Analiticheskaya_Geometria

Представление об эллипсоиде можно получить и другим образом. Рассмотрим на плоскости Oxy семейство эллипсов (3.31) с полуосями a и

b , определяемыми соотношениями (3.30) и зависящими от h . Каждый такой эллипс является линией уровня, т. е. линией, в каждой точке которой значение h одинаково. «Подняв» каждый такой эллипс на высоту h , получим пространственный вид эллипсоида.

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, эллипсоид представляет собой замкнутую эллиптическую поверхность. В случае a = b = c эллипсоид является сферой.

Линия пересечения эллипсоида с любой плоскостью является эллипсом, так как такая линия представляет собой ограниченную линию второго

порядка, а единственная ограниченная линия второго порядка − эллипс.

3.11. Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверх-

ность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	x2	+	y2	−	z2	=1.	(3.32)
	a2		b2		c2

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат − центром симметрии однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности, задаваемой уравнением (3.32). Рассмотрим линии пересечения однополостного гиперболоида плоскостями z = h . Уравнение проекции такой линии на плоскость Oxy получается из

уравнения (3.32), если положить в нем z = h . Имеем:

x2

+

y2

=1+ h2 .

(3.33)

a2

b2

h2

c2

Так как всегда 1+

0 , то можно ввести обозначения

c2

a

= a 1+

h2

, b

= b 1

+

h2

,

(3.34)

c2

c2

с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид

x2

+

y2

=1,

(3.35)

(a )2

(b )2

т. е. проекция линии пересечения представляет собой эллипс с полуосями a и b . Наименьший из рассматриваемых эллипсов с полуосями a = a и

74

b = b получается при сечении однополостного гиперболоида плоскостью h = 0 , т. е. координатной плоскостью Oxy . Этот эллипс называется горло-

вым.

С увеличением h размеры эллипса неограниченно увеличиваются. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси аппликат.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями y = B и x = A, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Про-

екции этих сечений на соответствующие координатные плоскости являются линиями, задаваемыми уравнениями:

y2	− z2	=1−	A2	и	x2	− z2	=1−	B2 .	(3.36)
b2	c2		a2		a2	c2		b2
					z
									y
	x					O

Более подробно остановимся на сечении однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной координатной плоскости Oyz.

Если A = ±a , то в проекции на плоскость Oyz получается пара вещественных пересекающихся прямых, определяемых уравнениями cy ±bz = 0

и проходящих через начало координат.

Если A ≠ ±a , то в проекции имеем гиперболу с фокусами на оси Oy ( A a ) или Oz ( A a ), причем полуоси этих гипербол увеличивается с

удалением от начала координат.

Аналогичная картина получается и при сечении плоскостями, параллельными плоскости Oxz. В сечении однополостного гиперболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получаем гиперболы

75

	y2	−	z2	=1 и	x2	−	z2	=1.	(3.37)
	b2		c2		a2		c2

Величины a , b , c называются полуосями однополостного гиперболоида.

3.12. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверх-

ность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

	x2	+	y2	−	z2	= −1.	(3.38)
	a2		b2		c2

Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат − его центром симметрии.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида, определяемого уравнением (3.38), плоскостями z = h . Уравнение проекции линии пересечения на плоскость Oxy получается из (3.38), если в нем положить z = h .

Уравнение этой проекции имеет вид

					x2	+	y2	= −1+ h2 .	(3.39)
Если					a2		b2	c2
		h		c , то (3.39) является уравнением мнимого эллипса и точек
пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостью									z = h нет, т. е. в
слое между плоскостями z = −c							и z = c не содержится точек рассматривае-

мой поверхности. Если h = c , то линия (3.39) вырождается в точки, т. е.

плоскости z = ±c касаются двуполостного гиперболоида в точках

(0, 0, c) . Если		h		c , то −1+ h2	0 и можно ввести обозначения
				c2

a = a −1+ hc22 , b = b−1+ hc22 .

Тогда уравнение (3.39) принимает вид

(0, 0, −c) и

(3.40)

	x2	+	y2	=1,	(3.41)
	(a )2		(b )2

т. е. проекция на плоскость Oxy линии пересечения двуполостного гипер-

болоида и плоскости z = h представляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.40), поэтому и сама линия пересечения является эллипсом. При удалении от начала координат вдоль оси Ox происходит увеличение полуосей эллипса.

В силу симметрии относительно плоскости Oxy рассматриваемая поверхность содержит две полости.

76

При сечении плоскостями y = B , параллельными Oxz, получаются

кривые, которые при проектировании на эту плоскость определяются уравнениями

	x2	−	z2	= −1−	B2 .	(3.42)
	a2		c2
					b2

Кривые, задаваемые уравнениями (3.42), являются гиперболами, фокусы которых расположены на оси Oz , причем с увеличением абсолютной величины B увеличивается вещественная полуось гиперболы.

