- •Б 2.1. Линейная алгебра
- •1. Цели и задачи освоения дисциплины.
- •2. Место дисциплины в структуре ооп впо.
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины
- •4. Содержание и структура дисциплины
- •4.1 Содержание разделов дисциплины
- •4.2. Структура дисциплины
- •4.3. Распределение видов учебной работы и их трудоемкости по разделам дисциплины
- •Http://mech.Math.Msu.Su/department/algebra
- •8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
- •Типы задач по линейной алгебре для экзамена Матрицы и определители ([1], гл. 1).
- •Теоретические вопросы к экзамену по линейной алгебре
Http://mech.Math.Msu.Su/department/algebra
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) линейная алгебра: учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий, доступ студентов к компьютеру с Microsoft Office и с математическим пакетом Mathcad.
8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Контрольные работы оцениваются по пятибалльной системе. Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. На практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий.
Варианты контрольных работ:
Контрольная работа № 1:
1. Вычислить определитель четвертого порядка разложением по строке либо по столбцу.
2. Решить методом обратной матрицы алгебраическую систему третьего порядка.
3. Определить ранг матрицы 4*5 приведением к ступенчатому виду.
Контрольная работа № 2:
В трехмерном пространстве заданы прямая и плоскость
1. Найти точку пересечения прямой (1) с плоскостью (2). 2. Найти угол между прямой (1) и плоскостью (2). 3. Задать параметрические уравнения прямой (1). 4. Определить расстояние от точки Мо до плоскости (2). 5. Задать уравнение плоскости, проходящей через Мо параллельно плоскости (2).
|
|
Типы задач по линейной алгебре для экзамена Матрицы и определители ([1], гл. 1).
1. Вычислить определитель матрицы второго-четвертого порядков.
2. Определить ранг матрицы 4×5.
3. Определить максимальное количество линейно независимых векторов-строк или векторов-столбцов из заданной системы векторов в пространстве .
Системы линейных алгебраических уравнений ([1], гл. 2)..
4. Решить алгебраическую систему третьего порядка
а) методом Крамера;
б) методом обратной матрицы.
5. Решить алгебраическую систему четвертого порядка методом Гаусса.
6. Методом Гаусса найти все решения алгебраической системы уравнений с неквадратной матрицей 4×5.
7. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений порядка 4×5 или 5×5. Записать общее решение совместной неоднородной системы с той же матрицей.
Аналитическая геометрия на плоскости ([3], гл. 3, §1-4, §6-7).
8. Разделить отрезок на плоскости в заданном отношении.
9. Построить уравнение прямой на плоскости
а) по двум точкам;
б) по точке и направляющему вектору;
в) по точке и вектору, перпендикулярному искомой прямой;
г) по угловому коэффициенту и точке.
10. Определить угол между двумя прямыми на плоскости.
11. Определить расстояние от заданной точки до прямой на плоскости.
12. Определить расстояние между параллельными прямыми.
Комплексные числа[3], гл. 9).
13. Найти корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и с отрицательным дискриминантом.
14. Для пары комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, вычислить сумму, разность, произведение и частное.
15. Комплексное число, записанное в алгебраической форме, представить в тригонометрической форме.
16. Возвести в натуральную степень или извлечь корень из заданного комплексного числа.
Аналитическая геометрия в пространстве ([3], гл. 10, §1-9).
17. Для пары векторов в трехмерном пространстве проверить ортогональность либо коллинеарность.
18. Для трех векторов в трехмерном пространстве проверить компланарность.
19. Выписать каноническое уравнение прямой, заданной в трехмерном пространстве пересечением пары плоскостей.
20. Определить угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве.
21. Построить уравнение прямой в трехмерном пространстве
а) по двум точкам;
б) по точке и направляющему вектору;
в) по точке и параллельной прямой.
22. Определить угол между прямой и плоскостью.
23. Определить угол между двумя плоскостями.
24. Определить расстояние от заданной точки до плоскости в трехмерном пространстве.
25. Определить расстояние между параллельными плоскостями.
26. Построить уравнение плоскости по
а) трем заданным точкам;
б) двум заданным точкам и вектору, параллельному искомой плоскости;
в) одной заданной точке и двум векторам, параллельным искомой плоскости;
г) одной заданной точке и прямой, перпендикулярной искомой плоскости.
д) прямой, принадлежащей искомой плоскости, и одной заданной точке вне этой прямой;
е) двум параллельным прямым.
27. Проверить параллельность прямой и плоскости. Определить расстояние между ними.
Линейные пространства, линейные операторы, квадратичные формы
28. В заданной системе векторов найти максимальную линейно независимую подсистему.
29. В арифметическом пространстве , данывекторов. Показать их линейную независимость. Для данного векторанайти представление в базисе.
30. Найти базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений снеизвестными. Выписать общее решение системы.
31. Для данного линейного отображения (например, поворот координатных осей на заданный угол) написать матричное представление в заданном базисе. Найти матрицу обратного преобразования, а также матрицу данного отображения в новом базисе.
32. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы второго или третьего порядка.
33. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду, если это возможно.
34. Заданную квадратичную формы двух или трех переменных привести к каноническому виду выделением полных квадратов.
35. Для данной квадратичной формы двух или трех переменных найти ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Выписать матрицу перехода и канонический вид квадратичной формы.