ZO-2012 Физика задания для контрольной

Де-Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие

частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойст-

вами. С каждой микрочастицей связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия Е = hν и импульс p = λh , а с другой – волновые харак-

теристики – частота ν и длина волны λ . Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де-Бройля. Так как дифракция электронов является следствием волновой природы частиц, то для определения скорости электронов применим эту формулу

λ =	h	=	h	υ =	h	.	(1)
	p		mυ		mλ

Чтобы найти длину волны де-Бройля воспользуемся тем обстоятельством, что дифракционная картина, возникающая при прохождении через узкую щель параллельного пучка электронов, вполне соответствует дифракционной картине, полученной от этой же щели при освещении её параллельным пучком монохроматического света, длина волны которого равна длине волны де Бройля для электрона. Это значит, что в случае дифракции электронов положение дифракцион-

ных минимумов можно определить по формуле
a sinϕ = ±кλ (к = 1, 2, 3 ,…),	(2)

если понимать в ней под λ длину волны де-Бройля для электрона.

Изображенная на рисунке кривая показывает распределение интенсивности пучка электронов на экране. Центральный дифракционный максимум заключен между двумя минимумами первого порядка. Его ширина b зависит от угла дифракции ϕ , соответствующего первому минимуму. В свою очередь, угол ϕ связан с шириной щели a по формуле (2). Из условия задачи видно, что угол ϕ весьма мал. Поэтому для углов менее 5°

sinϕ » tgϕ = b . 2l

Отсюда, полагая, что в формуле (2) k = = 1, имеем λ = ab . Подставив это значе-

ние λ в (1), найдем							2l
	υ =		h2l		.	(3)
			mab
Проверим наименование единицы измерения скорости в системе «СИ»
н.е.и. υ =	Дж × с× м		=	нм× с		=	кгм× мс	=	м	.
	кг × м× м кг × м						с2 × кгм с

Произведем вычисления, предположив, что υ << c . Считаем электрон классиче-

	ской частицей, тогда m = m = 9,11·10–31					кг и расчет дает
		0
	υ =	6,63 ×10−34 × 2 × 0,5						= 4,55·106	( м с).
		9,11×10	−31	× 2 ×10	−6	×80 ×10	−6

100

Так как в действительности масса движущегося электрона не меньше его массы покоя m0 , то истинное значение скорости υ , определяемое по (3), будет не больше, чем вычисленное нами. Таким образом, предположение о том, что υ << c , соответствует действительности и, значит полученный результат правильный. Если бы полученный результат противоречил неравенству υ << c , это означало бы, что электрон следует рассматривать как релятивистскую частицу, масса которой зависит от скорости. Тогда, чтобы получить правильный ответ, надо подставить в

(3) вместо m её значение

m =			mo
1			-υ 2 / c 2

и решить квадратное относительно υ уравнение.

2. Исходя из соотношения неопределенностей, найти наименьшую неточ- ность х , с которой можно вычислить координату электрона в атоме во- дорода, если его средняя кинетическая энергия E к в невозбужденном ато- ме равна 2,18·10–18 Дж.

Дано

E к = 2,18·10–18 Дж me = 9,1·10–19 кг

h = 6,63·10–34 Дж·с

х – ?

атоме водорода

Анализ и решение

Как следует из соотношения неопределённостей

DхDрх ³ h ,

где х , Dрх – неопределенности координаты и проекции импульса на ось Х микрочастицы, h – постоянная Планка, неточность координаты электрона в

Dх ³	h	.	(1)
	Dрх

Величина рх неизвестна, однако сам импульс p (точнее его среднее квадратичное значение) легко найти, так как нам известна средняя кинетическая энергия

электрона. Так как E << m c2

, то электрон можно считать нерелятивистской

0

частицей. Тогда его импульс р и кинетическая энергия E к

связаны соотноше-

нием

mеυ 2

mе2υ 2

Ек =

=

=

р2

.

е

2

2mе

2mе

Отсюда

р =

.

2m E к

(2)

e

е

Теперь сравним величины

рх и

p . Поскольку импульс

p – вектор, то по-

следняя формула позволяет лишь вычислить модуль этого вектора, тогда как его направление остается неизвестным. Поэтому проекция импульса px на ось Х оказывается неопределенной: её величина лежит в интервале (– p , p ). Это значит, что неопределенность проекции импульса на ось Х равна

101

рх = 2 р или рх ~ p ,

то есть величины рх и p одного порядка. Поэтому, заменив рх в формуле (1) величиной p и учитывая соотношение (2), получим ответ

Dх ³ h = h .

