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– парабола с вершиной в точке O 0;0 , Oy – ось симметрии; |
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p 6 – параметр параболы (рис. |
19). Ветви параболы направлены вверх, т.к. |
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Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы |
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Раздел VI. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В данном разделе предложены задачи, которые рассматриваются в теме «Введение в математический анализ»: элементарные преобразования графиков функций, предел последовательности, предел функции, непрерывность функции.
Необходимый теоретический материал представлен в учебных пособиях Н.Ш. Кремера, Д.Т. Письменного, В.И. Малыхина. Отметим, что при работе с учебной литературой следует учитывать различный подход авторов к решению некоторых задач по данной теме. Сборники задач Н.Ш. Кремера и В.И. Ермакова, кроме текстов заданий и примеров решения задач, содержат краткие теоретические сведения, что способствует повышению эффективности самостоятельной работы студентов с учебными пособиями при подготовке к занятиям.
Задача 6.1. Построить график функции с помощью преобразований графиков.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) y |
|
x 1 |
5; |
|
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27) |
y 2cos x |
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4; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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6 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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18) |
y |
3ctg |
x |
2 |
; |
|
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|
|
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|
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|
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x 5 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
27) y |
|
3 e |
|
|
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|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
y 2cos x |
|
|
|
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
19) |
y 4sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3; |
|
y |
|
2tg |
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
29) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) y |
3 |
e |
|
x 2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
20) y 3log |
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
1; |
30) |
y |
|
|
ctg |
|
2x |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
Пример 6.1
Построить график функции с помощью преобразований графиков
|
|
3 |
1 |
|
x 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
e |
2 |
|
|
|
. |
|||
|
|
|||||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Запишем последовательность преобразований графиков функций и их описание
I. y ex – график показательной функции;
II. y e |
|
x |
|
– часть графика функции y ex при x 0 убирается, часть графика |
|
|
при x 0 остается неизменной и симметрично ее отображается относительно оси
Oy;
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e |
|
x |
|
|
|
вдоль оси Ox в два раза; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
III. |
y e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– растяжение графика функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
вдоль оси Ox на две еди- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
IV. y e |
2 |
|
|
|
|
|
– смещение графика функции |
y e |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ницы влево; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
V. |
y e |
2 |
|
|
|
|
– |
симметричное отображение всех |
|
частей |
|
|
графика |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
относительно оси Ox; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
VI. y |
e |
2 |
|
|
– смещение графика функции y e |
2 |
|
|
вдоль оси Oy на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
три единицы вверх; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
VII. |
|
|
|
y |
|
e |
2 |
|
|
|
– симметричное |
отображение |
графика |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 относительно оси Ox, при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y 3 e |
2 |
|
|
|
|
|
при |
|
y 0 график остается не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменным.
Все графики изображены на рис. 20, причем номер преобразования соответствует номеру графика.
