Analiticheskaya_Geometria
.pdfляющие косинусы n = {cosα, cos β, cosγ}. Если M(x, y, z) − произвольная точка плоскости π , проекция вектора OM на нормаль OP равна p , т. е.:
прOP OM = прn OM = p . |
(3.7) |
Учитывая, что OM = {x, y, z}, прn OM = OM n , получим: |
|
прn OM = xcosα + ycos β + zcosγ . |
(3.8) |
Из соотношений (3.7) и (3.8) следует нормальное уравнение плос- |
|
кости: |
|
xcosα + ycos β + zcosγ − p = 0 . |
(3.9) |
Теорема 3. Если точка M1 имеет координаты (x1, y1, z1) |
и плоскость π |
задана нормальным уравнением xcosα + ycos β + zcosγ = p , то расстояние d от точки M1 до плоскости π определяется по формуле
d = |
|
x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ − p |
|
. |
(3.10) |
|
|
||||
Доказательство. Пусть Q − проекция точки M1 |
на направленную |
||||
нормаль. Тогда в силу основного алгебраического тождества OQ = OP + PQ |
или PQ = OQ −OP , откуда следует, что d = PQ = OQ −OP . Но OQ = прn OM1 ,
OP = p , |
т. е. d = |
прn OM1 − p |
. Вектор OM1 |
имеет координаты {x1, y1, z1} и |
|||||||||
прn OM1 |
= n OM1 = x1 cosα − y1 cos β − z1 cosγ . |
Поэтому |
d = |
|
PQ |
|
= |
|
OQ −OP |
|
= |
||
|
|
|
|
= x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ − p . Теорема доказана.
Пусть уравнения Ax + By +Cz + D = 0 и xcosα + ycos β + zcosγ − p = 0 яв-
ляются общим и нормальным уравнениями одной и той же плоскости π . По теореме 2 коэффициенты в этих уравнениях пропорциональны, т. е.
cosα = µA, cos β = µB , cosγ = µC . |
|
Так как cos2 α + cos2 β + cos2 γ = =1, то |
||||||
µ2 (A2 + B2 +C2 ) =1 или µ = ± |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
+C |
2 |
||||
|
|
A + B |
|
|
|
|
||
Определение. Число µ , с помощью которого общее уравнение плос- |
кости преобразуется к нормальному, называется нормирующим множи-
телем.
Знак числа µ определяется из условия p = −µD , т. е. оно имеет знак,
противоположный знаку свободного члена общего уравнения. Если в уравнении (3.2) D = 0 , то знак нормирующего множителя выбирается про-
извольно. |
|
П р и м е р 31. Найти расстояние d от точки M1(1, 3, 0) |
до плоскости |
x − 2y − 2z + 7 = 0 . |
|
Решение. Прежде всего нужно общее уравнение плоскости привести |
|
к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель |
µ2 (12 + (−2)2 + |
+ (−2)2 ) = 9µ2 =1. В общем уравнении плоскости D = 7 0 , поэтому µ 0,
64
т. |
е. |
µ = − |
1 . Следовательно, нормальное уравнение плоскости имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x1 + |
2 y1 + |
2 z1 |
− 7 |
|
|
|
− 1 + 2 + 0 − |
7 |
|
|
|
− 2 |
|
= 2 . |
||||
− |
1 x + 2 y + |
2 z − |
7 = 0 . Тогда d = |
|
− |
|
= |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|||
|
|
Следствие. Если точка M1 |
имеет координаты (x1, y1, z1) и плоскость π |
||||||||||||||||||||||||||
задана общим уравнением Ax + By +Cz + D = 0 , |
то расстояние d |
от точки M1 |
|||||||||||||||||||||||||||
до плоскости π определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
d = |
|
|
Ax1 + By1 +Cz1 + D |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Направляющие косинусы нормали плоскости связаны с коэффициентами общего уравнения плоскости соотношениями
cosα = µA, cos β = µB , cosγ = µC , |
где |
µ = ± |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− нормирующий |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ B |
2 |
+C |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множитель. Учитывая, |
что p = −µD , |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
преобразуем формулу |
(3.10): d = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
x1 cosα + y1 cos β + z1 cosγ − p |
|
= |
|
x1µA+ y1µB + z1µC + µD |
|
= |
|
µ(x1 A+ y1B + z1C + D) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
µ |
|
|
|
x1 A+ y1B + z1C + D |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 A+ y1B + z1C + D |
|
= |
|
|
Ax1 + By1 +Cz1 + D |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
+ B |
2 |
+C |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
+C |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A + B |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие доказано.
