dilman_tipovoy_raschet
.pdf7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 :1, а точка F делит |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
JJG G |
|
JJG |
G |
отрезок CD в отношении 2 : 3. Пусть AB = a |
, AD |
= b . Найдите вектор |
||||||||
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DG . |
G |
G |
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
8. Пусть |
p = 2a |
+ 4b , |
q = a |
−b, |
a |
= 2 , |
b |
=1 и векторы p и q |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q . |
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||||
ортогонален векторам aG(2; 1; −2) |
и b(0; 1; 2), а его |
проекция на |
||||
вектор cG |
(2; 3; 6) равна 8. |
JJG |
JJG |
JJJG |
||
10. |
В |
тетраэдре OPNK |
||||
OP(4; 0; 3), ON(−1; 5; 0), |
OK (0; −6; 5). |
Найдите тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины O на грань PNK.
11. |
Высота и медиана, проходящие через разные вершины |
|||||||||||
треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями |
||||||||||||
соответственно |
x −3y +5 = 0 |
|
и x + y −9 = 0 . Найдите |
уравнения |
||||||||
сторон AB и AC, если B(5; 10). |
|
|
|
|
||||||||
12. |
Составьте |
|
уравнение |
|
прямой, |
проходящей через точку |
||||||
A(2; 0; −1) и две скрещивающие прямые: |
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
y −2 |
|
z |
−2 |
|
x = −3t + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||
|
l1 : |
|
|
|
= |
|
= |
|
|
l2 : y = t, |
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −1. |
|
13. |
В параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1: A(−1; 2; 1), |
B(−2; 1; 2), |
C(1; 2; 3), A1 (1; 3; 4). Найдите расстояние между прямыми BD и B1C.
14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(−2; 5) и прямой y =1. Полученное уравнение приведите к
каноническому виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением x = −1+ 12 y2 + 4y , изобразите ее на координатной плоскости,
найдите координаты фокусов этой кривой.
11
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
2 3 −1 |
|
−1 0 5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C = (A |
T |
+B)(2B |
T |
−A); |
A = |
|
2 |
5 |
−4 |
|
; |
|
0 |
1 −3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
B = |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 8 |
|
|
|
2 |
−2 −4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x + 2y +3z = 25, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y = 25, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4y +7z = 25. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−5 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
5 |
|
= |
(−41 |
82 |
|
123). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 2x2 +3x3 = 6, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x2 + 4x3 = 9, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x2 +5x3 =12, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 |
−x3 = −1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
aG(2; −3; 1), |
||||||||||
|
6. |
Проверьте, что |
векторы |
|
образуют |
базис: |
||||||||||||||||
bG |
(3; −3; 1), cG |
(2; −1; 2). Вектор d |
составляет с осью OX угол 60D, с |
осью OY угол 135D, с осью OZ тупой угол; |
|
d |
|
=10. Какой угол вектор |
G |
|
|
|
G G G |
|
|
|||
d образует с осью OZ? Разложите вектор d |
|
по базису a, b, c . |
12
7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит
отрезок AB |
в |
отношении |
3:1, |
а точка E |
делит отрезок |
BC в |
||||||||||
отношении 2 |
|
|
JJJG |
G |
JJG |
|
|
G |
|
|
JJG |
JJG |
||||
:1. Пусть AB = a |
, BC = b . Найдите векторы FC и |
AF. |
||||||||||||||
8. Пусть |
G |
G |
G G G |
|
G |
a |
|
=3, |
|
b |
|
= 2 |
и |
G |
= 2 13 . Найдите |
|
p |
= 2a |
−b, q = a |
−2b, |
|
|
|
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модуль вектора q .
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
||||||
ортогонален векторам aG(2; 0; −3) и b(3; −1; 1), образует с вектором |
|||||||
cG(−2; 1; 1) тупой угол, а модуль вектора x равен |
134 . |
JJJJG |
|
||||
10. |
В тетраэдре MNLK |
JJJG |
JJG |
(0; |
−3; 7), |
(−6; 4; 0). |
|
MN(−1; 0; 8), ML |
MK |
||||||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины M |
|||||||
на грань NLK. |
|
|
|
|
|
|
|
11. |
В треугольнике |
ABC |
уравнение |
биссектрисы |
угла A |
x − y −1 = 0, уравнение высоты из точки C x +3y −23 = 0 и B(6; 13).
