1 ая методичка МАТАН
.pdf7) |
a ( 6; 3;2), |
b (3;2; 6), |
m 1, n 4; |
|
8) |
a (2;1; 2), b ( 1;0; 2), |
m 4, |
n 2; |
|
9) |
a ( 2;1; 2), |
b (12;5;0), |
m 3, |
n 3; |
10) a (8;7; 4), |
b (2; 1;2), |
m 3, n 1; |
11)a (3;0;4), b (2;1; 2), m 2, n 5;
12)a (1; 1;6), b ( 6;3;2), m 1, n 5;
13)a (8;15;0), b ( 2; 2; 1), m 4, n 3;
14)a (4;19; 2), b (2; 1; 2), m 1, n 5;
15)a (6; 3; 2), b (2; 5; 2), m 2, n 3;
16)a (3;6; 2), b ( 2; 1;2), m 3, n 2;
17)a (5;7; 4), b (4;3;0), m 4, n 6;
18)a (1; 2; 2), b (3;5;2), m 3, n 6;
19)a (2; 2; 1), b (2;1; 2), m 4, n 2;
20)a (10; 4; 7), b (2;1; 2), m 1, n 7;
21)a ( 2; 6; 3), b (2; 4; 7), m 7, n 3;
22)a (0;7; 24), b (2; 12;1), m 5, n 7;
23)a (4;3; 13), b (5;0;7), m 3, n 8;
24)a (4;0; 3), b (5; 13;0), m 8, n 2;
25) a (7;0;12), b (3; 2;8), m 2, n 10;
26)a (9;13;0), b ( 1;1; 4), m 4, n 8;
27)a (10;7;4), b ( 1;2; 8), m 7, n 4;
28)a ( 2;8;3), b (0;12; 7), m 9, n 6;
29)a ( 7; 1;4), b ( 1;3; 2), m 5, n 9;
30)a (4; 1; 7), b (11; 3;0), m 2, n 5.
Пример 4.2
Даны векторы a ( 2;1;0) и b ( 1;2;7). Найти а) единичный вектор
a0; б) угол между векторами a и b; в) проекцию вектора b на ось вектора a; г) координаты вектора с 2a 6b.
Решение
а) Если задан вектор a a1, a2, a3 , то соответствующий ему единичный вектор имеет координаты
50
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
3 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– модуль вектора a a , a |
|
|
, a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
a |
a2 a2 |
a2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Найдем модуль вектора a ( 2;1;0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 12 02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда, подставляя координаты и модуль вектора a в формулу (4.3), получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
;0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ответ: a0 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
;0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
б) Угол между двумя векторами можно вычислить по формуле |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
a |
|
|
b |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где a b – скалярное произведение данных |
|
|
|
векторов, |
|
|
|
a |
|
и |
|
b |
|
– их модули. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Координаты векторов a и b |
|
|
даны, |
поэтому сразу подставим их в формулу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4.4.) и определим косинус искомого угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 1 2 0 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 12 02 1 2 22 72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 54 3 30 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: arccos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
в) По рис. 4 определяем, что |
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
пр b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos или пр b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прab |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
В предыдущем пункте было найдено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
3 |
|
, cos |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прab 3 6 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
Ответ: 4 .
5
г) Найдем координаты вектора с в соответствии с правилами сложения и умножения вектора на число и порядком арифметических действий
с2a 6b 2 2;1;0 6 1;2;7
4; 2;0 6;12;42 2;10;42 .
Ответ: 2;10;42 .