3.6. Пучки и связки плоскостей
Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).
Теорема 4. Если A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 − урав-
нения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых является некоторая прямая L, а α и β − произвольные числа, удовлетворяющие условию α2 + β2 ≠ 0 , то уравнение
α(A1x + B1 y +C1z + D1) + β(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 |
(3.12) |
определяет плоскость, проходящую через прямую L. Более того, найдутся α и β такие, что любая плоскость, проходящая через прямую L, описыва-
ется уравнением (3.12).
Доказательство. Покажем, что при выполнении условия α2 + β2 ≠ 0
уравнение (3.12) представляет собой уравнение первого порядка. Запишем
(3.12) в виде
|
|
(αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 )z + (αD1 + βD2 ) = 0 . |
(3.13) |
|||||||||||||||||
Предположим, что в выражении (3.13) все коэффициенты, стоящие |
||||||||||||||||||||
перед переменными, обращаются в нуль, |
т. |
е. αA1 + βA2 = 0, |
αB1 + βB2 = 0 и |
|||||||||||||||||
αC1 + βC2 |
= 0 . Так как α2 + β2 ≠ 0 , |
то, положив для определенности α ≠ 0 , |
||||||||||||||||||
получим |
|
A1 |
= − |
β |
, |
B1 |
= − |
β |
, |
C1 = − |
β |
, т. е. |
A1 |
|
= |
B1 |
= C1 . Последнее равенст- |
|||
|
|
A |
|
α |
B |
|
α |
C |
2 |
α |
A |
|
B |
C |
2 |
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
во является условием параллельности плоскостей, задаваемых уравнения-
65
ми A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 , и противоречит предположению о том, что эти плоскости пересекаются и не совпадают. Таким об-
разом, при условии α2 + β2 ≠ 0 уравнение (3.13) (соответственно и уравне-
ние (3.12)) является уравнением первой степени и, как было показано ранее, определяет некоторую плоскость.
Если M0 (x0 , y0 , z0 ) − произвольная точка линии L пересечения плоскостей, задаваемых уравнениями A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 ,
то эта точка принадлежит каждой |
из этих плоскостей, т. е. выполняются |
|
равенства A1x0 + B1 y0 +C1z0 + D1 = 0 и |
A2 x0 + B2 y0 +C2 z0 + D2 |
= 0 , следовательно, |
α(A1x0 + B1 y0 +C1z0 + D1) + β(A2 x0 + B2 y0 +C2 z0 + D2 ) = 0 . Это |
равносильно тому, |
что плоскость, задаваемая уравнением (3.12), проходит через линию пересечения плоскостей, определяемых уравнениями A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 .