р 2mе Еек

Произведя вычисления, найдем

	Dх ³		6,63 ×10−34		–10
					= 3,3·10 (м).
			2 ×9,1×10−31 × 2,18 ×10-18

Следовательно, наименьшая, допустимая соотношением неопределенностей минимальная неточность ( х ), с которой можно определить координату электрона в атоме водорода, есть величина порядка 10–10 м.

ЗАДАЧИ

371. Найти длину волны де Бройля λД для электрона, обладающего кинетиче-

ской энергией E к 1) 100 эВ; 2) 3,00 MэВ.

372.Приняв, что минимальная энергия E нуклона в ядре равна 10,0 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры l ядра.

373.Какую энергию необходимо сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны λД уменьшилась от 100 до 50,0 пм?

374.Электрон в атоме водорода движется по первой боровской орбите. Неопределенность скорости υ электрона составляет 10 % от её числового значения.

Определить неопределенность координаты х электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?

375. Электрон обладает кинетической энергией E к = 1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля λД , если кинетическая энергия электрона

уменьшится в два раза?

376.Используя соотношение неопределенностей, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Принять радиус ядра rя = 1,00·10–13 см.

377.Найти длину волны де Бройля λД электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов ϕ : 1) 1,00 кВ; 2) 1,00 МВ.

378. При какой относительной погрешности L / L момента импульса электрона на первой боровской орбите его угловая координата ϕ окажется совершенно неопределенной?

379. Определить, при каком числовом значении кинетической энергии E к длина волны де Бройля λД электрона равна его комптоновской длине волны λК .

102

380. Атом испустил фотон с длиной волны λ = 600 нм. Продолжительность излучения τ = 20,0 нс. Определить наибольшую неточность λ , с которой может быть измерена длина волны излучения.

Тема 27. Строение атомных ядер. Модели ядра. Дефект массы. Энергия связи ядра. Ядерные реакции

Примеры решения задач

	1. Вычислить энергию связи E			и дефект массы m ядра гелия 4 He .
			св	2
				Анализ и решение
	Дано		Опытным путем было установлено, что масса покоя
Не – гелий			ядра mя всегда меньше суммы масс покоя составляющих
ma = 6,6443·10–27 кг			его нуклонов. Но так как всякому изменению массы
m	= 1,6736·10–27	кг	должно соответствовать изменение энергии, то, следова-
H	= 1,6721·10–27		тельно, при образовании ядра должна выделяться опре-
mn		кг
			деленная энергия. Энергия равная работе, которую нужно
Eсв	– ? m – ?
			совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны

(протоны и нейтроны) и удалить их друг от друга на расстояния, при которых они практически не взаимодействуют, называется энергией связи ядра Eсв

Есв = с2 { Zmр + ( A − Z )mn − mя} ,

здесь c – скорость света в вакууме; mp , mn , mR – соответственно массы протона,

нейтрона и ядра; Z – количество протонов в ядре; A – массовое число (число нуклонов в ядре); ( A − Z ) = N – число нейтронов в ядре.

Это соотношение практически не нарушится, если заменить массу протона mp

массой атома водорода mН , а массу ядра mR – массой атома mА. Указанная замена будет означать добавление к уменьшаемому и вычитаемому выражениям, стоя-

щим в фигурных скобках, одинаковой величины, равной Zme где me –	масса элек-
трона
ZmH − ma = Z (mp + me ) − (mя + Zme ) = Zmp − mя .
Тогда
Есв = с2 {[ZmH + ( A − Z )mn ] − ma} .	(1)

Это соотношение удобнее предыдущего, потому что в таблицах даются обычно не

массы ядер mя , а массы атомов ma .
Величина
m = Zm	p	+ ( A − Z )m	− m	я	,
		n
или
m = [Zm		+ ( A − Z )m ]	− m		(2)
	H	n		a

103

называется дефектом масс ядра. На эту величину уменьшается масса всех нуклонов при образовании из них атомного ядра.

В состав ядра 42 He , входят два протона ( Z = 2) и два нейтрона ( A – Z ) = 2. Подставляя эти величины в формулу (1) получим

Есв = 9 ×1016 2 ×1,6736 ×10−27 + 2 ×1,6721×10−27 - 6,6443 ×10−27 = 4, 239 ×10−12 ( Дж).

Рассчитаем дефект масс по формуле (2)

Dm = 2 ×1,6736 ×10−27 + 2 ×1,6721×10−27 - 6,6443 ×10−27 = 4,71×10−29 (кг).

Ответ: энергия связи ядра гелия Eсв = 4,24·10–12 Дж, дефект масс

m= 4,71·10–29 кг.

