ZO-2012 Физика задания для контрольной

ренний радиус шара R1 = 3 см, наружный R2 = 6 см. Определить потенциал ϕ шара в следующих точках: 1) на наружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара. Построить график зависимости ϕ = ϕ(r)

Тема 11. Работа по перемещению зарядов в электростатическом поле. Движение заряженных частиц в электростатическом поле.

Пример решения задач

Точечный заряд Q2 = – 1,00 мкКл расположен на продолжении диаметра заряженного шара. Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд из точки 1 в точку 2 поля, созданного шаром. Потенциал шара

ϕ шара = 1,00 кВ?

Дано

Q2 = – 1,00 мкКл ϕ шара = 1,00 кВ

A * = ?

Анализ и решение

Работа A *, совершаемая внешними силами при перемещении заряда Q в кулоновском поле, равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:

A* = − A12 = −Q(ϕ1 − ϕ2 ) ,

(1)

здесь ϕ1 и ϕ2 – потенциалы соответственно начальной и конечной точек. Для того чтобы определить знак работы внешних сил, надо выяснить направление силовых линий поля. Как видно из рисунка, при движении заряда Q2 из точки 1 по направлению к точке 2 заряд перемещается по силовой линии, то есть против кулоновских сил, и работа внешних сил будет положительна.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала E = − gradϕ . Для поля с осевой симметрией, каким является поле шара, это соотношение можно записать в виде

E = −dϕ / dr или dϕ = −Edr .

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r1 и r2 от центра шара

r2
(ϕ1 − ϕ2 ) = ∫ Edr .	(2)
r1

Используя теорему Гаусса, можно показать (см. пример из Темы 9), что равномерно заряженный шар радиуса R и зарядом Q1 , создает электростатическое поле:

40

вне шара (r > R)

Q1

∞

Q1

E = k

, ϕ шара = ∫

Edr = k

,

(3)

2

r

r

r

внутри шара (r < R)

E = 0 , ϕ шара = const = k

Q1

,

1

R

где k =

, r – расстояние от центра шара до точки поля, Q –

заряд шара,

4πε

0

1

ϕ шара –

его потенциал.

Из последней формулы найдем заряд Q1 шара

Q =

1

ϕ шараR .

1

k

Подставим его значение в формулу (3), а её, в свою очередь, в формулу (2). Полученное выражение проинтегрируем, полагая, что r1 = 2R , r2 = 4R

4R

Q

4R

ϕ шара

шара

4R dr

1

4R

(ϕ1

-ϕ2 ) =

k

1

dr =

k

dr = ϕ

R

= ϕ R

-

.

∫

r

2

∫

∫ r 2

kr2

r

2R

Итак

2R

2R

2R

(ϕ -ϕ

) = ϕ шара

-

1

+

1

= -ϕ шара ×

1

.

2

1

2R

R

4R

Полученное выражение разности потенциалов точек 1 и 2 подставляем в формулу

(1) и находим работу внешних сил по перемещению заряда Q2 из точки 1 в точку 2

A* = - 1 Q2ϕ шара .

4

Проверим наименование единицы измерения работы в системе СИ

н.е.и. А* = Кл× В = Дж.

Подставим числовые значение величин и произведём вычисления

A* = - (-1×10−9 ) ×1×103 = 2,5 ×10−4 Дж. 4

Ответ: внешние силы совершают работу A* = 2,5 ×10−4 Дж.

ЗАДАЧИ

211. Электростатическое поле создано в вакууме бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ = 2 мкКл/м2. В этом поле вдоль прямой, составляющей угол α = 60° с плоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние между которыми d = 20 см, перемещается точечный электрический заряд Q = 10 нКл. Определить работу A12 сил поля по перемещению заряда.

41

212. На прямом тонком стержня длиной l , находящимся в вакууме, равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. Определить работу A12 сил поля по перемещению заряда Q = –1 нКл из точки 1, расположенной на оси стержня на расстоянии α = l от одного конца стержня, в точку 2, расположенную на оси стержня на расстоянии b = 0,5l от другого конца стержня.