Покажем, что найдутся α и β такие, что любая плоскость, проходя-
щая через прямую L, описывается уравнением (3.12). Любая плоскость, проходящая через прямую L, определяется заданием еще одной точки M1(x1, y1, z1) , не принадлежащей прямой L. Если такая плоскость задается
уравнением (3.12), то координаты точки M1(x1, y1, z1) удовлетворяют уравнению
α(A1x1 + B1 y1 +C1z1 + D1) + β(A2 x1 + B2 y1 +C2 z1 + D2 ) = 0 . |
(3.14) |
Так как точка M1 не принадлежит одновременно двум плоскостям,
задаваемым уравнениями A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 , то не могут одновременно обратиться в нуль выражения, стоящие в скобках вы-
ражения (3.14). Для определенности будем считать, что
A1x1 + B1 y1 +C1z1 + D1 ≠ 0 . Тогда при β ≠ 0 (если β = 0 и A1x1 + B1 y1 +C1z1 + D1 ≠ 0 ,
то α = 0, что противоречит условию α2 + β2 ≠ 0 ) из уравнения (3.14) можем определить коэффициент α :
α = − |
A2 x1 + B2 y1 +C2 z1 + D2 |
β . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ax + B y +C z + D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При указанных α |
и |
β |
плоскость, определяемая уравнением (3.12), |
|||||||||||||||||
проходит через точку M1(x1, y1, z1) . Если же |
A2 x1 + B2 y1 +C2 z1 + D ≠ 0 , то, рас- |
|||||||||||||||||||
суждая аналогично, |
при α ≠ 0 найдем β = − |
A1x1 + B1 y1 +C1z1 + D1 |
α . Теорема |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x + B y +C z |
+ D |
|
|
|
|||||||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|||
Учитывая, |
что |
α2 + β2 ≠ 0 , при α ≠ 0 |
введем обозначение λ |
= |
и |
|||||||||||||||
α |
||||||||||||||||||||
уравнение (3.12) запишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(A1x + B1 y +C1z + D1) + λ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 . |
|
|
(3.15) |
|||||||||||||||
Уравнение (3.15) содержит все плоскости, проходящие через пря- |
||||||||||||||||||||
мую, определяемую |
как |
пересечение плоскостей |
|
A1x + B1 y +C1z + D1 |
= 0 |
и |
||||||||||||||
A2 x + B2 y +C2 z + D2 |
= 0 кроме плоскости A1x + B1 y +C1z + D1 |
= 0 . Поэтому пучок |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей может быть задан совокупностью уравнений
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и (A1x + B1 y +C1z + D1) + λ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 .
Доказанная теорема позволяет задавать прямую, являющуюся лини-
ей пересечения |
двух |
не параллельных и не совпадающих плоскостей |
A1x + B1 y +C1z + D1 |
= 0 и |
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 , не только двумя уравнениями |
этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка (3.12), полученными при произвольных значениях α и β .
Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через
данную точку |
M0 (x0 , y0 , z0 ) , называется связкой плоскостей (с центром в |
|
точке M0 ). |
|
|
Теорема |
5. Уравнение связки плоскостей |
с центром в точке |
M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид |
|
|
|
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 , |
(3.16) |
где A, B, C − произвольные числа, не равные одновременно нулю, т. е. они
должны удовлетворять условию A2 + B2 +C2 ≠ 0 .
Доказательство. Очевидно, что любая плоскость, задаваемая уравнением (3.16), проходит через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) . Если же π является за-
данной плоскостью, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) , то эта плоскость однозначно определяется заданием еще и нормального вектора N = {A, B, C}. Таким образом, плоскость задается уравнением (3.1), совпадающим с уравнением (3.16). Теорема доказана.
3.7. Уравнения прямой в пространстве
Любую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и задавать ее системой двух уравнений. Поэтому любую прямую можно рассматривать как линию пересечения плоскостей и определять заданием двух уравнений первой степени.
Пусть задана некоторая прямоугольная система координат Oxyz и прямая L. Пусть π1 и π2 − две различные плоскости, пересекающиеся по прямой L и задаваемые соответственно уравнениями A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 . Эти два уравнения совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда они не параллельны и не совпадают
друг с другом, т. е. нормальные векторы N1 = {A1, B1,C1} и N2 |
= {A2 , B2 ,C2} этих |
плоскостей не коллинеарны. |
|
Определение. Если коэффициенты уравнений |
|
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 |
(3.17) |
не пропорциональны, то эти уравнения называются общими уравнениями прямой, определяемой как линия пересечения плоскостей.
Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, на-
зывается направляющим вектором этой прямой.
67
Выведем уравнение прямой L, проходящей через данную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) пространства и имеющей заданный направляющий вектор
a = {l, m, n}.
|
|
|
|
Пусть точка M(x, y, z) |
− произвольная точка прямой L. Эта точка ле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жит на прямой тогда и только тогда, когда вектор M0M , имеющий коорди- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наты |
{x − x0 , y − y0 , z − z0}, коллинеарен направляющему вектору |
a = {l, m, n} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой. Согласно (2.28) условие коллинеарности векторов M0M и a |
имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
y − y0 |
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.18) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (3.18) называются каноническими уравнениями пря- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мой, |
проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 ) и имеющей направляющий век- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тор a = {l, m, n}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Если прямая L задана общими уравнениями (3.17), то направляющий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор a |
|
этой прямой ортогонален нормальным векторам |
N1 |
|
= {A1, B1,C1} и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N2 = {A2 , B2 ,C2} плоскостей, задаваемых уравнениями |
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 x + B2 y +C2 z + D2 |
|
= 0 . Вектор N1 × N2 по свойству векторного произведения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ортогонален каждому из векторов N1 |
и N2 . Согласно определению в каче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стве направляющего вектора a |
прямой L можно взять вектор N1 × N2 , |
|
т. е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B C |
|
|
, |
|
|
C A |
|
|
, |
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
= |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
B2 C2 |
|
|
|
|
C2 A2 |
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Для нахождения точки M0 (x0 , y0 , z0 ) рассмотрим систему уравнений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ax + B y |
+C z + D |
= 0 |
|
. |
|
|
Так |
|
как плоскости, определяемые |
|
уравнениями |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 |
и |
|
|
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 , не параллельны и не совпада- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ют, то не выполняется хотя бы одно из равенств |
|
|
A1 |
= |
|
B1 |
|
= C1 |
. Это приво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
B |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дит к тому, что хотя бы один из определителей |
|
B1 C1 |
|
, |
|
C1 |
A1 |
|
|
|
|
|
|
A1 |
B1 |
|
от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
2 |
|
|
|
C |
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
личен от нуля. Для определенности будем считать, что |
|
|
B1 |
C1 |
|
|
≠ 0 . Тогда, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
взяв произвольное значение x0 , |
получим систему уравнений относительно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неизвестных y0 |
|
и z0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
B y |
+C z |
|
|
= −(D |
+ Ax ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
B2 y0 +C2 z0 = −(D2 + A2 x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме Крамера эта система имеет единственное решение, определяемое формулами
68
y0 |
= |
C1(D2 + A2 x0 ) −C2 (D1 + A1x0 ) , |
z0 |
= B2 (D1 + A1x0 ) − B1(D2 + A2 x0 ) . |
(3.19) |
|||||||||
|
|
B1C2 − B2C1 |
|
|
|
|
|
|
B1C2 − B2C1 |
|
||||
Если взять x0 |
= 0 , то прямая, задаваемая уравнениями (3.17), прохо- |
|||||||||||||
дит через точку M0 |
|
0, C1D2 |
−C2D1 , |
B2D1 |
− B1D2 |
|
|
|||||||
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
BC |
2 |
− B C BC |
2 |
− B C |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
Таким образом, для случая, когда |
|
B1 |
|
C1 |
|
≠ 0 |
|
, канонические уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой (3.17) имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y − C1D2 −C2D1 |
|
z − |
B2D1 − B1D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B1C2 − B2C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
B1C2 − B2C1 |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
BC |
|
− B C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
C A −C |
A |
|
AB − A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично записываются канонические уравнения прямой (3.17) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для случая, когда отличен от нуля определитель |
|
C1 |
A1 |
|
или |
|
A1 B1 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
A |
|
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Если |
прямая |
проходит |
через |
|
|
две |
различные |
|
точки |
|
M1(x1, y1, z1) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||
M2 (x2 , y2 , z2 ) , то ее канонические уравнения имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x1 |
|
= |
y − y1 |
|
|
= |
z − z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.20) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− x |
|
|
y |
− y |
|
|
|
z − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это следует из того, что прямая проходит через точку M1(x1, y1, z1) |
и |
имеет направляющий вектор a = M1M2 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}.
