Zadachi
.pdf№15(9). Дано: a, Р1(t=0)=1, P2(t=0)=0 Найти: Р1(t), P2(t)/
dP2 |
aP |
|
aP |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dP1 |
aP aP |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
1 |
|
dP1 |
|
P |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
a |
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 d |
2 P |
|
dP |
aP |
dP |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a dt 2 |
|
|
dt |
|
1 |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
d 2 P |
|
|
dP |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
2a |
1 |
0 |
|
|||||||
dt 2 |
|
|
dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k 2 2ak 0; |
|
|
|
||||||||||||
(k 2a)k 0 |
|
|
|
||||||||||||
k1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k2 2a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P (t) C ek1t C |
ek2t |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
P1 (t) C1 C2 exp( 2at) P2 (t) 2C2 exp( 2at)
aP1
C1 C2 exp( 2at)
Константы С1 и С2 находим из начальных условий: Р1(t=0)=1, P2(t=0)=0
P1 (0) C1 C2 1
P2 (0) 2C2 C1 C2 0
2C2 1
C2 12
C1 12
Ответ
P1 (t) 12 12 exp( 2at) P2 (t) 12 12 exp( 2at)
№11(2) Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U вых aUвх |
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
a,b const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
(U |
вх |
U |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
w1 (U вх ) |
|
1 |
|
|
2 21 |
|||||
|
|
e |
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 U вх ?
2
2 D[U вых ] ?
_________
Стат. Радиофизика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
w1 (U вх )dUвх w2 (U вых )dUвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
замена:: U |
|
|
Uвых |
|
|
|
|
b |
|
, dU |
|
|
|
|
1 |
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вх |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
вх |
|
|
a |
|
|
вых |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
вых |
|
|
|
b |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
w (U |
вых |
)dU |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
вых |
|
1 |
a |
|
a |
|
|
|
|
вых |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
вых |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Uвых b aU1) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 21 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2a2 21 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
))2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(U |
вых |
(b aU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
2a2 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
a |
1 |
|
; U 2 |
aU1 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____
№13(5) Дано:
t k (t ) 2e
W ( ) ?
|
|
i t dt |
|
|
|
|||
W ( ) k (t )e |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
t (i |
1 |
) |
|
|
|
||||||
2 |
2e e i t 2 2 |
e |
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t (i |
1 |
) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
dt |
|
|
|
e |
|
|
|
|||||
(i |
1 |
) |
|
|
|
i 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_______
№14(6) Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W , |
|
|||||
W ( ) |
0 |
в |
|
|
|
в |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
k (t ) ?
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k (t ) |
|
|
W ( )ei t d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
0 |
в |
ei t d |
W |
0 |
|
i |
в |
t |
|
i |
в |
t |
|
W |
0 |
i |
|
i |
в |
t |
|
2i |
в |
t |
||||
|
|
|
|
|
(e |
|
|
|
e |
|
|
) |
|
|
e |
|
|
|
(1 e |
) |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
в |
|
|
2 it |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
замена: |
|
e2i вt 1 2i |
в |
t |
|
|
|
|
|
|
k(t) |
W0 в |
e i вt |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№16(10) Дано: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
e |
2 2 |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
Доказать:
2n 1 0
2n 2n ( )
_______
_______
№12(3) Дано:
Случайный процесс:
u(t) U m cos( 0t ),
U m , 0 const
- случайная величина
распределена равномерно на [ , ]
Найти: u , u2
Доказать:
u(t) - стационарен
Используем соотношение : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
(U ) |
|
(iU )n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем x (U ) для : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x2 |
|
iUx ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iUx |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(U ) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
w( x )e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
x |
i U ) |
|
2U 2 |
|
|
|
|
2U 2 |
|
( |
x |
i U ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
2 |
|
i U ) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
d ( |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 e |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разложим(2) в ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
2U 2 |
)n |
|
|
|
2n |
|
2n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
(U ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Приведем (3) к виду (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(iU )2n |
|
|
2n ( 2n )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
(U ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( 2n )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2n |
|
2n ( 2n )! |
; 2n 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u U m cos( 0t ) |
|
|
cos( 0t )d 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
m |
2 |
|
|
|
|
|
U |
2 |
|
cos2 ( |
0 |
t ) 1 |
|
U |
m |
2 |
|
2 |
|
U |
2 |
|||
2 |
|
|
|
|
cos2 ( |
|
|
t )d |
|
m |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
m |
||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
u |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства стационарности покажем, что корелляционная
функциязависит ттольк от разностивремен:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(t |
,t |
|
) |
U m |
|
cos( |
t |
) cos( |
|
t |
|
)d |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U m |
2 |
|
cos |
|
|
|
t |
|
) 2 |
d |
U m |
2 |
cos |
|
|
|
t |
) |
|||||||
|
|
|
|
(t |
|
|
|
|
(t |
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U m |
|
cos 0 (t 2 |
t1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Два одинаковых LC контура связаны общей емкостью. Показать, что нормальные моды колебаний описываются формулами
|
|
|
|
|
I |
1 |
I |
2 |
при 2 1/ LC |
и I |
1 |
I |
2 |
при 2 |
3 / LC . I |
1 |
- ток в первом контуре, I |