82
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
II |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
IV |
|
|
2 |
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
VII |
|
I |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
x |
|
|
|
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
–2 |
|
|
|
|
|
|
|
–3 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 20 |
|
|
|
|
Задача 6.2. Вычислить предел числовой последовательности. |
|
||||||
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам: |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
n 1 |
|
7) lim |
3n 2n |
|
|
1) lim |
|
|
|
|
|
... |
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
n2 |
|
||||||||
n n2 |
n2 |
n2 |
|
|
n 3n 1 2n |
|
|
|
2n 1 ! 2n 2 !; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
2 |
|
|
||||||
2) |
lim |
|
|
|
|
8) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
2n 3 ! |
|
|
|
|
|
n |
1 2 3 ... n 3 |
|
|
|||||||||||
|
1 3 5 ... 2n 1 |
|
2n 1 |
|
|
|
5 |
|
13 |
|
3n 2n |
|||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
;9) |
lim |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
36 |
6n |
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
2 |
|
|
|
n 6 |
|
|
|
|
4) |
lim |
2n 1 3n 1 |
; |
|
|
10) |
lim |
2 5 4 7 ...2n 2n 3 |
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
n 2n 3n |
|
|
|
|
|
n |
|
n 3 |
||||||||
5) |
lim |
1 2 |
3 ... |
n |
; |
|
11) |
lim |
2n 1 ! 2n 2 ! |
; |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
9n4 1 |
|
n 2n 3 ! 2n 2 ! |
||||||||||||
6) |
lim |
1 3 5 ... 2n 1 |
; |
12) |
lim |
1 2 ... n |
; |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
n |
1 2 3 ... n |
83 |
n |
|
n n2 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 5 ... 2n 1 |
|
|
|||||||||||
13) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
; |
||||
|
|
n 3 |
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14) |
lim |
1 4 |
7 ... 3n |
|
2 |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
5n4 n 1 |
|
|
|
|
|
||||||
15) |
lim |
|
n 4 ! n 2 ! |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
n 3 ! |
|
|
|
|
|
|||||||
16) |
lim |
3n 1 ! 3n 1 ! |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
3n ! n 1 |
|
|
|
|
|
22) |
lim |
|
|
|
|
|
n2 |
n 1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 2 7 12 ... 5n 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
5 |
9 |
1 2n |
|
|
||||||||||||||
23) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
16 |
|
|
|
4n |
|
|
|
|||||||||||||
|
n 4 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
24) |
lim |
|
|
2 4 6 ... 2n |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 1 3 5 ... 2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 5 ... 4n 3 |
|
|
|
4n 1 |
|
|
|||||||||||||||
25) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2n 5n 1 |
|||||||||||||||||||||
17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 2n 1 5n 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3n |
|||||||||||||||||||
18) |
lim |
|
|
3 32 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
1 |
|
1 |
|
... |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5 |
|
|
5n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
19) |
lim |
1 3 |
... |
4n |
3 4n |
1 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n2 1 n2 n 1 |
|||||||||||||||||
20) |
lim |
1 2 3 4 |
... 2 |
n 1 2n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9n4 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) lim 3n3 5 3n4 2 ; n 1 3 5 ... 2n 1
Пример 6.2
26) |
lim |
1 2 3 |
4 ... 2n |
1 2n |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
3 n3 2n 2 |
|
|
||||||
|
lim |
|
|
|
2n 7n |
|
|
|
|
|
||||||
27) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n 2n 7n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
28) |
lim |
|
|
|
n! n 2 ! |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n n 1 ! n 2 ! |
|
|
|
|
|
||||||||||
29) |
lim |
3 6 9 ... 3n |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n2 4 |
|
|
|
|
|
||||
; |
lim |
|
7 |
|
29 |
|
|
... |
2n 5n |
|||||||
30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
100 |
|
10n |
|||||||||||||
|
n 10 |
|
|
|
Вычислить предел числовой последовательности lim n 2 ! n 1 !.
n n 2 ! n 3 !
Решение
При непосредственном вычислении предела данной числовой последователь-
ности получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопреде-
ленности необходимо преобразовать выражение, стоящее под знаком предела, затем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Таким образом,
|
n 2 ! n 1 ! |
|
|
|
1 |
... n n 1 n 2 1 |
... n n 1 |
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
... n n 1 n 2 1 |
... n n 1 |
||||||||
n n 2 ! n 1 ! |
|
|
|
n 1 |
|
84
lim |
1 2 |
... n n 1 n 2 |
1 |
lim |
n 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
... n n 1 n 2 |
1 |
|
|
||||||
n 1 2 |
n n 2 |
|
|
|
Для раскрытия получившейся неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на n, тогда
|
n 1 |
|
|
n |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
lim |
lim |
|
n n |
|
lim |
|
|
|
|
|
1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n n 2 |
n n 3 |
|
n |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1.
Задача 6.3. Вычислить пределы функций.