Рассмотрим канонические уравнения (3.18) прямой. Примем каждое из отношений за параметр t , т. е. x −l x0 = y −my0 = z −nz0 = t . Один из знамена-
телей этих дробей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать любые значения, поэтому параметр t может принимать любые вещественные значения. Учитывая, что каждое из отношений равно t, по-
лучим параметрические уравнения прямой:
x = x0 +lt , y = y0 + mt , z = z0 + nt . |
(3.21) |
Пусть плоскость π задана общим уравнением |
Ax + By +Cz + D = 0 , а |
прямая L − параметрическими уравнениями x = x0 +lt , |
y = y0 + mt , z = z0 + nt . |
Точка M (x , y , z ) пересечения прямой L и плоскости π должна одновременно принадлежать плоскости и прямой. Это возможно только в том слу-
чае, когда параметр |
t |
удовлетворяет уравнению Ax0 + By0 +Cz0 + D + |
|||||
+t(Al + Bm +Cn) = 0 , |
т. е. |
t = − Ax0 + By0 +Cz0 + D . Таким образом, точка пере- |
|||||
|
|
|
|
|
|
Al + Bm +Cn |
|
сечения прямой и плоскости имеет координаты |
|||||||
|
= |
Bmx0 +Cnx0 −l(By0 |
+Cz0 |
+ D) |
, |
||
x |
Al |
+ Bm +Cn |
|
||||
|
|
|
|
||||
|
= |
Aly0 +Cny0 |
− m(Ax0 |
+Cz0 |
+ D) |
, |
|
y |
Al |
+ Bm +Cn |
|
||||
|
|
|
|
||||
z |
= |
Alz0 + Bmz0 − n(Ax0 + By0 + D) . |
|||||
|
|
Al + Bm +Cn |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
П р и м е р 32. |
Составить параметрические уравнения прямой, про- |
||||||||
ходящей через точки A(3, −1, 2) и B (2,1,1) . |
|
|
||||||||
|
Решение. За направляющий вектор прямой возьмем вектор |
AB = |
||||||||
= {−1, 2, −1}. Прямая проходит через точку A, |
поэтому по формуле (3.21) |
|||||||||
искомые уравнения прямой имеют вид x = 3 −t , |
y = −1+ 2t , z = 2 −t . |
|
||||||||
|
П р и м е р 33. |
Вершины треугольника ABC имеют координаты |
||||||||
(3, 6, −7) , (−5, 2, 3) |
и (4, −7, − 2) соответственно. Составить параметрические |
|||||||||
уравнения медианы, проведенной из вершины C . |
|
|||||||||
|
Решение. |
Пусть |
M(x0 , y0 , z0 ) |
− середина стороны AB , |
тогда |
|||||
x0 = |
3 −5 |
= −1, y0 |
= |
6 + 2 |
= 4 |
, z0 = |
−7 +3 |
= −2 . В качестве направляющего век- |
||
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
тора медианы возьмем вектор СM = {−5,11, 0}. Тогда параметрические уравнения медианы имеют вид x = 4 −5t , y = −7 +11t , z = −2 .