2 |
- ток во |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
втором контуре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
i3 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i1=i3+i2, i3=i1-i2 – закон Киргофа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Падение напряжения на катушке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
L |
di1 |
|
1 |
|
|
i dt |
1 |
|
i i |
|
|
dt 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
C |
1 |
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
di2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
i i |
|
dt 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
L |
|
|
|
i |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
C |
2 |
|
|
C |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируем по t
Li1 C1 i1 C1 i1 C1 i2
1 1 1
Li2 C i2 C i1 C i2
Li |
|
2 |
i |
1 |
i |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
C |
1 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Li |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
i |
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
C 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
LC |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
LC |
1 |
|
|
|
|
1 случай. I1=I2
0
0
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2i |
|
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
|
|
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
LC |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
LC |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- уравнение гармонического осциллятора |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
1 |
i |
0 |
|
i |
|
1 |
|
i 0 |
|
LC |
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
LC |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
LC |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 случай. I1=-I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2i |
|
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
LC |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
LC |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- уравнение гармонического осциллятора |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
i |
|
1 |
|
i 0 |
|
i |
|
|
1 |
|
i |
0 |
|
|
LC |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
LC |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
LC |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.№1 За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние l между точками 1 и 2, если температура воздуха между ними меняется линейно от Т1 до Т2? Скорость звука в воздухе T , α – постоянная.
Решение:
Введём координаты:
1 |
|
|
2 |
|
0 |
|
x |
||
|
|
|||
|
|
|
l |
|
v T |
||||
(1) |
||||
T(0) T1 |
(2) |
|||
T(l) T2 |
(3) |
T T(x) kx b (4)
Cначала подставим (2), а потом и (3) в выражение (4)
b T |
|
|
T2 T1 |
|
|
1 |
и |
k |
|
|
kl T1 |
l |
||
T2 |
|
|
Конкретный вид Т(х) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (x) |
T2 T1 |
x T1 |
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
Пусть |
|
|
T2 |
T1 |
|
|
|
(6) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим (5) в (1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
v x T1 |
|
(7) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x T1 |
(8) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решаем (8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x T1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
d( |
x T1 |
) |
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x T1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x T1 t |
C |
(9) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь С обозначает некоторую произвольную константу.
Начальное условие для t=t(x)
t(0) 0 |
|
(10) |
|||
Подставим (10) в (9) |
|
||||
2 |
|
|
C |
|
|
|
T1 |
(11) |
|||
|
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
Подставим (11) в (9), получим конкретный вид t t(x)
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(x) |
|
x T |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Время прохождения расстояния l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2l |
|
|
|
|
) |
2l |
|
|
|
1 |
|
|||||
t(l) |
|
|
( |
T |
T |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(T2 T1 ) |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
T |
T |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2.№2 Уравнение плоской звуковой волны имеет вид 60 cos(1800t 5.3x) , где ξ – в мкм, t – в секундах, х – метрах.
Найти: а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны; б) амплитуду колебаний скорости частиц и ее
отношение к скорости распространения волны; в) амлитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебаний относительной скорости частицы среды.
Решение:
а) В общем виде уравнение плоской звуковой волны имеет вид mCos( t kr) ,откуда находим амплитуду смещения частиц m 60мкм
Фаза волны t kr , где k |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||
Откуда |
|
находим, |
что |
отношение |
амплитуды |
смещения |
частиц |
среды к длине волны равно |
m |
|
m k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения плоской звуковой волны |
k=5.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Подставляя численные данные в (1), окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
m |
|
|
60 * 5.3 |
50.64мкм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 * 3.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Скорость частиц |
t 60 *1800S in(1800t 5.3x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
где -60*1800=108000 мкм/c=108 м/с – амплитуда скорости Um |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
скорость волны находим из условия |
φ=const |
или 1800t-5.3x=const |
, откуда |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x=(1800t-const)/5.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
xt |
|
- скорость волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
1800 |
339.6 м/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Искомое отношение |
Um |
60 *1800 |
318.02 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt |
339.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
в) x ; |
|
|
x A; |
|
|
|
x |
|
; |
|
|
4 A |
=2*10 -4. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x
A A
№3 Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины l из немагнитного вещества, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения 1 на передней поверхности до 2 на задней. Найти время распространения данной фазы волны через этот слой.
