10 |
|
|||
S 0,5 |
1,5 |
0,3 |
; |
30 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
0,2 |
0,1 |
1,1 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД И ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
Решите системы. |
||
28. а) x 2 y 7, |
||
б) 2x1 |
3x y 5; |
|
3x2 |
1 0, |
|
3x |
4x |
1 0; |
1 |
2 |
|
в) 7x1 |
2x2 |
8, |
5x |
3x |
19. |
1 |
2 |
|
x 2 y z 7,
29.3x y 3z 5,x 3y z 9.
6x 5x 2x 5,
30.3x11 2x22 5x33 1,
4x1 3x2 7x3 2.
34. Найдите ранг матрицы: |
||||||
а) A 1 |
2 3 |
5 ; |
||||
|
|
14 |
28 |
42 70 |
||
|
3 |
4 |
5 |
1 |
7 |
|
б) 8 |
7 |
2 |
1 |
15 ; |
||
|
2 |
1 |
8 |
3 |
1 |
|
|
|
2x |
3x |
x |
4, |
|
31. x11 x22 3x33 |
5, |
|||
3x |
4x |
x |
0. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
1 2 3
32.3x1 2x2 x3 5,x1 x2 x3 6.2x x x 0,
1 2 3
33.2x1 4x2 3x3 3,
3x1 2x2 5x3 13.x 3x x 2,
РАНГ МАТРИЦЫ
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
в) |
2 |
3 |
1 |
5 |
|
; |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
7
|
1 |
3 |
1 4 |
1 |
|
|
10 24 20 |
44 |
10 |
||||||
г) |
11 3 |
5 5 |
2 |
; |
|
е) 2 3 |
6 |
12 17 . |
|||||||
|
5 |
|
5 |
3 |
17 |
12 |
|
|
|
5 10 |
10 |
10 |
|
||
|
|
|
|
|
25 |
||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
1 |
5 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
д) 6 |
2 |
10 |
4 |
|
1 ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
7 |
|
|
1 |
5 |
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
1 |
|
35. Определите ранг матрицы 1 |
a |
1 |
в зависимости от числа a . |
|
1 |
a |
|
1 |
|
МЕТОД ГАУССА
Решите системы методом Гаусса.
x1 2x2 x3 1,
36.2x1 3x2 2x3 5,3x1 4x2 5x3 12,
x1 x2 x3 1.
2x1 |
x2 |
x3 |
3, |
||
x |
x |
x |
2, |
||
37. 3x11 |
x22 5x33 |
4, |
|
||
x1 |
x2 x3 |
7, |
|
||
5x |
2x |
x |
7. |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
x1 |
x3 x4 3, |
||||
38. 2x1 |
3x2 |
x3 x4 |
2, |
||
5x |
|
3x |
6, |
||
|
x1 |
x x x4 |
2. |
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
4x |
|
2x |
x |
|
7, |
|
||||
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
2, |
|
|||||
39. |
2x1 |
|
3x2 |
3x3 |
11, |
|
|||||
|
4x1 |
|
x |
2 |
x |
3 |
7. |
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||
|
3x1 |
|
x2 |
|
|
x4 |
2x5 |
1, |
|||
40. |
|
2x1 |
|
3x3 |
x4 |
x5 |
2, |
||||
|
x x 2x |
x x 1. |
|||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
x 2x |
2x |
|
|
3, |
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
41. |
|
2x1 |
x2 x3 |
5x4 1, |
|
||||||
|
x |
x |
3x |
|
x |
0. |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
МЕТОД ЖОРДАНА–ГАУССА. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ
Решите системы методом Жордана-Гаусса.
|
2x |
x |
|
x |
8, |
|
42. |
|
x11 |
2x22 x3 |
4 |
3, |
|
|
|
x 2x x 3, |
||||
|
3x |
|||||
|
|
x1 |
x2 |
x 3 x 4 |
3. |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 2 3 4
43.3x1 2x2 x3 2x4 1,x1 4x2 3x3 4x4 0.2x x x x 5,
3x x |
|
x 2x 1, |
|||
44. 2x11 |
2 3x3 |
x44 |
x55 2, |
||
|
x |
x 2x |
x |
x 1. |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
2x x x x 1, |
|
|||||||
45. 2x11 |
x22 |
3 |
3x44 |
2, |
|
||||
|
3x |
|
x |
x |
3, |
|
|||
|
2x1 |
2x 23x 54x 6. |
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
||
|
x 2x 3x 4x 4, |
|
|||||||
|
|
1 |
|
x22 |
x33 |
x44 3, |
|
||
46. |
x |
3x |
3x |
1, |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
7x2 3x3 |
x4 |
3. |
|
|||
|
x1 x2 |
x3 |
x4 |
x5 7, |
|||||
|
|
|
|
2x2 |
x3 |
x4 3x5 2, |
|||
47. |
3x1 |
||||||||
|
|
|
x2 2x3 |
2x4 |
6x5 |
23, |
|||
|
|
|
|
||||||
|
5x1 |
4x2 |
3x3 3x4 |
x5 |
12. |
8
|
x 2x |
|
|
3x 2x 1, |
|
5x 8x |
x 0, |
|
|
||||||||||||||
48. |
|
x11 |
x22 |
3x3 |
|
x44 |
3x55 2, |
52. 2x11 3x22 |
2x33 |
0, |
|
|
|||||||||||
|
2x |
3x |
4x 5x 2x 7, |
|
|
x |
|
2x |
|
3x |
|
0. |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
9x1 |
9x2 |
6x3 |
|