а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
|
lim |
x3 2x 1 x 1 |
|
|
lim |
x3 |
6x2 12x 8 |
||||
1) |
|
x4 4x2 5 |
; |
12) |
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
x 1 |
|
|
|
x 2 |
|
x3 3x2 4 |
||||
|
lim |
x3 |
3x 2 |
|
|
lim |
x3 |
5x2 8x 4 |
|||
2) |
|
|
; |
|
13) |
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 1 |
|
x x2 |
|
|
x 2 |
|
x3 3x2 4 |
3) |
lim |
|
|
|
|
x3 3x 2 2 |
|
|
|
|
; |
|
14) |
lim |
|
x3 5x2 8x 4 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 1 x3 2x2 x 2 |
|
|
x 2 x3 7x2 16x 12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 3x 2 |
|
|||||||||||||
4) |
lim |
|
|
|
|
|
2x2 x |
1 |
|
|
; |
|
15) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 1 x3 2x2 x 2 |
|
|
x 1 x2 x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
x2 |
|
2x 3 2 |
; |
|
|
|
|
16) |
lim |
|
x3 7x2 |
15x 9 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 x |
3 |
8x |
2 |
21x 18 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 x3 4x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
2x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
17) |
lim |
|
x3 3x 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 3x |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
lim |
1 x |
; |
|
|
x 1 x3 |
x2 x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
2 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 12x4 |
x2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 12x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x3 |
2x2 |
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 x2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
5x |
2 |
7x 3 |
|
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10) lim |
|
|
|
|
; |
|
x 1 x3 |
2x2 x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 x3 4x2 5x 2 |
|
|
lim |
|
|
x2 2x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||
11) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
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x 3 x3 |
4x2 |
3x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x 1 x3 x2 x 1
85
23) lim |
|
|
x3 x2 5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27) lim |
|
x3 2x 1 |
|
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|
; |
|
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|
; |
|
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|||||||||||||
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|
x 1 x3 x2 x 1 |
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|
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|
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|
|
x 1 x4 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24) |
lim |
|
x3 4x2 |
5x 2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
28) lim |
|
1 x 3 |
1 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
25) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29) lim |
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
|
x 12x4 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 12x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26) |
lim |
x3 5x2 |
8x 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
30) lim |
x3 3x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 3x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам: |
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
x5 |
x3 4x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
4x2 2x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
11) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 3x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x3 3x 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
lim |
|
|
x4 2x3 3x2 1 |
; |
|
|
lim |
|
|
|
7x3 x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x3 |
x2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 2x 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x3 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x3 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
x3 4x2 2x 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
7x4 |
3x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
3x2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x4 x3 3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x2 2x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
3x3 x2 x 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
5x3 |
2x2 |
1 |
|
|
|
|
|
lim |
x2 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x 4x4 x3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x3 21 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
3x4 3x3 3x2 1 |
|
lim |
|
|
|
2x3 |
4x2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
lim |
|
2x3 x2 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x4 3x 1 |
|
|
|
|
|
x 3x3 21 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
lim |
x4 x3 x2 3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16) |
lim |
7x3 4x 2 |
; |
|
|
|
|
|
26) |
|
|
|
lim |
|
4x2 2x 1 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5x3 x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x4 2x2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
6x3 x2 |
x 1 |
; |
|
|
|
|
17) |
lim |
3x3 x2 6 |
|
; |
|
|
|
|
|
27) |
|
|
|
lim |
|
7x3 4x2 9 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x3 x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x3 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x3 3x2 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
lim |
|
2x3 x2 x 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
18) |
lim |
x3 5x2 1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
28) |
|
|
|
lim |
5x3 2x2 1 |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3x4 x3 5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7x3 9x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 21 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2x4 x3 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2x4 |
5x2 11 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
5x3 |
2x2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 3x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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x 7x3 13x 1 |
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x 4x3 x2 21 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
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6x3 2x2 3x |
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|
lim |
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3x3 |
x 1 |
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lim |
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4x3 |
3x 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10) |
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; |
20) |
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|
; |
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30) |
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. |
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||||||||||||||||||||
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x x4 3x3 2x 6 |
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x x3 x 1 |
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x x4 x3 7 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам: |
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3 |