213.Тонкий стержень, находящийся в вакууме, согнут в кольцо радиуса R =

=10 см и несет равномерно распределенный заряд Q1 = 11 нКл. Какую работу A12

совершат внешние силы, чтобы перенести заряд Q2 = 5 нКл из точки 1 (в центре кольца) в точку 2, расположенную на оси кольца на расстоянии a = 20 см от точки 1?

214. Определить работу A12 сил поля по перемещению в вакууме заряда Q = 1 мкКл в поле, созданном равномерно заряженным проводящим шаром радиуса R , из точки 1, расположенной на расстоянии a1 = R от поверхности шара, в точку 2 − a2 = 3R . Потенциал ϕ шара равен 1 кВ.

215. Тонкая бесконечная прямая нить находится в вакууме и равномерно заряжена с линейной плотностью τ = 0,6 мкКл/м. К нити из точки 1, находящейся на расстоянии r1 = 1 м, начинает движение со скоростью υ1 = 0,5 м/с шарик массой m = 4 г, имеющий заряд Q = 15 нКл. На какое расстояние r2 может приблизиться шарик к нити?

216. Положительно заряженная частица, имеющая элементарный заряд, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен трем элементарным зарядам. На какое наименьшее расстояние rmin частица может приблизиться к ядру? Начальное расстояние r2 частицы от ядра считать бесконечно большим, а массу частицы – пренебрежимо малой по сравнению с массой ядра.

217. Протон, движущийся в вакууме со скоростью υ1 = 100 км/с, влетел в однородное электрическое поле ( E = 300 В/см) так, что вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь s должен пройти протон в направлении линий поля, чтобы его скорость удвоилась?

218. Бесконечная плоскость, находящаяся в вакууме, равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ = –35,4 нКл/м2. По направлению силовой линии поля, созданного плоскостью, летит электрон. Определить минимальное расстояние rmin , на которое может подойти к плоскости электрон, если на расстоянии r1 = 5 см он имел кинетическую энергию T = 80 эВ.

219. Электрон, летевший в вакууме горизонтально со скоростью υ1 = 1,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью E = 90 В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по абсолютному значению и направлению скорость υ2 электрона через время τ = 1 нс?

42

220. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с линейной плотностью τ = 133 нКл/м. Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд Q = 6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность?

Тема 12. Электростатическое поля в проводниках и диэлектриках. Индуцированные и поляризационные заряды. Вычисление напряженности и потенциала электростатического поля в проводниках и диэлектриках.

Пример решения задач

Расстояние между обкладками плоского конденсатора l = 5,00 мм, разность потенциалов ϕ = 1,20 кВ. Пространство между обкладками заполнено диэлектриком с диэлектрической восприимчивостью χ = 1. Определить: 1) напряженность E электростатического поля в диэлектрике, 2) поверхностную плотность σ свободных зарядов на обкладках конденсатора, 3) поверхностную плотность σ пол. поляризационных зарядов на диэлектрике.

Дано	+		+		+	+	+		σ
										σ пол.
l = 5,00 мм
		–	–		–	–	–
ϕ = 1,20 кВ		E0	R	пол ε
χ = 1			E			E, P				σ пол.
		+	+		+	+	+
E = ?, σ = ?,σ пол = ?
		–	–		–	–	–			σ

Анализ и решение

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле он поляризуется, то есть в нем происходит смещение электрических зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные – против поля. Эти заряды называются поляризационными и распределяются по поверхности диэлектрика с плотностью σ пол. . Напряженность поля поляризационных зарядов Eпол. направлена против напряжен-

ности внешнего поля E0 и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика определяется по принципу суперпозиции

E = E0 + Eпол. или E = E0 + Eпол. .

(1)

Для количественного описания поляризации однородных и изотропных диэлектриков пользуются векторной величиной P – поляризованностью, которая линейно зависит от напряженности поля

P = χε0 E или P = ε0 (ε −1)E ,

здесь χ , ε – диэлектрические восприимчивость и проницаемость диэлектрика.

Результирующее поле E в диэлектрике зависит его от свойств. Поляризационные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вызвать перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Потому вводят новую величину D – вектор электрического смещения (электрической индукции)

43

D = εε0E = ε0E + P ,

(2)

который характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (то есть в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика. При расчете поля в диэлектриках приме-

няют два метода. Первый метод основан на принципе суперпозиции. Сначала рассчитывают поле свободных зарядов E0 . Затем определяют поле поляризационных зарядов Eпол. . Далее по формуле (1) находят напряженность поля Е в диэлектрике. Таким же образом можно получить выражение и для потенциала ϕ электростатического поля в диэлектрике.