Задача 4.3. Даны векторы a, b и с . Необходимо
а) найти векторное произведение векторов a, b и вычислить его модуль;
б) вычислить смешанное произведение векторов a, b, с и определить,
будут ли векторы компланарны;
|
в) определить, будут ли векторы a и с |
коллинеарны, векторы b и с |
|||||||||||
ортогональны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам: |
||||||||||||
1) a 2i 3 j k, |
b 6 j 4k, |
c 5i 2 j 3k ; |
|||||||||||
2) a 3i 4 j k, |
b i 2 j 7 k, |
c 1,5i 2 j 0,5k ; |
|||||||||||
3) a 2i 4 j 2k, |
b 7 i 3 j, |
c i 2 j k ; |
|||||||||||
4) a 2i 6 j 4k, |
b 7i 2k, |
c i 3 j 2 k ; |
|||||||||||
5) a 4i 2 j k, |
b 10i 5 j 2k, |
c i 5k ; |
|||||||||||
6) a 3i 2 j k, |
b 2 j 3k, |
c 3i 2 j k ; |
|||||||||||
7) a 4i j 3k, |
|
b 2i 3 j 5k, |
|
c 7i 2 j 4k ; |
|||||||||
8) a 4i 2 j 3k, |
b 2i k, |
c 12i 6 j 9k ; |
|||||||||||
9) a i 5k, |
b 3i 2 j 2k, |
c 2i 4 j k ; |
|||||||||||
10) |
a 6i 4 |
j 6k, |
b i 8k, |
c 9i 6 j 9k ; |
|||||||||
11) |
a 5i 3 |
j 4 k, |
b 2i 4 j 2k, |
c 3i 5 j 7 k ; |
|||||||||
12) |
a 4i 6 |
j 2k, |
b 4i 3 |
j 7 k, |
c 6i 9 j 3k ; |
||||||||
13) |
a 7i 5k, |
b 5i 2 j 2k, |
|
c 2i 3 |
j 2 k ; |
||||||||
14) |
a 4i 6 |
j 2k, |
b i 5 |
j 3k, |
c 2i 3 j k ; |
||||||||
15) |
a 3 |
j 5k, |
b 4i 2 |
j 3k, |
c 6i 6 j 4 k ; |
||||||||
16) |
a 2i |
3 |
j 2k, |
b 3i |
8 j, |
c 8i 12 |
j 8k ; |
||||||
17) |
a 9i 2 k, |
b 2i 4 j |
2k, |
|
c 3i 5 |
j 7 k ; |
|||||||
18) |
a 3i 15 |
j 21k, |
b 9i |
3 |
j k, |
c i 5 j 7 k ; |
52
19) |
a 5i |
|
j 2 k, |
b 2 i 4 |
j 2 k, |
c 7 i 4 |
j k ; |
|
|||||
20) |
a i 2 |
j 4k, |
b 9i 4 |
j 5k, |
c 5i 10 |
j 20k ; |
|
||||||
21) |
a i 2 |
j 6 k, |
|
b 2i 7 |
j 5k, |
c 3i 2 j 4 k ; |
|
||||||
22) |
a i 11 j |
3k, |
b 7i 4 j 5k, |
c 5i 5 j 3k ; |
|
||||||||
23) |
a 4i 6 |
j 2k, |
|
b 3i 5 |
j 7 k, |
c 2i 3 |
j k ; |
|
|||||
24) |
a 3i j 2k, |
b i 5 j |
4k, |
c 6i 2 j 4k ; |
|
||||||||
25) |
a 3i j 5k, |
|
b 2i 4 |
j 22k, |
c 3i 7 |
j k ; |
|
||||||
26) |
a 3i 2 j 7 k, |
b i 6k, |
c 6i 4 j k ; |
|
|
|
|||||||
27) |
a 2i 4 |
j 6k, |
|
b 3i j 5k, |
c i 2 j 3k ; |
|
|||||||
28) |
a 5i k, |
b 4i 5 j 4k, |
c 2i 4 j 3k ; |
|
|
|
|||||||
29) |
a 2i 4 |
j 6 k, |
|
b 9i 4 k, |
c 3i 6 j 9 k ; |
|
|||||||
30) |
a 5i 6 j 4k, |
|
b 4i 8 |
j 6k, |
c 3 j 4k ; |
|
|
||||||
|
Пример 4.3 |
|
|
a 2i k , |
|
b i |
j 7 k |
|
c 5i 2 |
j k . |
|||
|
Даны |
векторы |
|
|
и |
Необходимо а) найти векторное произведение векторов a, b и вычислить его
модуль; б) вычислить смешанное произведение векторов a, b, с и
определить, будут ли векторы компланарны; в) определить, будут ли
векторы a и с коллинеарны, векторы b и с ортогональны.
Решение
а) Векторным произведением двух векторов является вектор, найдем его координаты
|
|
i |
j |
k |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a b |
2 |
0 |
1 |
|
1 |
7 |
|
i |
|
1 |
7 |
|
j |
|
1 |
1 |
|
k i 13j 2k |
|||||
|
|
1 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и модуль
a b 1 169 4 174.
Ответ: a b i 13j 2k , a b 174.
б) Смешанным произведением трех векторов является число, которое можно вычислить как определитель, составленный из координат данных векторов
a |
|
2 |
0 |
1 |
2 2 0 5 28 0 23. |
b c |
1 |
1 |
7 |
||
|
|
5 |
2 |
1 |
|
53
Если смешанное произведение векторов равно нулю, то эти векторы компланарны, т.к. a b c 23 0, то векторы a , b и с не являются компланарными.
Ответ: a b c 23, a , b, с – не компланарны.
в) Координаты векторов пропорциональны тогда и только тогда, когда векторы являются коллинеарными. Проверим пропорциональность координат векторов a и с
2 0 1,
5 2 1
поскольку равенства не верны, то векторы a и с не коллинеарны.
Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора являются ортогональными. Вычислим скалярное произведение векторов
b и с
b c 1 5 1 2 7 1 5 2 7 0,
т.к. b c 0, то вектора b и с ортогональны.