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3 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||
1) lim |
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1 2x |
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x 6 |
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|
; |
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|
2) |
lim |
|
|
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|
; |
|
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x 2 |
|
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|||||||||||||||||||||||
x 4 |
|
|
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|
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|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
86
3) lim |
|
1 x 3 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
||
x 8 |
|
2 3 x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
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|
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
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|||||||||||
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|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 13 |
|
|
|
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|
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
x 13 |
|
|
x 1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6) |
|
lim |
|
|
x 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
27 x |
|
27 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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; |
||||
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|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 23 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
8) |
lim |
|
|
|
|
9 2x |
; |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
|
|
3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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||||||||||
|
x 4 3 |
|
|
|
x2 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
10) |
lim |
8 3x x2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
11) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
9 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 8 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12) |
lim |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
1 x |
|
2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
13) |
lim |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
1 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x 0 |
|
3 1 x 3 1 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
10 x 6 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14) |
|
|
1 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 8 |
|
|
2 3 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
15) |
lim |
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 1 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39x 3
16)lim;
x3 3 x 2x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) lim |
|
3 16x 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||||||
x 4 |
4 x 2x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) |
lim |
|
|
|
|
|
9 2x 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 x2 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
x/4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
; |
|||||||||
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 1/2 |
|
|
|
|
1/2 x 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
20) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 2 |
|
3 x3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
21) |
lim |
|
|
1 x |
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
3 |
|
|
|
7 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
x/16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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; |
||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1/4 |
|
|
|
1/4 x 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
27 x |
27 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 3x x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
25) |
lim |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 16 |
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 2
26)lim ;
x 16 3x 4 2
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
/9 1/3 |
||||||||
27) lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 1/3 1/3 |
x 2x |
|
lim |
|
1 2x x2 1 x |
|||||||||||||
28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
29) |
lim |
4x |
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 2 |
|
|
2 x 2x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|||||
30) |
lim |
|
|
x 13 |
|
|
x 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 3 |
|
|
|
3 x2 9 |
|
|
|
|
|
г) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
1) lim |
3x2 5x |
2) lim |
cosx cos5x |
|
3) lim |
1 cos4x |
|||
|
; |
|
; |
|
|
; |
|||
|
2x2 |
|
|||||||
x 0 |
sin3x |
x 0 |
|
x 0 |
|
xsinx |
87
4) |
lim |
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
13) |
lim |
|
sin3x sinx |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 0 tg 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
lim |
1 cos3 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
14) |
lim |
|
|
|
|
|
tg3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 2sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6) |
lim |
|
sin7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15) |
lim |
|
|
|
|
|
arctg2x |
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 sin 2 x 10 |
|
|||||||||||||||||||||
7) |
lim |
cos2x cosx |
; |
|
|
16) |
lim |
|
|
tgx sinx |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
1 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
17) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 tg 2 x 1/2 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 tgx |
|
sinx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
9) |
lim |
sin2 x tg2x |
; |
|
|
|
18) |
lim |
sin7x sin3x |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
xsinx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10) lim |
tgx sinx |
; |
|
|
19) |
lim |
|
|
|
|
|
1 cos2x |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 0 x 1 cos2x |
|
|
|
|
x 0 cos7x cos3x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
11) lim |
2xsinx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
20) |
lim |
|
cos2x cos4x |
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 01 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12)lim |
1 cos8x |
|
|
|
|
|
|
|
21) |
lim |
|
|
|
|
cos4x cos3 4x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
22) limcosx cos3 x;
x 0 5x2
23) |
lim |
sin4x sin3x |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
4x |
||||||||||
24) |
lim |
|
|
|
tg2x sin2x |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
25) |
lim |
|
cos3x cosx |
; |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
7x2 |
||||||||||
26) |
lim |
tg7x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 2sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
cos2 x cos2 2x |
|||||||||
27) |
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
x2 |
||||||||||
28) |
lim |
sin4x sin2x |
; |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
xsin3x |
||||||||||
29) |
lim |
tg3x sin3x |
; |
|||||||||
|
||||||||||||
|
x 0 |
2x2 |
30)limcos5x cosx.