Решение:
1 - диэлектрическая проницаемость вверху пластинки.
2 - диэлектрическая проницаемость внизу пластинки
0
l
x
Общий вид (x)
(x) Ce x (1)
(0) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(l) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из соотношения (2) определим γ и С |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
C |
|
|
2 |
e l |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
l |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фазовая скорость электромагнитной волны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v(x) c / |
|
|
|
|
(x) В нашем случае среда немагнитная, поэтому μ=1 |
||||||||||||||||
v(x) |
|
c |
|
|
|
e x / 2 |
где с – скорость света в вакууме |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
|
|
|
c |
|
|
e x / 2 |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e x / 2dx |
|
c |
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
2 |
e x / 2 |
|
|
|
c |
|
|
t C |
(5) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения константы С1 используем начальное условие t(0) 0 , подставив его в (5), получим
C |
2 |
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t(x) |
|
|
|
1 |
2 |
1 e x / 2 , а искомое время |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
c ln 1 |
/ 2 |
|
|
1 |
|
|
|
c ln( 1 / |
2 ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.№4 Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью w = 21 рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке
Ф0 = 4,0 мВт.
Решение:
Согласно закону Малюса, Ф Ф0Cos2 t _ или _ I I0Cos2
Тогда энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, т.е. за один период T 2 / , определим следующим выражением
|
T |
|
Ф0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
W Ф0Cos2 tdt |
Cos2 d |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
Здесь введено обозначение φ=ωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
Cos2 |
|
|
S in2 |
|
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
Cos2 d |
|
|
|
|
d ( |
|
|
|
) |
02 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
W Ф0
4.№5 При падении естественного света на некоторый поляризатор проходит h1 = 30 % светового потока, а через два таких
поляризатора - h2 =13,5 %. Найти угол j между плоскостями пропускания этих поляризаторов.
Если при прохождении через поляризатор свет становится частично поляризованным и частично поглощается, то можно связать входящий и выходящий поток уравнением:
I1 = a I0 || , где а – коэффициент поглощения пластинки поляризатора , а I0 || составляющая входящего светового потока,
параллельная оси поляризатора; т.к. свет естественный то
I0 || + I0 |
┴ = I0 |
и I0 || = I0 ┴ |
; отсюда I0 || = I0 /2; |
|||
I1 |
= a I0 |
/2. |
|
|
|
|
h1= I1/ I0 = a/2 ; |
=> |
a = h1 / 2; |
|
|||
Для второй пластинки, используя закон Малюса: |
||||||
I2 |
= a I1 |
cos2 j |
= a ∙ a ∙ (I0 / 2) |
∙ cos2 j => |
I2 / I0 = (a2 / 2)∙ cos2 j = h2 = 2 h12 ∙ cos2 j |
a arccos |
|
h2 |
|
|
30 |
2h |
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
5.№6 На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора составляет угол j = 45° с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.
Дано: |
В общем случае коэффициент отражения равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
φ=45° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J отр |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J пад |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
? |
|
|
|
|
|
|
J пад n Eпад 2 |
Eпад|| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
J отр n Eотр 2 Eотр|| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для естественного света |
E |
2 |
E |
пад |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пад || |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В данном случае свет плоскополяризован, разложим его на составляющие Е |
пад|| |
E 0 |
cos , |
Е |
пад |
E 0 |
sin , где |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пад |
|
|
пад |
|
φ – угол между плоскостью поляризации падающего плоскополяризованного света и плоскостью падения, Eпад0 - модуль вектора
электрической напряжённости падающего света. Если свет падает под углов Брюстера, то отражённый свет плоскополяризован в плоскости перпендикулярной плоскости падения, т.е. Eотр|| 0 .