Аналогичные результаты получаются при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Oyz.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.

z

y

x	О

Величины a , b , c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

3.13. Эллиптический параболоид

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверх-

ность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

	2z =	x2	+	y2	,	(3.43)
		p		q

где p 0 , q 0 .

77

Уравнение (3.43) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Для поверхности, определяемой уравнением (3.43), координатные плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии.

Из уравнения (3.43) следует, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве z ≥ 0. Рассмотрим сечение этой поверхности плоскостями, параллельными координатным осям.

Сечение эллиптического параболоида плоскостью z = h представляет собой кривую, которая в проекции на плоскость Oxy задается уравнением

		x2	+	y2	= 2h .				(3.44)
		p		q
	Если h = 0 , то соотношение (3.44) принимает вид					x2	+	y2	= 0, т. е.
						p		q

плоскость h = 0 является касательной к эллиптическому параболоиду. При h 0 проекция линии сечения на плоскость Oxy представляет собой мни-

мый эллипс

	x2	+	y2	= −1,	(3.45)
	(a )2		(b )2

где a = − 2 ph , b = − 2qh , т. е. нет точек пересечения эллиптического па-

раболоида и плоскостей z = h 0 .

Если же h 0 , то линии пересечения эллиптического параболоида

плоскостями			z = h	представляют собой эллипсы, проекции						которых на
плоскость Oxy определяются уравнением
						x2	+	y2	=1,	(3.46)
						(a )2		(b )2
где a =		,	b =		. Из (3.46) следует, что при увеличении h полуоси
	2 ph			2qh

эллипса неограниченно увеличиваются, т. е. эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу.

При сечении эллиптического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получаем кривые, которые в проекции на эти плоскости

задаются уравнениями x2 = 2 pz и y2 = 2qz соответственно, т. е. в сечениях

получаются параболы, симметричные относительно оси Oz . Если сечение эллиптического параболоида осуществляется плоскостью x = h , то уравнение линии сечения в проекции на плоскость Oyz имеет вид

	h2				2	,	(3.47)
2q z −			=	y
	2 p

т. е. линия сечения − парабола, у которой осью симметрии является ось Oz ,

вершина находится в точке		h	2		и параметр равен q . Аналогичная
	h, 0,
		2 p

картина получается при сечении эллиптического параболоида плоскостями

y = h .

78

	z
	y
x	О

Точка (0, 0, 0) называется вершиной эллиптического параболоида, числа p и q − его параметрами.

В случае p = q уравнения (3.44) определяют окружность с центром

на оси Oz , т. е. эллиптический параболоид можно рассматривать как фигуру, образованную вращением параболы вокруг ее оси. Такая поверхность называется параболоидом вращения.

3.14. Гиперболический параболоид

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверх-

ность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

	2z =	x2	−	y2	,	(3.48)
		p		q

где p 0 , q 0 .

Уравнение (3.48) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Для поверхности, определяемой уравнением (3.48), координатные плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии.

Установим геометрический вид поверхности (3.48). Рассмотрим линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z = h , параллельными плоскости Oxy . Уравнение проекции линии пересечения на

плоскость Oxy получается из (3.48), если в нем положить z = h . Уравнение этой проекции имеет вид

	x2	−	y2	= 2h .	(3.49)
	p		q

79

Если h = 0 , то проекцией является пара вещественных пересекаю-

щихся прямых

x

±

y

= 0 ,

проходящих через начало координат. Линии

p

q

пересечения гиперболического параболоида с плоскостями z = h

представ-

ляют собой при h 0 гиперболы

x2

−

y2

=1

(3.50)

(a )2

(b )2

с полуосями a =

, b =

, при h 0 получаем гиперболы

2 ph

2qh

x2

−

y2

= −1

(3.51)

(a )2

(b )2

с полуосями a =

, b

=

, которые являются сопряженными к

− 2 ph

− 2qh

гиперболам (3.50). При удалении от начала координат, т. е. с увеличением абсолютной величины h , полуоси увеличиваются. Асимптотами гипербол

(3.50) и (3.51) являются прямые	x			±	y			= 0 , которые получаются сечени-
		p				q

ем гиперболического параболоида плоскостью z = 0 .

Как и в случае эллиптического параболоида гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Oxz, когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением гиперболического параболоида плоскостью Oyz.

z

x

O

y

Гиперболический параболоид может быть изображен в виде седлообразной поверхности. Точка (0, 0, 0) называется вершиной гиперболиче-

ского параболоида, числа p и q − его параметрами.