;x 0 4x2
д) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
|
x 4 3x |
|
2 3x |
|
|
x |
|
x 5 |
|
3x 4 |
|||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
; |
7) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
13) |
lim |
|
|
|
; |
||||
|
|
|
5 3x |
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
x x 8 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2x 4x |
|
4x 1 |
|
|
2x |
|
x 2 |
|
3 2x |
||||||||||||||||||
2) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
8) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
14) |
lim |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
4x 1 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
1 2x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x 5 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2x 3 |
|
1 x |
1 2x |
||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
9) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
15) |
lim |
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|||||||||||||||
|
x |
2x 1 |
|
x x |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 2 1 2x |
|
|
x 1 |
2 3x |
|
2x 1 |
3x 1 |
|||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
|
; |
10) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
16) |
lim |
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
x |
|
2x 4 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
x 1 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2x 3x |
|
|
x 3 |
5x |
|
x 5 |
|
3x 4 |
|||||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
11) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
17) |
lim |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
2x 3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 1 3x 2 |
|
|
x 3 x 4 |
|
x 2 |
|
2 3x |
|||||||||||||||||||||
6) |
lim |
|
|
|
; |
12) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
18) |
lim |
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||
|
x x 4 |
|
|
x x 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
88
|
x 4 |
|
|
2x 3 |
|
x 7 2x 1 |
|
|
1 x |
3x |
||||||||||||||||
19) |
lim |
|
|
|
|
; |
23) |
lim |
|
|
|
; |
27) |
lim |
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x x 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
x 2 |
|
||||||||||||
|
3x 4 |
2x |
|
|
2x 1 x 2 |
|
|
3x 4 2x |
||||||||||||||||||
20) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
24) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
28) |
lim |
|
|
|
|
; |
||||
3x 2 |
|
2x |
|
|
|
3x |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
|
2x 4 |
|
3x |
|
|
x x 5 |
|
|
3x x 2 |
|||||||||||||||||
21) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
25) |
lim |
|
|
|
; |
29) |
lim |
|
|
|
|
; |
|||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x x 3 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
x 7 |
|
|
4x 2 |
|
|
2x 1 |
3x 1 |
|
|
4 2x x 1 |
|||||||||||||||
22) |
lim |
|
|
|
|
; |
26) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
30) |
lim |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
2x |
|
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1 2x |
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x x 1 |
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x |
4 |
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x |
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Пример 6.3 |
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Вычислить пределы функций. |
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а) lim |
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x2 |
x 2 |
. |
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x 1 x3 x2 x 1
Решение
При подстановке вместо переменной значения –1, получим неопределенность
0
вида . Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знамена-
0
тель на множители и сократим на общий множитель x 1 , который обращает в нуль и числитель, и знаменатель дроби. Получаем
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x2 x 2 |
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0 |
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x 2 x 1 |
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x 2 x 1 |
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lim |
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lim |
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|
lim |
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3 |
x |
2 |
x 1 |
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2 |
x 1 x 1 |
x 1 x |
2 |
1 |
|||||||||||||||||||
x 1 x |
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|
0 |
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x 1 x |
|
x 1 |
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||||||||||||||||||||
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lim |
x 2 |
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1 2 |
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3 |
1,5. |
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|||||||||||||||
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x 1 x |
2 |
1 |
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|
2 |
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Ответ: 1,5. |
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1 1 |
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б) lim |
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9x3 x2 2x |
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2x3 x 1 |
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x |
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Решение
При непосредственном вычислении предела данной функции получим неопре-
деленность вида . Для раскрытия этой неопределенности необходимо разде-
лить числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на x3.
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