Найдите уравнение стороны AC.
12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(−1; −3; 0) и две скрещивающие прямые:
l : |
x + 2 |
= |
y −5 |
= |
z |
, |
l |
|
: |
x +1 |
= |
y +3 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
−1 |
|
2 |
0 |
|
−1 |
||||||
13. В параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1: |
A(1; 3; 1), B(2; 4; 1), |
C(−1; 1; 3), A1 (2; 3; 5). Найдите расстояние между прямыми AB1 и
A1C1.
14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(3; 0) и данной прямой x =12 равно 12 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением y = 3 −2 1− x , изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.
13
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
6 |
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислите определитель |
−3 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
3 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
−1 2 4 |
|
|
|
|
1 −1 4 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C = (8B −(A |
T |
) |
2 |
) |
T |
; |
|
|
|
0 |
1 |
|
; |
|
−1 2 0 −4 |
|
|||
|
|
|
A = |
−1 |
B = |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −6 3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 6 3 |
|
|
|
|
|
|||
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y + 2z = 90, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y −2z = 9, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2y + z = 63. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
4. Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
||||
|
−5 |
3 |
4 |
|
36 −18 |
|||
|
0 1 |
0 |
|
|
−54 |
72 |
|
|
|
X |
= |
. |
|||||
|
−2 |
0 |
2 |
|
|
−36 |
54 |
|
|
|
|
|
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
||||
|
|
|
3x1 + 2x |
2 − x3 =1, |
|
|||
|
|
|
|
+ 2x3 = 5, |
|
|||
|
|
|
x1 +3x2 |
|
||||
|
|
|
|
|
=11, |
|
||
|
|
|
5x1 +8x2 +3x3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 =1. |
|
|
aG(2; −3; 1), |
||
6. |
Проверьте, |
что векторы |
образуют базис: |
|||||
bG(1; 5; −4), cG(4; 1; −3). Вектор d составляет с осью OX острый угол, |
||||||||
|
2π |
, с осью OZ угол π; |
|
|||||
с осью OY угол |
d |
= 2. Какой угол вектор d |
||||||
|
||||||||
|
3 |
|
4 |
|
G G |
G |
||
|
|
|
||||||
образует с осью OX? Разложите вектор d |
по базису a, b, c . |
14
7. |
В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а |
|||||||||||||||
точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE |
||||||||||||||||
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении 2 : 3 |
, а точка F делит |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
JJG |
|
G |
JJG |
G |
|
|
|||
отрезок CD в отношении 1: 2 . Пусть AB = a , |
AD |
= b . Найдите вектор |
||||||||||||||
JJJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CG . |
|
G |
G |
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
8. |
Пусть |
p = a |
−2b, |
q = 2a |
+ b , |
|
a |
=1, |
|
b |
= 3, |
(a; b)= 600 . |
||||
Найдите косинус угла между векторами p и q . |
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
Найдите |
координаты вектора |
|
|
x (x; −1; x), |
если |
проекция |
|||||||||
вектора xG ×aG |
(4; 1; 1) на вектор b (2; 1; 2) |
равна 5. |
|
|
JJJG |
|
||||||||||
10. В тетраэдре |
SABC |
JJG |
|
|
|
|
JJG |
|
|
|
5), |
|
||||
AB(−5; 1; 0), |
|
AS(2; 0; − |
AS(2; 0; −5). |
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины A на грань SBC.
11. Уравнения основания и боковой стороны равнобедренного
треугольника ABC соответственно |
x +2y +4 = 0 и 3x −4y +2 = 0. |
Точка D(2; −1) лежит на боковой |
стороне. Запишите уравнение |
третьей стороны.
12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(−2; 0; −1) и две скрещивающие прямые:
|
|
x −4 |
|
y +1 |
|
z −3 |
|
|
x = −2, |
||
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
l1 |
: |
|
= |
|
|
= |
|
l2 |
: y =3t |
+1, |
|
2 |
1 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−4. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −t |
|
13. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: |
A(2; 3; −1), B(3; 1; 4), |
C(1; 2; 3), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми BC1 и
B1D1.
14. Составьте уравнение кривой, точки которой равноудалены от точки A(4; −2) и прямой y = 4. Полученное уравнение приведите к
каноническому виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением y = −1+ 23 6x − x2 , изобразите ее на координатной плоскости,
найдите координаты фокусов этой кривой.
