1.3. Свойства случайных ошибок

Случайные ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения с плотностью

(1.2) где t - текущее значение случайной ошибки измерений;  - среднее квадратическое отклонение (стандарт) генеральной совокупности этих ошибок.

Из анализа функции (1.2) имеем:

1. функция достигает максимальных значений при t = 0;

2) функция четная, т.е. f(t) = f(-t); отсюда следует, что кривая симметрична относительно значения t = 0;

3) математическое ожидание случайных ошибок измерений определится согласно

(1.3)

4) дисперсия случайных ошибок измерений запишется в виде

(1.4)

Отсюда среднее квадратическое отклонение

(1.5)

Равенство (1.2) носит название уравнения кривой Гаусса. Свойства ее совпадают с кривой нормального распределения (рис.1). Отсюда получим следующие свойства случайных ошибок измерений.

1. При данных условиях измерений случайные ошибки не могут превзойти по абсолютной величине определенного предела, т.е.

 ( t )  = _пр= 3 . (1.6)

2. Малые по абсолютной величине

ошибки встречаются чаще, чем

большие. 3. Положительные ошибки появляются

так же часто, как и равные им по

абсолютной величине отрицательные

ошибки, т.е.

-3 - - 0  2 3 t p (    p (      (1.7)

Рис. 1

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений, т.е.

. (1.8)

Если то в этом случае систематическое влияние полностью не исключено.

1.4. Принцип арифметической средины

Пусть даны результаты равноточных измерений одной величины x₁, x₂, ... , x_n . При этом следует иметь в виду, что истинное значение X измеряемой величины известно.

Составим ряд истинных ошибок результатов измерений согласно равенству (1.1)

₁ = x₁ - X ; ₂= x₂ - X ; (1.9) ....................... _n= x_n - X .

Равенства (1.9) почленно сложим, в результате получим следующее значение:

.

Полученное равенство разделим на n , вследствие чего будем иметь

(1.10)

Введем обозначение среднее арифметическое значение измеряемой величины. Тогда

. (1.11)

На основании четвертого свойства случайных ошибок можно утверждать, что приn  , т.е. среднее арифметическое из результатов равноточных измерений стремится к истинному значению этой величины при неограниченном возрастании числа измерений. Среднее арифметическое из данного ряда равноточных измерений принимается за наиболее надежное значение и при конечном числе измерений.