Вядерной физике часто пользуются внесистемной единицей энергии, при ко- торой значение энергии системы численно равно значению её массы. Она называ- ется атомной единицей энергии (а.е.э) и её можно определить с помощью соот-

ношения ε = mc2 : 1 а.е.э. = 1 а.е.м.·с2 = 1,66·10-27·кг (3·108)2 м2/c2 = = 1,49·10-10 Дж = 931 МэВ. Массу частиц в ядерной физике принято выражать в атомных единицах массы (а.е.м.), являющейся так же внесистемной единицей измерения. За 1 а.е.м. принята 1/12 массы изотопа углерода 126 C : 1 а.е.м. =

=1,6605655·10–27 кг.

2.Определить энергию E ядерной реакции деления ядра азота нейтронами

14 N(n, p)14 C , если энергия связи ядра азота Есв N = 104,66 МэВ и ядра угле- рода Есв С = 105,29 МэВ.

Дано

Есв N = 104,66 МэВ Есв С = 105,29 МэВ

Едел – ?

Анализ и решение

Согласно условию задачи здесь нужно применить не стандартное решение с использованием таблиц масс ядер, а решение с использованием данных энергий связи. В ядерной реакции

147 N + 01n = 146 C + 11H

число нейтронов (N = A − Z = 8) а и число протонов ( Z = 7) не изменяется. Поэтому, если представить энергию покоя ядра как разность энергий свободных нуклонов и энергии их связи

E0 = c2 (Zmp + Nmn ) -Wсв ,

то энергии свободных нуклонов в уравнении закона сохранения энергии

Eдел = (WN + Wn ) − (WC + Wp )

взаимно уничтожатся. Действительно,

Eдел = [c2 (7mp + 7mn + mp ) - EсвN ] -[c2 (6mp + 8mn + mp ) - EсвC ] = EсвC - EсвN ,

то есть энергия в ядерной реакции выделяется в виде тепла за счет изменения энергии связи ядра. Подставив данные в задаче величины, получим

Eдел = 105,29 – 104,66 = 0,63 ( МэВ).

104

ЗАДАЧИ

381. При		бомбардировке изотопа	6	Li	дейтонами	2	H образуются две
			3			1
α -частицы	4	Hе и выделяется энергия	E = 22,3 МэВ. Найти массу изотопа ли-
	2

тия.

382.Какая энергия связи Eсв выделится при образовании m = 1,00 г гелия 42 H из протонов и нейтронов.

383.При соударении α -частицы с ядром бора 105 В произошла ядерная реакция

врезультате которой образовалось два новых ядра. Одно из них – ядро атома водорода 11 H . Определить порядковый номер Z и массовое число A второго ядра. Записать ядерную реакцию и определить её энергетический эффект.

384.При бомбардировке с помощью α -частиц бора 115 В наблюдается вылет

нейтронов. Написать уравнение ядерной реакции, приводящей к вылету одного нейтрона. Каков энергетический выход E этой реакции?

385. Определить массу m изотопа	15	N , если изменение массы m при обра-
	7
зовании ядра 157 N составляет 0,2508·10–27		кг.

386.Найти энергию реакции 94 Be+ 11 H → 42 He+ 63 Li , считая, что кинетические энергии и направления движения ядер неизвестны.

387.Какую наименьшую энергию связи Eсв нужно затратить, чтобы оторвать

один нейтрон от ядра азота 147 N ?

388.При отрыве нейтрона 01n от ядра гелия 42 Hе образуется ядро 23 Hе. Определить энергию связи Eсв , которую необходимо для этого затратить.

389.Определить энергию связи Eсв бериллия 94 Ве и полную выделившуюся

энергию E , если при реакции 94 Be+ 21 H → 105 Be+ 01n подверглись превращению все ядра, содержащиеся в 1,00 г бериллия.

390. Вычислить дефект массы m и энергию связи Eсв ядра изотопа лития

37 Li .

105

d l

I2

Рис. 3.1

I2

I1

r b

Рис. 3.3

S′′

d

S

S′

ПРИЛОЖЕНИЕ

					d		l
		l
			I1				I2

Рис. 3.2

l

r

Р

θ

x

ϕ

a	b	Q2

l

Э

Рис. 4.1

106

		S
		Э
S1	α	r
		xmin
d	2α	а
		O
S2

Рис. 4.2

α

γ

nж

α′б

nст

Рис. 4.3

107

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………………	3
Методические указания по изучению теории курса и выполнению кон-
трольных работ ………………………………………………………………….			3
Указания по оформлению контрольных заданий ……………………………..			5
Библиографический список ………………………………………………….....		5
Контрольное задание № 1	………………………………………………………	7
Контрольное задание № 2	………………………………………………………	37
Контрольное задание № 3	………………………………………………………	70

Приложение ……………………………………………………………………... 106

108