П р и м е р 34. Составить канонические уравнения прямой, проходя-
щей через точку M0 (2, 3, −5) |
|
|
|
|
3x − y + 2z −7 = 0 |
. |
|
|||||||||||||
параллельно прямой |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3y − 2z +3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Прямая задана как линия пересечения плоскостей с нор- |
|||||||||||||||||
мальными векторами N1 = {3, −1, 2} и N2 = {1, 3, − 2}. В качестве направляюще- |
||||||||||||||||||||
го |
вектора |
|
a |
этой |
прямой |
возьмем вектор |
N1 × N2 , т. |
е. |
||||||||||||
a = |
|
i |
j |
|
k |
|
= {− 4, 8,10}. Согласно |
(3.18) искомое уравнение имеет |
вид |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
= |
y −3 |
= |
|
|
z +5 |
или |
x − 2 |
|
= |
y −3 |
= |
z +5 |
. |
|
|
|
||
|
− 4 |
|
8 |
|
|
|
10 |
2 |
|
|
− 4 |
−5 |
|
|
|
3.8.Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой
иплоскостью
Пусть две прямые L1 |
и L2 |
в пространстве заданы своими канониче- |
||||||||||||
скими уравнениями |
x − x1 |
= |
y − y1 |
|
= |
z − z1 |
и |
x − x2 |
= |
y − y2 |
= |
z − z2 |
. Тогда один |
|
l |
m |
n |
l |
m |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
из углов ϕ между этими прямыми равен углу между их направляющими
векторами a1 = {l1,m1,n1} и a2 |
= {l2 ,m2 ,n2}. Воспользовавшись формулой (2.22), |
||||||||||||||||
для определения угла ϕ получим формулу |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cosϕ = |
|
|
|
l1l2 + m1m2 + n1n2 |
|
|
|
. |
(3.22) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l |
2 |
2 |
+ n |
2 |
|
|
|
l |
2 |
2 |
+ n |
2 |
||||
|
|
|
+ m |
|
|
|
|
+ m |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||
Второй угол ψ между этими прямыми равен π −ϕ и cosψ = −cosϕ . |
|||||||||||||||||
Условие параллельности прямых L1 |
|
и L2 |
равносильно условию кол- |
||||||||||||||
линеарности векторов a1 = {l1,m1,n1} и a2 |
|
= {l2 ,m2 ,n2} и заключается в пропор- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циональности их координат, т. е. условие параллельности прямых имеет вид
l1 |
= |
m1 |
= |
n1 |
. |
(3.23) |
l |
m |
|
||||
|
|
n |
|
|||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то их направляющие векто-
ры ортогональны, т.е. условие перпендикулярности определяется равенством
|
|
|
|
|
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0. |
|
|
Рассмотрим |
плоскость |
π , заданную общим |
|||
Ax + By +Cz + D = 0 , и прямую |
L, заданную каноническими |
|||||
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
= t . |
|
l |
m |
n |
|
|||
|
|
|
|
N
a
ψ
ϕ
(3.24)
уравнением
уравнениями
L
π
Угол ϕ между прямой L и плоскостью π является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормальным вектором
плоскости, т. е. ϕ = |
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
N a |
|
|
||
|
−ψ |
и sinϕ = sin |
−ψ |
= cosψ = |
|
|
|
|
|
|
, или |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||
|
|
sinϕ = |
|
|
Al + Bm +Cn |
|
|
|
. |
|
|
(3.24) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
+ B |
2 |
+C |
2 |
|
l |
2 |
2 |
+ n |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
+ m |
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности прямой L и плоскости π эквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости, т. е. скалярное произведение этих векторов должно равняться нулю:
Al + Bm +Cn = 0. |
(3.25) |
Если же прямая перпендикулярна плоскости, то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости должны быть коллинеарны. В этом случае координаты векторов пропорциональны, т. е.
|
A |
= |
B |
= |
C . |
(3.26) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
l |
|
m |
|||||
|
|
|
n |
|
||||
П р и м е р 35. Найти тупой угол между прямыми x = 3t − 2 , |
y = 0 , |
z = −t +3 и x = 2t −1, y = 0 , z = t −3.