По второму методу сначала по теореме Гаусса для поля в диэлектрике находят вектор электрического смещения D , затем по формуле (2) определяют напряженность Е и далее (если необходимо) из соотношения E = − gradϕ рассчитывают потенциал. Для решения задачи применим оба метода.

Метод суперпозиции. Поле в диэлектрике создается свободными зарядами σ , расположенными на обкладках конденсатора и поляризационными зарядами σ пол , расположенными на двух параллельных обкладкам гранях диэлектрика. Напряженности электростатического поля таких заряженных систем нетрудно вычислить, применив теорему Гаусса (см. пример из Темы 9)

E =	σ	, E		=	σ пол.	.	(3)
0	ε0		пол.		ε0
Поверхностная плотность поляризационных зарядов σ пол							в диэлектрике связа-
на с поляризованностью и напряженностью поля соотношением
σ пол. = Pn = ε0 (ε −1)En = ε0 χ En ,							(4)

здесь – Pn и En – проекции векторов P и E на нормаль к поверхности диэлектрика. В нашем случае En = E . Подставим в уравнение (1) значения напряженностей из (3)

E =	σ		−	σ пол ,
	ε
		0		ε	0

а значение σ пол возьмем из (4), получим

E =	σ		− ε0χ E .
	ε	0	ε	0
Решая это уравнение относительно σ , найдем
σ = Eε0 (1 + χ ) .					(5)

Напряженность электростатического поля в диэлектрике E можно найти из известного соотношения

2

ϕ = ∫ El dl .

1

Для однородного поля ( Е = const ), каким является поле плоского конденсатора,

44

				E =		ϕ ,			(6)
						l
здесь ϕ – разность потенциалов на обкладках конденсатора, l – расстояние
между ними. Подставим (6) в (4) и (5), получим
σ	пол.	=	ϕ ε	0	χ , σ =		ϕ ε	0	(1 + χ ) .
			l				l

Метод Гаусса. По теореме Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

R R		n
	= ∫ Dn dS =∑Qi
ФD = ∫ DdS			(7)
S	S	i=1

находим электрическое смещение. Для этого применим её к бесконечно малому цилиндру с основанием S , пересекающему границу проводник – диэлектрик. Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора E (см. рис.). Поток вектора электрического смещения D через внутреннюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, так как внутри проводникаEпр , а, значит, и Dпр , равна нулю. По-

этому поток вектора ФD сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только потоком сквозь наружное основание цилиндра, причем D = Dn , так

как −− R Согласно теореме Гаусса этот поток равен сумме зарядов охваты

D n . (7), -

ваемых поверхностью, то есть

D S = σ S .

Откуда следует, что

D = σ .

С другой стороны, согласно (2)

D = εε0 E .

Сравнивая эти две формулы, получаем значение напряженности поля в диэлектрике

E =	σ	.
	ε ε
	0

Отсюда

σ = Eε ε =	ϕ ε	0	(1 + χ ) .
0	l

Далее, по формуле (4) находим поверхностную плотность поляризационных зарядов в диэлектрике

	σ	= ε χ E = ε χ		σ	= ε χ	1	ϕ ε (1 + χ ) =		ϕ ε χ ,
				ε0ε		ε0ε
	пол.	0	0		0		l	0	d	0

что совпадает с результатами, полученными методом суперпозиции. Проверим наименование единицы измерения поверхностной плотности зарядов

45

н.е.и. σ =

В

Кл2

=

В

Кл2 м

=

Кл

.

2

м Нм

2

м ВКл м

м

2

Проведем числовые расчеты

E =

1, 20 ×103

= 2, 40 ×105 В/м, σ

=

1, 20 ×103

8,85 ×10−12 (1 +1) = 4, 25 ×10−6 Кл/м2,

5,00 ×10

−3

5,00

×10

−3

σ пол.

=

1, 20 ×103

8,85 ×10−121 = 2,12 ×10−6 Кл/м2.