16x4 2x5 |
25. |
|
2x |
3x |
x |
0, |
|
|
||||||||||
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
x4 |
1, |
|
53. |
x11 x2 |
2 x3 |
3 0, |
|
|
|
||||||||||
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
x4 |
1, |
|
|
5x 5x |
x |
0. |
|
|
|
||||||||||
49. 2x1 |
3x2 |
x3 |
x4 |
1, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x1 |
3x2 |
x3 |
x4 0, |
||||||||||||||||||
|
2x |
2x |
2x |
x |
1, |
|
|
||||||||||||||||
|
5x1 |
5x2 |
2x3 |
4 2. |
|
54. |
7x1 |
5x2 |
x3 |
5x4 |
|
0, |
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3x |
x x 2x |
0, |
||||||||||
|
8x1 6x2 |
5x3 |
|
2x4 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
21, |
|
|
5x |
|
7x |
x |
4x |
|
0. |
||||||||||||
|
3x |
3x |
2x |
|
x |
|
10, |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
||
50. 4x11 |
2x22 |
3x33 |
x44 |
8, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x1 |
5x2 |
x3 |
|
x4 |
15, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7x |
4x |
5x |
|
2x |
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 x3 x4 x5 0,
51.2x1 x2 x3 x4 x5 0,
x1 7x2 5x3 5x4 5x5 0,3x1 x2 2x3 x4 x5 0.
55.Фирмой было выделено 236 тыс. усл. ден. ед. для покупки 29 предметов для оборудования офиса: несколько компьютеров по цене 20 тыс. усл. ден. ед. за компьютер, офисных столов по 8,5 тыс. усл. ден. ед. за стол и стульев по 1,5 тыс. усл. ден. ед. за стул. Позже выяснилось, что в другом месте компьютеры можно приобрести по 19,5 тыс. усл. ден. ед., а столы – по 8 тыс. усл. ден. ед. Стулья продаются по той же цене. Благодаря обращению в это место, на ту же сумму было куплено на один стол больше. Выясните, какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено.
56.Швейная фабрика в течение трёх дней производила костюмы, плащи и куртки. Известны объёмы выпуска продукции за три дня и денежные затраты на производство за эти дни (табл. 3). Найдите себестоимость единицы продукции каждого вида.
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
День |
Объём выпуска продукции (единиц) |
Затраты |
|
||
Костюмы |
Плащи |
Куртки |
(тыс. усл. ден. ед.) |
|
|
|
|
||||
Первый |
50 |
10 |
30 |
176 |
|
Второй |
35 |
25 |
20 |
168 |
|
Третий |
40 |
20 |
30 |
184 |
|
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
ИСОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦ
57.Найдите собственные числа и собственные векторы матриц:
12 12 ; б) 18 12 ;
9
в) |
2 |
9 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
2 ; |
|
|
|
ж) 1 2 |
1 ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
3 |
|
1 0 |
1 |
|
|
г) |
2 |
6 13 ; |
1 |
3 |
1 |
||||
|
1 |
4 |
|
|
|
з) 3 |
3 |
1 ; |
|
|
|
8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
3 |
4 |
|
3 |
1 |
|
|||
д) 4 |
7 |
8 ; |
|
4 |
5 |
2 |
|||
|
7 |
7 |
|
|
и) 5 |
7 |
3 . |
||
6 |
|
|
|||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
9 |
|
|
7 |
|
6 |
6 |
4 |
|
||||
е) 10 |
19 |
|
10 ; |
|
|
|
|
||
|
|
24 |
|
13 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Напишите матрицу квадратичной формы.
58.х12 2х22 3х32 2х1х2 2х2х3 .
59.2х12 5х22 8х32 4х1х2 2х1х3 2х2х3 4х3х2 .
60.2х1х2 4х1х3 6х2х3 .
Определите, какие квадратичные формы являются положительно определенными, отрицательно определенными, неопределенными.
61.x12 26x22 10x1x2 .
62.x12 4x22 2x1x2 .
63.x12 15x22 4x1x2 2x1x3 6x2x3 .
64.12x1x2 12x1x3 6x2x3 11x12 6x22 6x32 .
65.9x12 6x22 6x32 12x1x2 10x1x3 2x2x3 .
66.2x42 x1x2 x1x3 2x2x3 2x2x4 .
67.x12 4x22 4x32 8x42 x2x4 .
Найдите все значения параметра , при которых положительно определены квадратичные формы.
68.2х12 х22 х32 2х1х2 2х1х3 2х2х3 .
69.х12 2х22 3х32 2х1х2 2х1х3 4х2х3 .
70.2 х12 х22 2х32 2х1х2 2х2х3 .
71.2х12 х22 2х32 2х1х2 6х1х3 4х2х3 .
Найдите все значения параметра , при которых отрицательно определены квадратичные формы.
72. х12 х22 3х32 4х1х2 2х1х3 2х2х3 .
10