dilman_tipovoy_raschet
.pdf7. |
В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне |
|||||||||||||||||||||||
BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит |
||||||||||||||||||||||||
отрезок |
AB в |
отношении 3:1, |
а точка E |
делит |
отрезок |
BC |
в |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
JJJG |
G |
JJG |
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJG |
|
|
|
||
отношении 1:3. Пусть AB |
= a , BC = b . Найдите вектор BF. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
|
G |
G |
G |
G |
G |
|
a |
|
=1, |
|
b |
|
= 2 |
|
и векторы |
p |
и |
q |
|||||
Пусть p = 2a |
−b, q |
= a |
+ b, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярны друг другу. Найдите модуль вектора q . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
Найдите координаты вектора x (2; x; x), если проекция вектора |
|||||||||||||||||||||||
xG×aG |
(1; 2; −1) на вектор bG(2; −1; 2) равна −1. |
|
|
|
|
|
JJJJG |
|
|
|
||||||||||||||
10. В тетраэдре PSQM |
JJG |
(4; −2; −1), |
|
JJG |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
QP |
QS(0; 2; 5), |
QM (2; 0; −4). |
||||||||||||||||||||||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины Q |
||||||||||||||||||||||||
на грань PSM. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. В |
∆ABC |
известны: |
|
вершина |
|
|
B(−1; 2) , |
сторона |
||||||||||||||||
AC : 2x −3y −6 = 0, |
высота CH : x −4y −3 = 0 . |
Найдите уравнение |
||||||||||||||||||||||
средней линии ∆ABC , параллельной стороне AB. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
12. Составьте |
уравнение |
прямой, проходящей |
через |
|
точку |
|||||||||||||||||||
A(0; 2; −1) и две скрещивающие прямые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x = 0, |
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
y |
|
|
z + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
l1 : |
y = 4t |
+ 2, |
l2 : |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z = −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. В |
параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1: A(1; 2; 4), B(2; −1; 0), |
C(2; 3; 4), A1 (1; 2; 5). Найдите расстояние между прямыми AC и A1B. 14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек
которой до данной точки A(8; 0) и данной прямой x = 4,5 равно 43 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением x =3 −3 y2 −2y , изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Вычислите определитель |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
0 |
−3 |
−3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
−2 −6 |
|
|
|||||||||||||||
C = (B |
T |
B −A |
2 |
) |
T |
; A = |
|
|
−7 6 4 |
−8 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
2 |
; |
B = |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−1 |
−1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−1 |
−5 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y −5z = 31, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
−2z =15, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x + 2y + z = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 1 −2 15 −20 30 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−1 5 |
|
|
|
|
−60 15 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
= 0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
−15 |
|
|
|
|
||||||||||
5. Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 − x2 + x3 + x4 −2x5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+3x2 |
−3x3 −3x4 + 4x5 |
|
= 2, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+5x2 |
−5x3 −5x4 +7x5 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x1 |
|
|
aG = (1; 3; 0), |
||||||||||||||||||
6. |
Проверьте, |
|
|
что |
векторы |
образуют |
|
базис: |
|
|||||||||||||||||||
bG = (0; −2; 3), cG = (1; 2; 8). Вектор |
d составляет с осью OX угол |
π |
, с |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
осью OY тупой угол, с осью OZ угол |
; |
|
d |
=10. Какой угол вектор |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении |
2 :1, а точка F делит |
||||||||||||||||||
отрезок CD в |
отношении |
3:1. |
Пусть |
|
JJG |
G |
JJJG |
G |
|||||||||||
AB = a , |
AD |
= b . Найдите |
|||||||||||||||||
JJJG |
JJG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы BG и |
EG. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
G |
G |
|
G |
G |
G |
G |
, |
|
a |
|
=1, |
|
b |
|
= 3 и |
= |
31 . Найдите |
||
8. Пусть p |
= a |
−2b |
, q = −a |
+ 4b |
|
|
|
|
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модуль вектора q .
|
9. Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
||||||||||||||||
ортогонален векторам aG = (2; 1; −3) |
и |
b(−2; 3; 1), а его проекция на |
|||||||||||||||
вектор cG(2; −3; 6) равна −8. |
|
|
|
JJG |
JJJG |
|
|
|
|||||||||
10. |
|
|
|
|
|
JJG |
(−2; 4; |
− |
|
|
|
||||||
В тетраэдре ABCD BA |
6), BC(0; |
−1; 2), BD(4; 0; −2). |
|||||||||||||||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины B |
|||||||||||||||||
на грань ACD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
Высота и медиана, проходящие через разные вершины |
||||||||||||||||
треугольника ABC, лежат на прямых, заданных уравнениями |
|||||||||||||||||
соответственно |
3x + y −8 = 0 |
и |
x − y −2 = 0. |
Найдите уравнения |
|||||||||||||
сторон AB и AC, если B(9; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. |
Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой |
||||||||||||||||
l : |
x −4 |
= |
y −1 |
= |
z |
относительно плоскости x − y +2z +5 = 0. |
|||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(2; 1; −1), |
B(3; 4; 5), |
|||||||||||||||
C(1; 2; −1), A1 (1; 2; 4). Найдите расстояние между прямыми BD и |
|||||||||||||||||
B1C. |
Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек |
||||||||||||||||
14. |
|||||||||||||||||
которой до данной точки A(−6; 0) |
и данной прямой x = − |
8 |
|
равно |
3 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением x =1+ 2(2 − y), изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.