5,00 ×10−3

Ответ:

поверхностная плотность свободных зарядов σ = 4, 25 ×10−6 Кл/м2, по-

верхностная плотность поляризационных зарядов σ пол = 2,12 ×10−6 Кл/м2, напря-

женность электростатического поля в диэлектрике E = 2, 40 ×105 B/м,

ЗАДАЧИ

221. Между обкладками плоского конденсатора приложена разность потенциалов U = 100 В. Расстояние между ними d = 5 мм. Определить напряженность электростатического поля E и поверхностную плотность поляризационных зарядов σ пол в пластинке из парафина (ε = 2), помещенной на нижнюю обкладку конденсатора. Толщина пластинки d2 = 3 мм.

222.Металлический шар, радиус которого R1 = 10 см, находится в вакууме и заряжен до потенциала ϕ1 = 300 В. Определить потенциал ϕ2 этого шара, после того как его окружат сферической проводящей оболочкой радиусом R2 = 20 см и на короткое время соединят с ней проводником.

223.Между пластинами плоского конденсатора, расстояние между которыми d = 1 см, заряженного до разности потенциалов U = 600 В, находятся два слоя

диэлектриков: стекла (ε1 = 7) толщиной d1 = 7 мм и эбонита (ε2 = 3) толщиной d2 = 3 мм. Площадь S пластин конденсатора равна 200 см2. Найти электроемкость C конденсатора, электрическое смещение D , напряженность электростатическо-

го поля	E и падение потенциала	ϕi в каждом слое.
224.	В вакууме на расстоянии d = 5 см от бесконечной проводящей плоскости
находится точечный заряд Q = 25 нКл. Используя метод зеркальных изображе-
ний, вычислить напряженность E и потенциал ϕ электростатического поля в точ-
ке A , удаленной на расстояние		r1 = 2,5 см от плоскости и на расстояние r2 =

=4,33 см от зарядаQ .

225.На пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми d =

=1 см, подана разность потенциалов U = 500 В. Пространство между пластинами заполняется парафином (ε = 2). Найти электрическое смещение D и напряженность электростатического поля E в диэлектрике, а также поверхностную

46

плотность поляризационных зарядов σ пол . При заполнении конденсатор был отключен от источника напряжения.

226. Точечный заряд Q = 10 нКл находится в вакууме на расстоянии a = 1 см от большой тонкой металлической пластины. Определить поверхностную плотность зарядов σинд , индуцированных на пластине в точке, находящейся на расстоянии r1 = 4 см от заряда. Воспользоваться методом зеркальных изображений.

227. Две концентрические металлические сферы с радиусами R1 = 3 см и R2 = = 5 см находятся в вакууме и имеют соответственно заряды Q1 = –1 нКл и Q2 = = 5 нКл. Пространство между сферами заполнено маслом ε = 7). Определить по-

тенциал электростатического поля на расстояниях r1	= 2 см, r2 = 4 см и r3 =
= 10 см от центра сфер, а также разность потенциалов	ϕ между сферами.

228.Точечный заряд Q = 0,1 мкКл находится в вакууме. В точку A , находящуюся на расстояние r = 10 см от заряда Q поместили центр металлической незаряженной сферы R = 5 см. Найти потенциал ϕ сферы.

229.Поверхностная плотность зарядов на одной из обкладок конденсатора σ1 = 2,5 нКл/м2. Другую обкладку заземлили. Расстояние между обкладками d =

=2,0 мм. Между обкладкам, параллельно им, поместили две плоскопараллельные пластинки: из стекла (ε1 = 7) толщиной d1 = 1 мм и парафина (ε2 = 2) толщиной

d2 = 1 мм. Определить напряженности электростатического поля E в диэлектриках, а также поверхностные плотности поляризационных зарядов σ пол на этих диэлектриках.

230. Точечный заряд q = 100 нКл помещен в центр полого металлического шара, находящегося в вакууме. Внешний радиус шара R1 = 10 см, внутренний – R2 = 5 см. Определить напряженность электростатического поля E в точках, удаленных от заряда на расстояние r1 = 25 cм и r2 = 2,5 см, а также разность потенциалов ϕ12 между этими точками.

Тема 13. Энергия и плотность энергии электростатического поля

Пример решения задач

Найти энергию W уединённой сферы, радиусом R = 4,00 см заряженной до потенциала ϕ = 500 В.