3.15. Конус второго порядка

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность,

которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

80

	x2	+	y2	−	z2	= 0 .	(3.52)
	a2		b2		c2

Уравнение (3.52) называется каноническим уравнением конуса второго порядка.

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечении этой по-

верхности плоскостью Oyz получаем линию y2 − z2 = 0 , распадающуюся на

b2 c2

пару вещественных пересекающихся прямых, проходящих через начало координат. Аналогично в сечении конуса второго порядка координатной плоскостью Oxz получается пара вещественных пересекающихся прямых

ax ± cz = 0.

Сечением конуса второго порядка плоскостями z = h получаются кривые, проекции которых на плоскость Oxy определяются уравнениями

	x2	+	y2	= h2 .	(3.53)
	a2		b2
				c2

Если h = 0 , то проекция линии пересечения вырождается в точку (0, 0, 0) , которая является вершиной конуса. Если h ≠ 0 , то уравнение (3.53)

принимает вид

x2

+

y2

=1,

(3.54)

(a )2

(b )2

т. е.

проекцией линии сечения является эллипс с полуосями

a =

a

h

и

b

c

b =

h

. При увеличении абсолютной величины h полуоси эллипсов уве-

c

личиваются.

z

О	y

x

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса второго порядка, а начало координат − центром симметрии.

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало координат. Для этого достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную отличную от начала координат точку M0 (x0 , y0 , z0 ) конуса и начало координат, полностью располагается на

81

конусе, т. е. координаты любой точки M(x, y, z) прямой L удовлетворяют

уравнению (3.52) конуса.

Точка M0 (x0 , y0 , z0 ) лежит на поверхности конуса, поэтому ее коорди-

	наты удовлетворяют уравнению (3.52), т. е.	x02	+	y02	−	z02	= 0 . Параметриче-
		a2		b2		c2

ские уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку M0 , имеют вид x = x0t , y = y0t , z = z0t , где t − некоторое число. Тогда при подстановке в правую часть соотношения (3.52) координат произвольной точ-

	x	2		y	2		z	2				2			2			2
ки прямой L получим:									2		x0			y0			z0			= 0 , т. е. любая точка
		2	+		2	−		2	= t				+			−
	a			b			c					2		b	2		c	2
										a

прямой L принадлежит конусу второго порядка, определяемому уравнением (3.52). Таким образом, конус образован прямыми, проходящими через начало координат.

3.16. Цилиндрическая поверхность

Пусть в плоскости Oxy расположена произвольная кривая L. Через

каждую точку этой кривой проведем прямую, параллельную оси Oz . Множество этих прямых образуют поверхность S , которая называется цилиндрической. Кривая L называется направляющей этой поверхности, а прямые, параллельные оси Oz , − ее образующими.

z

O	y

L x

Аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям Ox и Oy .

Покажем, что цилиндрическая поверхность S с образующими, па-

раллельными оси Oz , определяется уравнением вида
F (x, y) = 0.	(3.55)

Пусть направляющая L в плоскости Oxy задается уравнением (3.55). Возьмем произвольную точку M(x, y, z) на поверхности S . Эта точка ра с- положена на некоторой образующей, которая пересекает координатную

82

плоскость Oxy в точке M0 (x, y, 0) , принадлежащей прямой L. Поэтому координаты точки M0 удовлетворяют соотношению (3.55). Функция, задаваемая (3.55), не зависит от z , поэтому координаты точки M(x, y, z) также удовлетворяют (3.55). Если же M(x, y, z) S , то M0 (x, y, 0) L и координаты x и y не удовлетворяют равенству (3.55). Это означает, что уравнение

(3.55) является уравнением поверхности S .

Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz , не содержит координаты z и совпадает с уравнением

	направляющей.
	Например,				уравнение		x2	+	y2	=1 определяет цилиндрическую по-
							a2
									b2
	верхность,	которая				называется эллиптическим цилиндром. Уравнения
	y2 = 2 px и	x2	−	y2	=1	определяют цилиндрические поверхности, называе-
		a2		b2

мые параболическим и гиперболическими цилиндрами соответственно. Эти три поверхности являются цилиндрическими поверхностями

второго порядка. В общем случае цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка.

3.17. Уравнение поверхности вращения

Пусть в плоскости Oyz расположена некоторая кривая L. При вра-

щении этой кривой вокруг оси Oz образуется некоторая поверхность P , которая называется поверхностью вращения. Исходная кривая L называ-

ется начальным меридианом.

z

L

A N

M(x, y, z)

y

O

x
Пусть уравнение начального меридиана
F (y, z) = 0 .	(3.56)

83