- •1. Натуральные числа.
- •1. Если функции иявляются бесконечно малыми, то функциятакже есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.
- •2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.
- •3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
- •4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.
- •8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел
- •9. Критерий Коши сходимости последовательности
- •10. Предел функции, два определения.
- •12. Непрерывность функции. Разрывы первого и второго рода
- •13. Теоремы Вейерштрасса о функции непрерывной на отрезке.
- •14. Теорема о свойстве непрерывной на отрезке функции принимающей на концах отрезка значения разных знаков (Больцано-Коши).
- •15. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины.
- •16. Сравнение бесконечно больших величин. Эквивалентные бесконечно большие величины.
- •17.Применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших величин для вычисления пределов.
- •18 Производная функции. Механический и геометрический смысл производной.
- •Тангенс угла наклона касательной прямой
- •Скорость изменения функции
- •19 Свойства производных. Правила дифференцирования
- •20 Производные элементарных функций.
- •21 Производная сложной функции. Производная обратной функции
- •22 Дифференциал функции. Геометрический смысл
- •23 Приближенное выражение приращения функции через дифференциал.
- •24 Производная высшего порядка.
- •Формула Тейлора
- •34. Асимптоты
- •35. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •43.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •44.Приложение интегралов. Площадь плоской фигуры.
- •45.Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Сходимость интегралов.
- •51.Предел последовательности n-мерных точек.
- •52. Предел функции многих переменных, два определения.
- •В этом случае пишут илипри.
- •53. Непрерывные функции многих переменных.
- •54. Частные производные первого порядка.
- •60. Градиент функции, свойства градиента
- •63. Необходимые условия локального экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Стационарные точки.
- •64. Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
- •65. Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Вычисление корней многочленов.
- •66. Дифференциальные уравнения, основные понятия.
- •67. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •68. Линейные уравнения первого порядка.
- •69. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка.
66. Дифференциальные уравнения, основные понятия.
Определение 1. Уравнение вида , где х-независимая переменная, у - искомая функция, у’- её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Определение 3. Общим решением уравнения в некоторой областиG плоскости Oxy называется функция , зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравненияпри любом значении постоянной С и если при любых начальных условиях у=у0, х=х0 таких, что , существует единственное значение постоянной С=С0 такое, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.
Определение 4. Частным решением уравнения в областиG называется функция , которая получается из общего решенияпри определённом значении постоянной С=С0.
67. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Определение 5. Уравнения вида , где f1(x) и f2(y) – непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
68. Линейные уравнения первого порядка.
Определение 6. Уравнение вида , где p(x) и f(x) – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция y и её производная y’ входят в уравнение линейно, т.е. в первой степени.
Если , то уравнениеназывается линейным однородным уравнением. Если, то уравнениеназывается линейным неоднородным уравнением.
69. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка.
Определение 1. Уравнение вида где х – независимая переменная, у – искомая функция, у’ иy’’ – ее производные, называются дифференциальным уравнением второго порядка.
Определение 2. Уравнение вида , где у - искомая функция, аp и q - вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Определение 3. Уравнение вида , гдеp и q - вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.