23
|
В а р и а н т |
11 |
|
|
|||||||
1. |
Вычислите определитель |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
−3 |
0 |
−6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
−7 |
6 |
|
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
0 |
−1 |
0 |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
−5 8 2 3 |
|
|
|||||
|
С = (A2 )T −BBT ; A = |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
−4 |
2 |
2 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−1 |
4 |
−2 |
0 |
|
|
||
3. Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
||||||
|
2x + y −z =5, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
=10, |
|
|
|||||
|
3x + y −2z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5x + y + z =5. |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
0 |
4 |
|
B = |
. |
||
|
8 |
5 |
|
|
|
||
|
6 |
−7 |
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
−9 |
|
= (86 0 |
−172). |
X |
|
|||||
|
4 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5. Решите систему методом Гаусса:
|
|
|
x1 −2x2 −3x3 = −3, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+3x2 −5x3 = 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x1 + 4x2 + x3 =3, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3x |
|
+ x |
2 |
−13x |
3 |
= −6. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a (3; 2; 1), |
bG(−1; 1; 0), |
|||||
|
|
6. Проверьте, что векторы образуют базис: |
||||||||||||||
cG(2; 0; 1). Вектор dG |
составляет с осью OX угол |
|
2π |
, с осью OY угол |
||||||||||||
3 |
||||||||||||||||
|
3π |
, с осью OZ острый угол; |
|
d |
|
=12. Какой угол вектор dG |
образует с |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G G |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
осью OZ? Разложите вектор d |
|
по базису a, b, c . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
7. |
В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне |
||||||||||||||||||
BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит |
|||||||||||||||||||
отрезок AB |
в |
отношении |
2 :1, |
а |
точка |
E |
|
делит |
отрезок |
BC в |
|||||||||
отношении 1: 2 . Пусть |
JJJG |
G |
JJG |
|
G |
|
|
|
|
|
JJJG |
JJG |
|||||||
AB = a , |
AC |
= b . Найдите векторы DF и AF. |
|||||||||||||||||
|
|
G |
G |
G |
|
G |
G |
|
a |
|
= 2 , |
|
b |
|
=1, |
G G |
|
||
8. |
Пусть |
p = 2a + b , |
q = a |
−4b, |
|
|
|
|
(a; b)=1200 . |
||||||||||
Найдите косинус угла между векторами p и q . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
||||||||||||||||||
ортогонален |
векторам |
aG |
(−1; 1; 2) |
и |
b(2; 1; 1), |
|
образует с вектором |
||||||||||||
cG(−1; 2; 3) тупой угол, а модуль вектора x равен 140 . |
JJJG |
|
|||||||||||||||||
10. В тетраэдре DEFL |
JJG |
|
|
|
|
|
JJG |
|
|
|
|
−1; 2). |
|||||||
DE(5; 0; −3), |
DF(1; 1; 1), |
DL(0; |
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины D на грань EFL.
11. В треугольнике ABC уравнение биссектрисы угла A x −2y +8 =0, уравнение высоты из точки C 2x +4y −61 = 0 и B(0; 9).
Найдите уравнение стороны AC. |
|
|
|
|
|||||||
12. |
Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой |
||||||||||
l : |
x +1 |
= |
y −2 |
= |
z +1 |
относительно плоскости 2x − y +2z +20 = 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
0 |
4 |
|
B(2; 1; −1), |
|||||||
13. |
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(3; 1; 1), |
||||||||||
C(4; 1; 2), A1 (3; 2; 2). Найдите расстояние между прямыми AB1 |
и |
||||||||||
A1C1. |
Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек |
||||||||||
14. |
|||||||||||
которой до данной точки A(12; 0) и данной прямой x = |
16 |
равно |
3 |
. |
|||||||
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
|||
y = 2 + |
1 |
4x − x2 +5 , |
изобразите ее |
на координатной |
плоскости, |
||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
найдите координаты фокусов этой кривой.