15
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Вычислите определитель |
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
7 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
10 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−3 |
−15 |
−6 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
−1 0 2 −2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
C = (B −2AAT )T ; |
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|||||
|
A |
= |
5 ; |
B = |
3 |
0 |
0 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 7 9 4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
−6 1 0 −2 |
|
|
|||||||||
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x + 2y +3z =12, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + z = 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x + 2y +5z =12. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−6 |
0 |
|
4 |
|
|
11 |
|
−22 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
X |
−2 5 |
−3 |
= |
|
44 |
|
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
−11 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2x1 + x |
2 − x3 −3x4 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ x3 −7x4 = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−3x3 + x4 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+3x2 −4x3 −2x4 = 3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2x1 |
|
|
aG(2; 1; 3), |
|||||||||||||||||||
6. |
Проверьте, что |
векторы |
|
образуют |
|
базис: |
||||||||||||||||||
bG(−4; −2; −1), c(3; 4; 5). Вектор d составляет с осью OX угол |
π, с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
осью OY острый угол, с осью OZ угол |
|
; |
d |
= 4. Какой угол вектор |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
G |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
d образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит
отрезок AB |
в |
отношении |
2 : 3 |
, а |
точка E |
|
делит |
отрезок |
BC в |
|||||||
|
|
|
JJJG |
G |
JJG |
G |
|
|
|
|
JJJG |
JG |
||||
отношении 3: 2 . Пусть AB = a |
, AC = b . Найдите векторы DF и FE . |
|||||||||||||||
8. Пусть |
G |
G |
G |
|
G |
G |
|
a |
|
=1, |
|
b |
|
= 4, |
G G |
|
p = 2a |
−b, q = |
2a |
−b, |
|
|
|
|
(a; b)=1200 . |
||||||||
Найдите проекцию вектора |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3p +q на вектор p . |
|
|
|
|
|
|
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
|||||
ортогонален векторам aG(1; −2; 0) и |
b(3; 1; 1), |
а его |
проекция на |
|||
вектор cG |
(−1; 2; 2) равна 7. |
JJJG |
JJJG |
|
JJJG |
|
10. |
В тетраэдре OMNP |
MO(−2; 8; 9), MN(4; 5; 0), |
MP(0; 2; −1). |
|||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины M |
||||||
на грань NOP. |
|
|
|
|
||
11. |
В |
равнобедренной |
трапеции |
ABCD |
известны уравнение |
основания AD x + y −3 = 0, уравнение диагонали AC x +6y −18 = 0 и
B(3; 5). Найдите координаты точки D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12. |
Составьте |
|
уравнение |
прямой, |
|
проходящей |
через |
точку |
|||||||||||||
A(3; 2; −2) и две скрещивающие прямые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
l : |
x −3 |
= |
y |
= |
z + 4 |
, |
l |
|
: |
x +1 |
= |
y −3 |
= |
z |
. |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
|
−1 −4 |
|
2 |
|
|
−2 |
5 |
|
|
|||||||
13. |
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: |
A(1; 2; 2), B(2; 3; 2), |
|||||||||||||||||||
C(3; 3; 1), A1 (4; 2; 4). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1. |
|||||||||||||||||||||
14. |
Составьте |
уравнение |
кривой, отношение расстояний |
точек |
которой до данной точки A(10; 0) и данной прямой x = 6,4 равно 54 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
|||
x = −1+ |
2 |
y2 + 4y +13 , изобразите ее |
на координатной |
плоскости, |
|||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
17
|
|
В а р и а н т |
|
8 |
|
|
|
||||
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
−1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
−1 |
1 |
2 |
3 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
4 |
−1 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
−1 2 0 |
|
; |
|
15 0 −1 1 |
||||
|
C = −BT B −9AT ; A = |
1 |
−2 1 3 |
|
B = |
−2 7 −6 4 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
0 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x + 2y −z =10, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+3y −2z =15, |
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
+5y + z = 20. |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
4. Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
||
|
−8 1 |
3 0 |
|
21 −42 |
||
|
X |
|
= |
−21 0 |
. |
|
|
5 2 |
−1 2 |
|
|
|
5. Решите систему методом Гаусса:
