Физика_1_2_My
.pdfгде – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; – промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.
Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
l l0 1 2 / c2 ,
где l0 – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно кото-
рой стержень покоится (собственная длина); l –длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью .
Релятивистский закон сложения скоростей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 / c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ux |
|
|
|
|
u y 1 |
|
|
uz 1 |
|
|
2 / c2 |
|||||||||
ux |
|
|
|
|
|
|
, u y |
|
|
|
|
|
|
|
, uz |
|
|
|
|
|
|
|
, |
1 |
u |
|
/ c |
2 |
1 |
|
u |
|
/ c |
2 |
|
1 |
|
u |
|
/ c |
2 |
|
|||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где предполагается, что система отсчета K движется со скоростью в положительном направлении оси х системы отсчета К, причем оси х и х совпадают, оси y’ и y, z' и z параллельны.
Интервал s12 между событиями (инвариантная величина):
s2 |
c2t 2 |
l 2 |
inv, |
12 |
12 |
12 |
|
где t12 – промежуток времени между событиями 1 и 2; l12 –расстояние между точками, где произошли события.
Масса релятивистской частицы и релятивистский импульс:
m |
|
m0 |
|
, p |
|
|
m0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 2 / c2 |
1 |
|
2 / c2 |
где m0 – масса покоя.
Основной закон релятивистской динамики
F ddtp ,
где p – релятивистский импульс частицы.
Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы
E mc2 m0c2 T , T (m m0 )c 2 .
Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
E 2 m2c4 |
p2c2 , |
|
|
|
pc T (T 2m c2 ) . |
||||
0 |
|
0 |
|
Энергия связи системы
|
n |
Eсв |
m0i c2 M 0 c2 , |
|
i 1 |
21
где m0i – масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; M 0 |
– масса |
|||||
покоя системы, состоящей из n частиц. |
|
|
||||
Электростатика. Основные формулы и законы |
|
|||||
● Закон Кулона: |
|
|
|
|
|
|
F |
1 |
|
|
Q1Q2 |
, |
|
4 |
0 |
|
r 2 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где F – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов Q1 |
и Q2 в |
|||||
вакууме; r – расстояние между зарядами; |
0 – электрическая постоянная, |
|||||
равная 8,85 10 12 Ф/м. |
|
|
|
|
|
|
● Напряженность и потенциал электростатического поля:
|
|
|
|
|
П / Q0 , или |
E F Q0 ; |
|||||
|
|
|
|
A |
Q0 , |
где F – сила, действующая на положительный точечный заряд Q0 помещенный в данную точку поля; П – потенциальная энергия заряда Q0 ; A – работа перемещения заряда Q0 из данной точки поля на бесконечность.
● Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда:
Е |
1 |
|
|
Q |
; |
1 |
|
|
Q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
0 |
|
r 2 |
4 |
0 |
|
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
● Поток вектора напряжения через площадку:
dФ (E,dS) En dS ,
где dS dSn – вектор, модуль которого равен dS , а направление совпада-
|
|
|
|
|
||||
ет с нормалью n к площадке; En |
|
– проекция вектора |
E |
на направление |
||||
нормали к площадке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
● Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
En dS . |
||
E |
S |
E, dS |
||||||
|
|
|
|
|
S |
Принцип суперпозиций (наложения) электростатических полей:
|
n |
|
|
n |
E |
|
Ei ; |
i , |
|
|
i 1 |
i 1 |
22
где Ei , i – соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом Qi .
● Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
E grad ,
где i , j, k – единичные векторы координатных осей.
● В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,
Er |
d |
. |
|
|
|||
dr |
|||
|
|
● Электрический момент диполя (дипольный момент): p Q l ,
где l – плечо диполя.
● Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов:
dQdl ; dQdS ; dVdQ ,
т.е., соответственно, заряд, приходящийся на единицу длины, поверхности и объема.
● Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме:
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
1 |
|
dV , |
|
ФE |
|
E, dS |
En dS |
i 1 |
Qi |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 V |
||||||||||
|
S |
S |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
где 0 – электрическая постоянная; |
|
Qi |
– алгебраическая сумма заря- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
дов, заключенных внутри замкнутой поверхности S; n – число зарядов;
– объемная плотность зарядов.
● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,
E 2 0 .
● Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями,
E / 0 .
● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхность радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра сферы,
E 0, при r R (внутри сферы);
23
E |
|
1 |
|
Q |
, при r R (вне сферы). |
|
|
|
r 2 |
||
4 |
0 |
|
|
● Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии r от центра шара,
E |
|
Q |
|
|
r |
3 |
при r |
R (внyтри шара); |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
||||
4 |
0 |
R |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
1 |
|
|
Q |
при r |
R (вне шара). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
0 |
|
r2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
● Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,
E |
0, |
|
|
при r R (внутри цилиндра); |
|
E |
1 |
|
|
|
, при r R (вне цилиндра). |
|
|
|
|
||
2 |
0 |
r |
● Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
|
|
|
|
|
E1dl 0 , |
|
E, dl |
||||
L |
L |
где E1 – проекция вектора E на направление элементарного перемещения dl . Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.
● Работа, совершаемая силами электростатического поля при переме-
щении заряда Q0 |
из точки 1 в точку 2, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
A12 |
Q0 1 2 , или |
A12 |
Q0 E, dl |
Q0 E1dl1 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где E1 – проекция вектора |
E |
на направление элементарного перемеще- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния dl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
● Поляризованность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ V , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
pi |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
где V – объем диэлектрика; pi – дипольный момент i – й молекулы.
● Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженности электростатического поля
|
|
|
|
P |
0 E , |
где – диэлектрическая восприимчивость вещества.
24
● Связь диэлектрической проницаемости с диэлектрической восприимчивостью
1 .
● Связь между напряженностью E поля в диэлектрике и напряженностью E0 внешнего поля
E E0 P 0 , или
EE0 .
●Связь между векторами электрического смещения и напряженностью электростатического поля
D 0 E .
●Связь между D, E и P
D 0 E P .
● Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:
|
|
|
|
|
n |
ФD D, dS |
Dn dS |
Qi , |
|||
S |
S |
i 1 |
|||
n |
|
|
где Qi – алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой по-
i 1
верхности S свободных электрических зарядов; Dn – проекция вектора D по направлению нормали n к площадке dS ; dS dS n – вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с нормалью n к площадку. Интегрирование ведется по всей поверхности.
● Напряженность электростатического поля у поверхности проводника
E 0,
где – поверхностная плотность заряда.
● Электроемкость уеденного проводника
C |
Q |
, |
где Q – заряд, сообщенный проводнику; |
– потенциал проводника. |
|
● Емкость плоского конденсатора |
|
|
C |
0 S / d , |
где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами.
25
● Емкость цилиндрического конденсатора:
C |
2 |
0 l |
, |
|
|
||
|
ln r2 / r1 |
|
|
||||
где l – длина обкладок конденсатора; |
r1 , |
r2 |
– радиусы полых коаксиаль- |
||||
ных цилиндров. |
|
|
|
|
|
|
|
● Емкость сферического конденсатора |
|
|
|
||||
C |
4 0 |
r1r2 |
|
, |
|||
r2 |
r1 |
||||||
|
|
|
|
где r1 , r2 – радиусы концентрических сфер.
● Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении
1 |
n |
1 |
|
|
и |
||
|
|
|
|
C |
i 1 Ci |
n
C Ci ,
i 1
где Ci – емкость i -го конденсатора; n – число конденсаторов.
● Энергия уединенного заряженного проводника
W |
C 2 |
|
Q |
|
Q2 |
. |
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
2C |
● Энергия взаимодействия системы точечных зарядов
|
1 |
n |
W |
|
Qi i , |
|
||
|
2 i 1 |
где i – потенциал, создаваемый в точке, где находится заряд, всеми зарядами, кроме i-го.
● Энергия заряженного конденсатора
W |
C 2 Q |
|
|
Q2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
2 2C |
||||
|
|
|
|
где Q – заряд конденсатора; C- его емкость; – разность потенциалов между обкладками.
● Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора
|
|
|
Q |
|
2 S |
|
0 |
E 2 S |
. |
|
F |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 0 S |
2 0 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
26
● Энергия электростатического поля плоского конденсатора
|
0 |
E 2 |
0 |
SU 2 |
0 |
E 2 |
|||
W |
|
Sd |
|
|
V , |
||||
|
2 |
|
2d |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
где S – площадь одной пластины; U – разность потенциалов между пластинами V Sd – объем конденсатора.
● Объемная плотность энергии
0 E2 |
|
ED |
, |
2 |
2 |
где D – электрическое смещение.
