TIPOVOJ_RASChET_6_MAJ

	В а р и а н т			21
			1	y	e	1
1.	Измените порядок интегрирования: ∫dy∫ f (x, y)dx +∫dy ∫ f (x, y)dx .
			0	0	1	ln y
2.	Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте
	3	3+ 9−x2
область интегрирования: ∫dx		∫	36 − x2 − y2 dy .

03− 9−x2

3.Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

y = ex , y = e−x , z = 0, z =3 − y

спомощью двойного интеграла.

4.Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

x2 + y2 = 4 y, x2 + y2 = 7 y, z = x2 + y2 , z = 0

	с помощью тройного интеграла.
	5. Найдите работу силы FG при перемещении вдоль линии L от точки M
	JG	G	x2 G
	к точке N : F	= (xy − x)i +		j , L : y = 2 x, M (0; 0), N (1; 2) .
			2

6.Найдите координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиои-

дой ρ = a(1−cosϕ) .

7.Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность. Найдите массу тела:

V : x2 + y2 = z2 , x2 + y2 = 4,

x = 0, y = 0, z = 0

(x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0), µ =

5

(x2 + y2 ) .

В а р и а н т

22

2

1.

Измените порядок интегрирования:

1

x2

2

2−x2

f (x, y)dy .

∫dx ∫

f (x, y)dy + ∫dx

∫

0

0

1

0

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

область интегрирования: ∫0

4−y2

dy

∫ (x2 + y2 +1)dx .

−2

0

3.

Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

z =1−

x2

−

y2

, x2 + y2 = 4, x2 + y2 =1, z = 0

4

9

с помощью двойного интеграла.

4. Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

	x2 + y2 = 4 2 y,	z = x2 + y2 −16, z = 0 (z ≥ 0)
с помощью тройного интегралаG.
5.	Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M
к точке	JG	M (0; 0), N(2;8) .
	N : F = −yiG+ xjG, L : y = x3 ,
6.	Найдите центр тяжести фигуры, ограниченной окружностями:
ρ = a cosϕ, ρ =b cosϕ (a >b > 0) .
7.	Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.
Найдите массу тела:		= 4 (x2 + y2 ≤ 4), z = 0 ( z ≥ 0), µ = 2z .
	V : x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2

	В а р и а н т		23
		π		π
1.	Измените порядок интегрирования: ∫4		dxsin∫x	f (x, y)dy + ∫2	dxcos∫x	f (x, y)dy .
		0	0	π	0
				4
2.	Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте
	0	0
область интегрирования: ∫dy		∫ (16 − x2 − y2 )dx .
	−2	− 4−y2

3.	Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:
x2 + y2 + z2 = 4, x2 = x2 + y2 ,		(z ≥ 0)		с помощью двойного интеграла.
4.	Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
x2 + y2 +2x = 0, z =17 − y2 ,		z = 0 с помощью тройного интеграла.
5.	4	G		при перемещении вдоль линии L от точки M
	Найдите работу силы F
	JG		y	2
к точке	N : F = −xiG+ yjG,	L : x2 +			=1 (x ≥ 0, y ≥ 0), M (1; 0), N (0;3) .
		9
6.	Найдите центр тяжести фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x +4 и
y = 2 − x . расположенной выше оси OX.
7.	Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.
Найдите массу тела:
	V : x2 + y2 =1, x2 + y2 =3z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0), z = 0, µ =15x .

В а р и а н т

24

−1

0

0

0

1.

Измените порядок интегрирования: ∫

dy ∫

f (x, y)dx + ∫dy∫ f (x, y)dx .

−

2

− 2−y2

−1

y

2.

Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте

область интегрирования:

∫0

4−y2

ex2 +y2 dx .

dy

∫

−2

−

4−y2

3.

Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

z =1− x2 ,

y = 1

, z = 0,

y = 2

с помощью двойного интеграла.

x

4.

Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

x2 + y2 =9x, x2 + y2 =12x, z = 0, z = x2 + y2 , y = 0 ( y ≥ 0)

с помощью тройного интегралаG.

5.

Найдите работу силы F

при перемещении вдоль линии L от точки M

к точке

JG

2

2

G

2

2

G

x2

y2

N : F

= (x

− y

)i +(x

+ y

) j ,

L :

+

=

1

( y ≥ 0), M (3; 0), N(−3; 0) .

9

4

6.

Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки, ограни-

ченной верхней половиной эллипса

x2

+

y2

=1

и его большой осью.

a2

b2

7.

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.

Найдите массу тела:

µ = 5z .

V : x2 + y2 + z2

=16, x2 + y2 =9z2 , x = 0,

y = 0

(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0),

			В а р и а н т			25
1.	Измените порядок интегрирования:
	1		x3	2	2−x
	∫dx ∫			f (x, y)dy +∫dx ∫		f (x, y)dy .
	0		0	1	0
2.	Вычислите интеграл, перейдя к полярным координатам. Постройте
область интегрирования:		∫8		8 y−y2
			dy	∫ 64 − x2 − y2 dx .

00

3.Найдите объем тела, ограниченного поверхностями:

z2 = x2 + y2 ,	z =	x2 + y2	+1
	4

спомощью двойного интеграла.

4.Найдите объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

x2 + y2 +2 x = 0, z = x2 + y2 −4, z = 0 (z ≥ 0)

с помощью тройного интегралаG.
5.	Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M
к точке	JG	L : x2 + y2 = 4 ( y ≥ 0), M (2; 0), N(−2; 0) .
	N : F = (x − y)iG+ Gj ,
6.	Найдите центр тяжести плоской фигуры, ограниченной кривыми. На-
рисуйте чертеж. y = − 3 x2 +		3 x +2, 3x −2 y +1 = 0 .
	2	2
7.	Тело V задано ограничивающими его поверхностями, µ - плотность.
Найдите массу тела:
	V : 4(x2 + y2 ) = z2 , x2 + y2 =1, y = 0, z = 0 ( y ≥ 0, z ≥ 0), µ =10(x2 + y2 ) .