25
В а р и а н т 12
1. |
Вычислите определитель |
|
−5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
−3 |
0 |
−6 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
−7 |
6 |
|
|
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
−1 |
0 |
5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+3B(A |
|
); A |
|
||||||||
|
C = (A |
T |
) |
2 |
T |
|
3 |
−3 4 |
|
; |
||||||
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решите систему методом Крамера:
x +3y + 2z = −9,4x + y =15,6x +5y + 2z = 9.
4. Решите матричное уравнение
|
3 |
1 |
−2 |
|
|
18 |
|
4 |
−5 |
0 |
|
|
0 |
|
X = |
|||||
|
−3 |
4 |
−2 |
|
|
−54 |
|
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
−2 |
3 |
−2 |
|
B = |
. |
|||
|
−3 |
3 |
−8 |
|
|
|
−9 72 . 18
|
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
||||||||
|
|
|
9x1 −3x2 +5x |
3 +6x4 |
= 4, |
|
||||||
|
|
|
|
−2x2 +3x3 +4x4 |
= 5, |
|
||||||
|
|
|
6x1 |
|
||||||||
|
|
|
|
− x2 +3x3 |
+14x4 |
= −8. |
|
|||||
|
|
|
3x1 |
aG(−1; 4; 5), |
||||||||
|
6. |
Проверьте, |
что векторы |
образуют базис: |
||||||||
bG |
(2; 5; −6), cG(−3; 6; 7). Вектор d составляет с осью OX острый угол, |
|||||||||||
с осью OY угол π |
|
3π |
|
= 2. Какой угол вектор d |
||||||||
, с осью OZ угол |
; |
d |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
G G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образует с осью OX? Разложите вектор d по базису a, b, c .
26
7. В параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC, а точка F – на стороне CD. Точка G является пересечением отрезков AE
и BF. Точка E делит отрезок BC в отношении |
2 : 3 |
, а точка F делит |
|||||||||||||||
отрезок |
CD |
в |
отношении |
2 :1. |
Пусть |
JJG |
G |
JJJG |
G |
Найдите |
|||||||
AB = a , |
AD = b . |
||||||||||||||||
|
|
JJJG |
|
JJG |
G |
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
G |
G |
векторы AG |
иGGF. G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
Пусть |
p = 2a |
−b, |
q = a + |
4b , |
a |
= 2 , |
b |
= |
3, |
(a; b)= 600 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на вектор p . |
|
|
|
|
|
|
||||
Найдите проекцию вектора p −2q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
Найдите |
координаты |
вектора |
x (x; 1; − x), |
если |
|
проекция |
||||||||||
вектора xG×aG |
(2; 1; 1) |
на вектор b(2; 6; −3) равна −7. |
|
|
JJJG |
||||||||||||
10. В |
тетраэдре |
SPKT |
JJG |
|
|
|
JJG |
|
|
|
|
||||||
KT(3; 0; 6), |
KP(2; 1; 2), |
|
KS(0; 1; 2). |
||||||||||||||
Найдите объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины K |
|||||||||||||||||
на грань TPS. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. В |
равнобедренной |
трапеции |
ABCD |
известны |
уравнение |
основания AD 2x + y +3 = 0 , уравнение диагонали AC 3x +4y −8 = 0
иB(1; 5). Найдите координаты точки D.
12.Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой
l : |
x |
= |
y +1 |
= |
z − |
2 |
относительно плоскости −3x +2y −z +16 = 0. |
|
−2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
0 |
|
|
||
|
13. В |
параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(1; 3; 2), B(2; 4; 3), |
C(1; 1; 0), A1 (2; 6; 4). Найдите расстояние между прямыми BC1 и
B1D1.
14. Составьте уравнение кривой, отношение расстояний точек которой до данной точки A(2; 0) и данной прямой x =8 равно 12 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, |
какая |
кривая |
определяется |
уравнением |
x =1+ 2 y2 −6y +10 , |
изобразите ее |
на координатной |
плоскости, |
|
найдите координаты фокусов этой кривой. |
|
27
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
13 |
|
|||||
1. |
Вычислите определитель |
|
−5 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
0 |
−6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−5 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−7 |
6 |
|
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
4 |
−5 |
8 |
|
|
|||
|
|
)A |
|
|
|
|
|
|||||
|
T |
T |
; |
|
|
|
3 0 |
−2 |
|
; |
||
|
C =(A −3B |
|
А = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Решите систему методом Крамера:
3x +3y + 2z = 0,−5x −4y −3z = 7,
−x +5y + z =1.