Дано

R= 4,00 см

ϕ= 500 В

Ee = ?

Анализ и решение

Электростатическое поле, создаваемое заряженной сферой, существует вне её. Это поле является неоднородным, и его энергия распределяется в пространстве неравномерно. Однако, объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на

47

равных расстояниях от центра сферы, так как поле заряженной сферы обладает сферической симметрией. Полная энергия поля выражается интегралом

W = ∫ωdV ,

V

где dV – элементарный объем, ω – объемная плотность энергии электростатического поля, определяемая формулой

		ω =	1	ε0 E2 .
		2
	Таким образом, решение данной задачи сводится к нахо-
	ждению напряженности поля, созданного заряженной сфе-
	рой.
	Сферическая симметрия позволяет найти напряженность
	с помощью теоремы Гаусса:
	R R			R	R	1	n
							∑Qi ,
	ФЕ = ∫ EdS	= ∫ EdS cos(E			dS ) = ∫ En dS =
	S	S			S	ε 0 i=1

где S – площадь вспомогательной поверхности, которой следует придать форму сферы, концентричной рассматриваемой сфере. Для расчета напряженности проведем вспомогательные поверхности S1 и S2 (см. рисунок). Так как заряд сферы

положительный, то во всех точках каждой из этих поверхностей ( E ^ dS ) = = 0 и

E = const . Тогда

∫ EdS = ∫ EdS = E4πr 2 ,

S1,2 S1,2

где r – радиус вспомогательной поверхности.

При r < R сумма зарядов, охваченных поверхностью S1

n

∑Qi = 0 ,

i =1

так как внутри сферы зарядов нет. Следовательно,

n

E4π r2 = ∑Qi = 0 .

i=1

Таким образом, внутри сферы напряженность поля E , объемная плотность его энергии ω и сама энергия Ee равны нулю.

При r > R сумма зарядов, охваченных поверхностью S2

n

∑Qi = Q ,

	i =1
	где Q – заряд сферы. Следовательно
		1		n	1
	E4π r2 =			∑Qi =			Q .
		ε			ε
			0 i=1			0

Откуда

48

	E =	Q	и ω =	1	ε			Q	2
						0			.
		4πε0r 2
			2				4πε0r2

Выражение объемной плотности энергии подставим в формулу полной энергии

W = ∫	1	×ε0		Q		2
							dV .
					2
V 2			4πε0r

Объем dV следует выбрать в виде тонкого шарового слоя толщины dr (в пределах такого объема E и ω постоянны)

dV = 4π r 2dr ,

Тогда

Ee = ∫	1			Q		2
		×ε0					4π r2dr .
					2
V 2			4πε0r

Учитывая, что в пределах объема переменная r изменяется от R до ∞ , получаем

Q2

∞ dr

Q2

1

∞

Q2

Ee =

=

-

=

.

8πε

∫ r 2

8πε

r

8πε

0 R

0

R

0

С помощью формулы для потенциала сферы ϕ =

Q

(см. пример из Темы 10),

4πε0 R

определим её заряд

Q = 4πε0 Rϕ .

Тогда выражение для энергии поля будет выглядеть следующим образом

W =

(4πε

0 Rϕ)2

=

2πε

0 Rϕ

2

.

8πε0

Проверим наименование единицы измерения энергии

н.е.и. W = 2πε0 Rϕ 2 =

Кл2

мВ2 =

Кл2 В2

=

Дж2

= Дж .

Нм2

Нм

Дж

Подставим в полученную формулу числовые значения и произведём вычисления

W = 2 ×3,14 ×8,85 ×10−12 × 4,00 ×10−2 ×5002 = 0,55 ×10−6 Дж.

ЗАДАЧИ

231. Уединенный проводящий бесконечно длинный цилиндр радиусом R = = 5 см, находящийся в вакууме, заряжен с поверхностной плотностью σ = = –100 нКл/м2. Определить энергию поля W , заключенного в цилиндре радиусом R1 = 50 см, коаксиальным (соосным) с заряженным, с образующей l = 0,5 м.

232. Заряд равномерно распределён по объёму бесконечно длинного цилиндра радиуса R = 1,5 см, с объёмной плотностью ρ = 50 нКл/м3. Определить энергию

49