Постоянный электрический ток
● Сила и плотность электрического тока
|
|
|
|
|
|
I |
dQ |
; |
|
|
j |
|
I |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
||||
где S – площадь поверхности тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
● Плотность тока в проводнике |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
nq |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
– скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; n – |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
концентрация зарядов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
● Электродвижущая сила, действующая в цепи, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A Q0 , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E CT , dl , |
|
||||||||||
где Q0 – положительный единичный заряд; А – работа сторонних сил; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
– напряженность поля сторонних сил. |
|
|
|
|||||||||||||||
ECT |
|
|
|
||||||||||||||||||
● Сопротивление R однородного линейного проводника, проводи- |
|||||||||||||||||||||
мость G проводника и удельная электрическая проводимость |
веще- |
||||||||||||||||||||
ства проводника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
R |
l S ; G 1/ R; |
1 , |
|
|||||||||||||
где |
|
|
– удельное электрическое сопротивление; S – площадь попереч- |
||||||||||||||||||
ного сечения проводника; l – его длина. |
|
|
|
|
|
|
● Сопротивление проводников при последовательном и параллельном соединении:
|
n |
R |
Ri и |
|
i 1 |
27
1 |
n |
1 |
|
|
, |
||
|
|
|
|
R |
i 1 Ri |
где Ri – сопротивление i-го проводника; n – число проводников.
● Зависимость удельного сопротивления от температуры
0 (1 t) ,
где – температурный коэффициент сопротивления.
● Закон Ома:
для однородного участка цепи
I U / R;
для неоднородного участка цепи
IR |
1 |
2 ; |
для замкнутой цепи
IR ,
где U –напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи); ( 1 2 ) – разность потенциалов на концах участка цепи; – ЭДС источника (источников) тока, действующих на участке (в цепи).
● Закон Ома в дифференциальной форме:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j E , |
|||||
|
|
|
|||||||
где |
E |
– напряженность электростатического поля. |
|||||||
● Работа постоянного тока за время t |
|
|
|
||||||
|
|
A |
IUt |
I 2 Rt |
|
U 2 |
t . |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
● Мощность тока |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
UI |
I 2 R |
U 2 / R . |
||||
● Закон Джоуля-Ленца для постоянного тока: |
|||||||||
|
|
|
Q |
I 2 Rt |
IUt , |
где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t.
● Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме w jE E2 ,
где w – удельная мощность тока.
● Правила Кирхгофа:
Ik |
0; |
Ii Ri |
i . |
k |
|
i |
|
28
Магнитное поле. Основные законы и формулы
● Механический момент, действующий на контур с током, помешенный в однородное поле,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
M |
pm |
B |
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
– магнитный момент контура с током: |
|||||||||
B |
– магнитная индукция; pm |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
pm |
ISn , |
||||||||
где S – площадь контура с током; n |
– единичный вектор нормали к по- |
||||||||||||||
верхности контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
● Связь магнитной индукции |
B |
|
и напряженности |
H |
магнитного поля |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
B |
|
0 H , |
|||||||||
где |
0 – магнитная постоянная; |
– магнитная проницаемость среды. |
● Закон Био-Савара-Лапласа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
I dl, r |
, |
|||
d B |
|||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
r3 |
|
|
где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током I длины dl ; r – радиус-вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная индукция.
● Модуль вектора dB :
dB |
0 |
|
I dl sin |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
r 2 |
|
где – угол между векторами dl и r .
● Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей
B Bi ,
i
где B – магнитная индукция результирующего поля; Bi – магнитные индукции составляющих полей.
● Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечным длинным прямым проводником с током,
B |
0 |
|
2I |
, |
|
|
|||
4 R |
где R – расстояние от оси проводника.
29
● Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
B |
|
|
|
I |
, |
|||
0 |
|
2R |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
где R – радиус витка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
● Закон Ампера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
], |
||
dF |
I[dl , |
B |
где dF – сила, действующая на элемент длины dl проводника с током I, помещенный в магнитное поле с индукцией B .
● Модуль силы Ампера:
dF IBdl sin ,
где – угол между векторами dl и B .
● Сила взаимодействия двух бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами I1 и I 2
|
|
dF |
0 |
|
2I1 I 2 |
dl , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
R |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где R – расстояние между проводниками; dl – отрезок проводника. |
||||||||||||||||
● Магнитное поле точечного заряда Q, свободно движущегося с нере- |
||||||||||||||||
лятивистской скоростью |
|
, |
|
|
|
|
Q |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
r |
, |
||||||
|
|
B |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
r3 |
|
|
|
|
где r – радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения.
●Модуль магнитной индукции
B |
0 |
|
Q |
sin , |
|
|
|||
4 r 2 |
где – угол между векторами и r .
● Сила Лоренца
F Q[ , B],
где F – сила, действующая на заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью .
● Формула Лоренца
F QE Q , B ,
30