Решение. Направляющие векторы этих прямых имеют координаты {3, 0, −1} и {2, 0,1}. Поэтому один угол ϕ между прямыми определяется со-
71
отношением cosϕ = |
|
2 3 + 0 + (−1) 1 |
|
= |
5 |
|
= |
1 |
|
, т. е. |
ϕ = |
π π . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
32 + 02 + (−1)2 22 + 02 +12 |
|
|
5 2 |
|
|
2 |
|
|
|
4 2 |
Поэтому условию задачи удовлетворяет второй угол между прямыми, равный π − π4 = 34π .
3.9. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пусть M − точка пространства с координатами (x1, y1, z1) , L − прямая,
заданная каноническими уравнениями |
x − x0 |
= |
|
y − y0 |
= |
|
z − z0 |
. |
|
Найдем рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стояние d от точки M |
до прямой L. |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
M0 (x0 , y0 , z0 ) |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Приложим направляющий вектор a = {l,m,n} к точке M0 (x0 , y0 , z0 ) . Рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стояние d от точки M (a,b,c) |
до прямой |
|
|
L является высотой параллело- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грамма, построенного на векторах a |
и M0M . Найдем площадь параллело- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
грамма, используя векторное произведение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
y |
− y z − z |
|
2 |
|
|
|
z |
− z x − x |
|
2 |
+ |
|
|
x |
− x y |
− y |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M0M ×a |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
+ |
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
n |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
С |
другой |
стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Из |
равенства правых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
S = d |
|
|
= d |
l2 + m2 + n2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частей двух последних соотношений следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y z − z |
|
2 |
+ |
|
z − z x − x |
|
|
2 |
|
|
x − x y − y |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
n |
0 |
1 |
0 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
d = |
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nl |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
m |
|
|
|
|
|
. |
|
(3.27) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 + m2 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10. Эллипсоид
Определение. Эллипсоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой системе координат определяется уравнением
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1. |
(3.28) |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
Уравнение (3.28) называется каноническим уравнением эллипсоида. Из уравнения (3.28) следует, что координатные плоскости являются
плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат − центром симметрии. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида и представляют
72
собой длины отрезков от начала координат до пересечения эллипсоида с осями координат. Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную в параллелепипеде x ≤ a , y ≤ b , z ≤ c .
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными координатным осям.
Для определенности рассмотрим линии пересечения эллипсоида с плоскостями z = h , параллельными плоскости Oxy . Уравнение проекции
линии пересечения на плоскость Oxy получается из (3.28), если в нем положить z = h . Уравнение этой проекции имеет вид
x2 |
+ |
y2 |
=1− h2 . |
(3.29) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
c2 |
|
Если h c , то (3.29) является уравнением мнимого эллипса и точек пересечения эллипсоида с плоскостью z = h нет. Отсюда и следует, что
|
z |
|
≤ c . |
Если |
|
h |
|
= c , то линия (3.29) вырождается в точки, т. е. |
плоскости |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z = ±c |
|
касаются эллипсоида в точках |
(0, 0, −c) и (0, 0, c) . Если |
|
h |
|
c , то |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1− h2 |
0 и можно ввести обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = a 1− |
|
h2 |
|
, b |
= b 1 |
− |
h2 |
. |
(3.30) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Тогда уравнение (3.29) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
|
|
y2 |
=1, |
|
|
|
|
|
(3.31) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a )2 |
|
|
(b )2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. проекция на плоскость Oxy линии пересечения эллипсоида и плоско-
сти z = h представляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.30). Так как линия пересечения поверхности плоскостями, параллельными координатным, представляет собой проекцию, «поднятую» на высоту h , то и сама линия пересечения является эллипсом.
При уменьшении значения h полуоси a и b увеличиваются и достигают своего наибольшего значения при h = 0 , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полу-
осями a = a и b = b .
z
y O
x
73