−4 |
0 |
−2 |
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
B = |
−1 . |
|||
|
−1 |
5 |
−5 |
|
|
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−8 |
0 |
1 |
|
|
14 |
−7 |
0 |
|
|
|||||
|
|
−1 3 0 |
|
|
|
||||||||||
|
X |
= |
−7 |
−14 |
. |
|
|
||||||||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
21 |
|
|
||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x1 +5x |
2 −8x3 =8, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+3x |
2 −9x5 |
=9, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4x1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+3x2 −5x3 |
= 7, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2x1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
−7x3 =12. |
|
|
|
||||||
|
|
|
x1 +8x2 |
|
aG(−1; 2; 5), |
||||||||||
6. |
Проверьте, что |
векторы |
образуют |
базис: |
|||||||||||
bG(2; 0; −3), cG(−1; 2; −1). Вектор d составляет с осью OX угол |
π, с |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
4 |
|
осью OY острый угол, с осью OZ угол |
|
= 4. Какой угол вектор |
|||||||||||||
; |
d |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
G |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
G |
G G |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d образует с осью OY? Разложите вектор d по базису a, b, c . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
В ∆ABC точка D лежит на стороне AB, а точка E – на стороне |
||||||||||||||||||||
BC. Точка F является пересечением отрезков AE и CD. Точка D делит |
|||||||||||||||||||||
отрезок |
AB |
в |
отношении |
2 :1, а |
точка |
E |
|
делит |
отрезок |
BC |
в |
||||||||||
|
|
|
|
|
JJJG |
G |
JJG |
G |
|
|
|
|
|
|
JJG |
JG |
|
||||
отношении 2 : 3. Пусть AB = a , |
AC = b . Найдите векторы FC и FE . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
G |
G |
G |
|
G |
G |
|
a |
|
= 2 , |
|
b |
|
=1, |
G G |
|
|
||
8. |
Пусть |
p = 2a |
+ b , |
q |
= a |
−4b, |
|
|
|
|
(a; b)=1200 . |
||||||||||
Найдите |
длину |
диагоналей |
параллелограмма, |
построенного |
на |
||||||||||||||||
|
|
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах p и q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Найдите координаты вектора x из условий: вектор x |
||||||||||||||||||||
ортогонален |
векторам aG |
(3; 0; 2) и |
b(1; 2; −4), |
а его проекция |
на |
||||||||||||||||
вектор cG |
(2; 1; −2) равна −2. |
A(−4; 0; 0), |
B(−6; 2; 1), |
C(−2; 5; −6), |
|||||||||||||||||
10. В |
тетраэдре |
SABC |
вершина S лежит на оси OY, высота тетраэдра, опущенная из вершины S, равна 259 . Найдите координаты вершины S и объем
тетраэдра.
11. Уравнения основания и боковой стороны равнобедренного треугольника ABC соответственно x − y −2 = 0 и 4x − y +7 = 0. Точка
D(3; 4) лежит на боковой стороне. Запишите уравнение третьей
стороны. |
|
|
|||||
12. |
Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой |
||||||
l : |
x +1 |
= |
y −2 |
= |
z +3 |
относительно плоскости −2x + y +4z −1 = 0 . |
|
|
|
|
|||||
|
−3 |
|
−1 |
1 |
|
||
13. |
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: A(2; 3; 0), B(1; −1; 1), |
||||||
C(2; 1; 3), A1 (3; 1; 2). Найдите расстояние между прямыми AC и BC1. |
|||||||
14. |
Составьте |
уравнение кривой, отношение расстояний точек |
которой до данной точки A(−4; 0) и данной прямой x = −9 равно 23 .
Полученное уравнение приведите к простейшему виду и постройте кривую.
15. Установите, какая кривая определяется уравнением y = 2 − 6(x −1), изобразите ее на координатной плоскости, найдите координаты фокусов этой кривой.
29
|
|
|
|
|
|
В а р и а н т |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1. |
Вычислите определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−3 |
|
|
9 |
|
|
−6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
−5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
Найдите матрицу C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C = (−2AT A −4B) |
T |
; |
A = |
−7 0 3 1 |
B = |
|
2 |
−3 0 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
3 |
−3 |
−4 1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 0 |
|
−3 −4 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
−8 |
9 |
|
|
|
3. |
Решите систему методом Крамера: |
|
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x + 2y + z = −6, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4z |
= 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5x + 2y +6z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4. |
Решите матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
−5 0 |
|
1 −1 30 −10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
2 |
|
|
|
|
= |
20 |
−50 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5. |
Решите систему методом Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x1 + x |
2 − x3 = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
+ x3 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3x1 + x2 +5x3 = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
− x |
2 |
+ x |
3 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
5x |
1 |
+2x |
2 |
−x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aG(−1; 0; 1), |
|||||||
|
6. |
Проверьте, |
|
что |
векторы |
|
|
образуют базис: |
||||||||||||||||||||
bG |
(0; −2; 4), cG(−3; 5; 0). Вектор d составляет с осью OX угол 1350, с |
осью OY угол 600, с осью OZ тупой угол; |
d |
|
= 6. Какой угол вектор d |
|
образует с осью OZ? Разложите вектор d |
|
|
|
G G G |
|
|
|||
по базису a, b, c . |
30