Ответ: a и с не коллинеарны; b и с ортогональны.
54
Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ИВ ПРОСТРАНСТВЕ
Враздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»: составление различных уравнений прямых на плоскости и в пространстве; определение взаимного расположения прямых на плоскости, прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве; изображение кривых второго порядка. Необходимо отметить, что в данном разделе представлены задачи экономического содержания, при решении которых применяются сведения из аналитической геометрии на плоскости.
При решении задач аналитической геометрии целесообразно воспользоваться учебными пособиями следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш. Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина, т.к. в данной литературе рассматривается более широкий круг задач, которые можно использовать для самостоятельной подготовки по данной теме. Применение аналитической геометрии к решению экономических задач изложено в учебных изданиях М.С. Красса и В.И. Ермакова.
Задача 5.1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Необходимо а) написать уравнения сторон треугольника;
б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ;
в) написать уравнение внутренней биссектрисы угла BAC треугольника; г) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины
В к стороне АС; д) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, ост-
роугольный, тупоугольный); е) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторон-
ний, равнобедренный, равносторонний); ж) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) и коор-
динаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника; з) найти расстояние от точки пересечения серединных перпендикуляров
треугольника до его вершин и расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон.
К пунктам а) – г), ж) решения сделать рисунки в системе координат. На рисунках обозначить соответствующие пунктам задачи линии и точки.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) |
A(3; 4), B(2; 1),C( 5; 0); |
6) |
A( 3; 4), B( 6;7),C( 1;1); |
2) |
A( 4; 5), B(3;3),C(5; 2); |
7) |
A(4; 5), B(2; 2),C(7; 4); |
3) |
A( 3;3), B(4; 1),C( 2; 4); |
8) |
A( 3; 4), B( 2; 1),C(7;1); |
4) |
A(3; 2), B( 5; 4),C( 1; 6); |
9) |
A(4; 5), B( 3;3),C( 5; 2); |
5) |
A(2;5), B( 3; 4),C( 2; 3); |
10) A(3;5), B( 4; 3),C(2; 4); |
55
11)A( 3; 2), B( 2; 5),C(6; 1);
12)A(6; 4), B( 3; 7),C( 1; 2);
13)A( 2; 1), B(7;3),C(4; 3);
14)A(3; 4), B(6; 2),C(1;1);
15)A( 4; 5), B( 2; 2),C(2; 2);
16)A(3; 4), B(2;1),C( 1; 3);
17)A( 4;5), B(3; 3),C(5; 2);
18)A( 6; 4), B(3; 7),C(1; 2);
19)A(3; 2), B(2; 5),C( 6; 1);
20)A(2;1), B( 7;3),C( 4; 3);
21)A( 3; 2), B(5; 4),C(1; 6);
22)A( 2;5), B(3; 4),C(4; 4);
23)A( 3; 5), B(4; 2),C( 2; 4);
24)A(3; 2), B( 5; 4),C( 1; 6);
25)A(2; 5), B( 3; 4),C(2; 4);
26)A( 3; 2), B( 2;5),C(6;1);
27)A( 6; 4), B(3;7),C(1; 2);
28)A(2;1), B( 7; 3),C( 4;3);
29)A( 3; 4), B( 6; 7),C(1; 1);
30)A(4;5), B(2; 2),C(7; 4).
Пример 5.1
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4;3), B( 2;1),C(3; 4).
Необходимо а) написать уравнения сторон треугольника; б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ; в) написать уравнение внутренней биссектрисы угла BAC треугольника; г) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В к стороне АС; д) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный); е) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторонний, равнобедренный, равносторонний); ж) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) и координаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника; з) найти расстояние от точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника до его вершин и расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон.
Решение
а) Для каждой стороны треугольника известны координаты двух точек, которые лежат на искомых линиях, значит уравнения сторон треугольника – уравнения прямых, проходящих через две заданные точки
x x1 |
|
y y1 |
, |
(5.1) |
x2 x1 |
|
|||
|
y2 y1 |
|
где x1; y1 и x2;y2 соответствующие координаты точек.