|
|
|
3x1 + 2x2 −3x |
3 +4x4 |
=1, |
|
|
||||
|
|
|
|
−2x |
3 +3x4 |
= 2, |
|
|
|||
|
|
2x1 +3x2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
−3x3 + 2x4 |
= 3. |
|
|
||||
|
|
4x1 + 2x2 |
|
|
|||||||
6. Проверьте, что |
векторы |
образуют базис: aG(2; 3; 1), |
|||||||||
bG(−1; 2; −2), cG(1; 2; 1). Вектор d |
составляет с осью OX угол |
2π |
, с |
||||||||
3 |
|||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
осью OY угол |
|
= 6. Какой угол вектор d |
|||||||||
, с осью OZ тупой угол; |
d |
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
G G G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
образует с осью OZ? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
|
18
7. |
В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а |
|||||||||||||||
точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE |
||||||||||||||||
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении |
|
3:1, а точка F делит |
||||||||||||||
отрезок |
CD |
в |
отношении 1:1. |
Пусть |
|
JJG |
|
G |
JJJG |
G |
Найдите |
|||||
|
AB = a , |
AD = b . |
||||||||||||||
|
|
JJJG |
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы GE |
и GF. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|||
|
|
|
G |
G |
G |
G |
G |
a |
|
=1, |
|
b |
|
= 3, |
||
8. |
Пусть |
p |
= a |
−2b, q = 2a |
+ b , |
|
|
|
(a; b)= 600 . |
|||||||
Найдите |
длину |
диагоналей |
параллелограмма, |
построенного на |
||||||||||||
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах p и q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: |
|||
ортогонален векторам aG(3; 1; 1) |
и b(−1; 1; 0), |
образует |
|||
cG |
(1; 1; 1) |
острый угол, а модуль вектора x равен |
72 . |
||
|
10. |
В |
JJG |
JJG |
|
|
тетраэдре TNQR TN |
(−3; 4; 2), TQ(1; 0; −4), |
вектор x с вектором
JJJG
TR (2; 5; 0).
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины T на грань NQR.
11. В прямоугольнике |
ABCD отношение сторон AB: BC = 2 :1. |
Уравнение прямой AB |
3x +2y +4 =0, точка Q(1; 3) – точка |
пересечения диагоналей. Найдите уравнения прямых AC и BD.
12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(−2; 0; −3) и две скрещивающие прямые:
|
l : |
x + 2 |
= |
y |
= |
z +3 |
, |
l |
|
: |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
z |
. |
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
|
|||||||||
|
1 |
−3 |
−1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
−1 |
||||||
13. |
В параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1: A(2; −1; 2), B(2; 1; 3), |
||||||||||||||
C(3; 3; 2), A1 (2; 3; 3). Найдите расстояние между прямыми BD и |
||||||||||||||||
AB1. |
Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек |
|||||||||||||||
14. |
||||||||||||||||
которой до данной точки |
A(4; 0) |
и данной прямой |
x =1 равно 2. |
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте
кривую. |
|
|
|
|
|
|
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
||
y = 3 + |
4 |
8x − x2 −7 , |
изобразите ее |
на координатной |
плоскости, |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
19
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
3 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 2 1 |
|
|
−7 14 −2 |
|||||||||||
|
|
C = (3A |
T |
) |
2 |
+ B |
T |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
0 −1 5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
A = −5 0 4 |
; |
= |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−2 8 |
|
|
|
−1 3 −9 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x +5y + 2z = 5, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2y |
+5z |
=1, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3y |
+7z |
= 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 0 0 |
−46 0 23 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−5 7 |
|
|
69 |
|
−23 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
= |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−9 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−82 0 46 |
|
|
|||||||||||||||||
|
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 −2x2 + x3 −x4 = 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 −2x2 −x3 + x4 =1, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2x3 +5x4 = 3. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 |
a (1; 2; 1), |
bG(2; −1; 3), |
|||||||||||||||||
|
6. Проверьте, что векторы образуют базис: |
|||||||||||||||||||||||||||
cG |
(3; −1; 4). Вектор dG |
составляет с осью OX тупой угол, с осью OY |
||||||||||||||||||||||||||
угол |
π, с осью OZ угол |
|
3π |
; |
|
d |
|
=8. Какой угол вектор dG |
образует с |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
осью OX? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
|
|
20