Формулы Френеля:
E |
|
|
tg (i1 |
i2 ) |
E |
|
E |
|
|
|
sin(i1 |
i2 ) |
E |
|
|
|
(2) |
отр |
|
|
пад |
|
|||||||||||||
отр || |
|
tg (i1 |
i2 ) |
пад || |
|
|
|
sin(i1 |
i2 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом получаем:
|
n Eотр |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(i1 |
i2 ) |
0 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
sin(i |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
) |
Eпад |
sin |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
n E |
2 |
E |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
пад || |
|
|
пад |
|
|
|
|
Eпад cos |
|
Eпад sin |
Из (3) получаем:
|
i2 ) |
|
sin(i1 |
||
|
|
i2 ) |
sin(i1 |
2
sin (3)
|
i2 ) |
2 |
|
cos i2 |
sin i2 |
cos i1 |
|
2 |
||
|
sin(i1 |
|
sin 2 |
sin i1 |
|
sin 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i2 ) |
|
|
cos i2 |
sin i2 |
cos i1 |
|
|
||
sin(i1 |
|
sin i1 |
|
|
Т.к. свет падает под углом Брюстера, то n tg (i1 ) и |
i1 |
i2 |
|
. Если учесть, что |
n |
sin(i1 ) |
. Далее, с учётом: |
||||||||
2 |
sin(i2 ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin i |
n cos i , |
cos i |
|
|
i |
|
sin i , |
|
|
|
|
|
|
||
|
cos |
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos i |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
n cos i1 |
cos i2 |
cos i1 |
cos i1 |
|
|
cos i1 |
|
n2 |
1 |
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n cos i |
cos i |
2 |
cos i |
cos i |
|
|
sin |
cos i2 |
|
|
|
sin |
n2 |
1 |
|
sin |
||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, коэффициент отражения плоскополяризованного света при падении под углом Брюстера равен:
n2 |
1 |
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|||
|
1 |
|
||||
n |
|
|
|
nводы 1,33
0.038
[(n2 1) /(n2 1)]sin 2 0.038
6.№7 Электромагнитная волна с частотой w распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна n0. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:
а) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты;
б) фазовой скорости от длины волны l в плазме.
Решение:
В изотропной нелинейной среде n ε=1+χ, где χ – диэлектрическая восприимчивость, которая является
коэффициентом в соотношении P=χε0Е , где Р – поляризованность. Т.е. дипольный момент единицы объёма.
Т.о., |
1 |
|
Px |
(t) |
(1) |
|
|
0 Ex (t) |
|||||
|
|
|
Где Рx –проекция вектора Р на ось x, вдоль которой совершаются колебания вектора Е, известно, что Px n0px
(2)
где n0 – концентрация диполей.
Рx – проекция дипольного момента отдельного диполя.
Рассмотрим простейшую модель невзаимодействующих друг с другом атомов. При наличии внешнего поля Е электронное облако смещается относительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент P=ql l – вектор, проведённый из центра облака к ядру.
px ql x |
q( x) qx |
(3) |
||||
Подставим (2) и (3) в (1) |
|
|
|
|||
1 |
n |
0 ( qx) |
|
|
|
(1.а) |
|
0 Ex |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Задача сводится к нахождению x(t). Для этого запишем уравнение движения |
||||||
mx kx rx qE m Cos t |
(4) |
|||||
x 2 x 2 x f |
|
Cos t |
||||
m |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
Где ω0=k/m |
2β=r/m |
fm=qEm/m |
Для теории дисперсии имеет смысл не общее, а частное решение уравнения (4)
X=a Cos(ωt-φ)
Подстановка этого решения в (4) даёт возможность с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды и фазы,
а именно:
a |
|
|
fm |
|
|
|
|
|
|
( 2 |
2 )2 4 2 2 |
|
||
|
|
|
||
0 |
|
|
2 tg
02 2
Для анализа решения ограничимся простейшим случаем, когда 2βω<<(ω0 2-ω2), т.е. если ω<ω0, то
x(t) |
|
fm |
|
|
|
Cos t |
(5) |
||
2 |
2 |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (5) в (1.а) окончательно получаем |
|
||||||||
1 |
|
n0 ( q)fm Cos t |
|
|
|||||
|
|
E |
x |
( 2 2 ) |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
Учтём также, что qEmCosωt= -qEx |
|
||||||||
1 |
|
|
b |
|
|
где b n0q2 / 0m N0e2 |
/ 0me |
||
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Где N0 - концентрация электронов, здесь учтено, что q=ze , m=zme , N0=zn0
В случае плазмы(электроны свободные ) собственная частота колебаний электронов ω0=0, поэтому диэлектрическая
проницаемость 1 |
b |
, где b N |
e2 / |
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь me – масса электрона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||
Фазовая скорость равна v c / |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 b / 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 / T 2 c / |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
b 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2c2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|