Таким образом, подставляя в формулу (5.1) координаты соответствующих прямым точек получаем
AB: |
x 4 |
|
y 3 |
, AC : |
|
x 4 |
|
y 3 |
|
, BC : |
x 2 |
|
y 1 |
, |
|
|
|
3 4 |
4 3 |
3 2 |
|
||||||||
|
2 4 |
|
1 3 |
|
|
|
|
4 1 |
||||||
откуда после преобразований записываем уравнения сторон |
x y 1 0. |
|||||||||||||
AB: x 3y 5 0, AC : |
|
7x y 25 0, BC : |
||||||||||||
На рис. 5 изобразим соответствующие сторонам треугольника ABC прямые. |
||||||||||||||
Ответ: AB: |
x 3y 5 0, |
AC : |
7x y 25 0, BC : |
x y 1 0. |
56
б) Пусть CH – высота, проведенная из вершины C к стороне AB. Поскольку
CH проходит через точку C перпендикулярно вектору AB, то составим уравнение прямой по следующей формуле
a(x x0) b y y0 0, |
(5.2) |
где a;b – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, x0; y0 –
координаты точки, принадлежащей этой прямой. Найдем координаты вектора, перпендикулярного прямой CH , и подставим в формулу (5.2)
AB 6; 2 CH , C 3; 4 CH ,
CH : 6 x 3 2 y 4 0,
3 x 3 y 4 0, 3x y 5 0.
На рис. 6 изобразим треугольник и найденную высоту. |
|
|
|
||||
Ответ: CH : |
3x y 5 0. |
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
y |
A |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
A |
|
|
H |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|||
–2 |
0 |
3 |
4 |
–2 |
0 |
3 |
4 |
–4 |
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
–4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
в) Обозначим AK – внутреннюю биссектрису угла BAC треугольника ABC. По свойству биссектрисы угла треугольника: точка K делит сторону BC заданного треугольника соответственно в отношении BA: AC, т.е
BK |
|
BA |
. |
(5.3) |
|
|
KC AC
Найдем длины отрезков BA и AC как длины векторов соответственно BA и
AC
BA 6;2 BA BA 62 22 40 210,
AC 1; 7 AC AC 1 2 7 2 52,
следовательно, по формуле (5.3)
57
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BK |
|
2 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KC |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
52 |
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для нахождения координат xK ;yK точки K воспользуемся формулами |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xK |
|
|
xB xC |
, |
|
yK |
|
|
|
yB yC |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
где x |
B |
; y |
B |
и x |
;y |
C |
– координаты соответственно точек B и C, |
|
, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||
подставив их в выражения (5.4) получим координаты точки K |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xK |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 6 |
|
, yK |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
BAC треугольника |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
таким образом, уравнение внутренней |
биссектрисы угла |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ABC |
|
|
составим |
как |
|
уравнение |
|
|
|
прямой, проходящей |
|
|
через точки A(4;3) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 6 |
|
|
5 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
по формуле (5.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AK : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 6 4 5 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 8 3 5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
5 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после преобразований получим
5 7 x 35 1 y 55 25 0.
Ответ: AK : 5 7 x 35 1 y 55 25 0 (рис. 7).
г) медиана BB1 |
треугольника ABC делит сторону AC на две равные части, |
||||||||
т.е. точка B1 |
является серединой отрезка |
AC. Исходя из этого, можно найти ко- |
|||||||
ординаты xB 1 |
;yB 1 |
точки B1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
xB1 |
xA xC |
, yB1 |
|
yA yC |
, |
(5.5) |
|
|
|
|
|
|||||
где xA; yA |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
и xC;yC – координаты соответственно точек |
A и C, подставив |
которые в формулы (5.5) получим
58
x |
B1 |
|
4 3 |
3,5; y |
B1 |
|
3 4 |
0,5. |
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Уравнение медианы BB1 треугольника ABC составим как уравнение прямой,
проходящей через точки B( 2;1) и B1 3,5; 0,5 по формуле (5.1)
|
|
BB : |
|
x 2 |
|
|
y 1 |
|
, |
|
|
|
|
3,5 2 |
0,5 1 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3x 11y 5 0. |
|
|
|||||
Ответ: BB1 :3x 11y 5 0 (рис. 8). |
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
A |
|
|
|
|
|
|
y |
A |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
1 |
|
|
|
|
|
B |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|||
–2 |
|
3 |
4 |
|
–2 |
|
||||
0 |
|
|
|
0 |
3 В 4 |
|||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
д) Углы треугольника ABC найдем как углы между векторами, исходящими из соответствующих вершин данного треугольника, т.е
ABC BA,BC , BAC AB,AC , ACB CA,CB .
Углы между векторами вычислим по формуле (4.4), для которой потребуются
скалярные произведения векторов BA BC, AB AC, CA CB.
Найдем координаты и модули векторов, необходимых для вычисления углов
BA6;2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
2 10, BС 5, 5 , |
BС |
5 |
|
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB BA, |
|
AB |
|
|
|
|
BA |
|
, AC 1, 7 , |
|
AC |
|
|
5 |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AC |
|
, CB BC, |
|
CB |
|
|
|
|
|
BC |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
CA AC, |
CA |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставляя найденные данные в формулу (4.4), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos BA,BC |
6 5 |
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
cos AB,AC |
6 |
1 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 5 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
59