Индивидуальные задания
«Технология транспортных процессов» бакалавры
5. Электростатика и электромагнетизм Характеристики электростатического и магнитного полей
- напряженность и потенциал электростатического поля;
- принцип суперпозиции электростатических полей;
- связь напряженности и потенциала;
- напряженность и потенциал поля точечного заряда;
- теорема Гаусса для поля в вакууме;
- напряженность поля плоскости;
- напряженность поля конденсатора;
- напряженность поля нити;
- энергия и объемная плотность энергии электростатического поля;
- индукция магнитного поля;
– закон Био-Савара-Лапласа;
– закон полного тока для стационарных полей в вакууме;
– принцип суперпозиции магнитных полей;
– индукция магнитного поля длинного прямого тока;
– индукция магнитного поля прямого отрезка проводника;
– индукция магнитного поля в центре кругового тока;
– индукция магнитного поля длинного соленоида;
– энергия и объемная плотность энергии магнитного поля.
Проводники в электрическом поле
, - электроемкость проводника, конденсатора;
- электроемкость шара;
- емкость плоского конденсатора;
- общая емкость при параллельном соединении конденсаторов;
- общая емкость при последовательном соединении конденсаторов;
- энергия заряженного проводника;
- энергия заряженного конденсатора.
Электрический ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца
- сила и плотность тока;
- закон Ома и Джоуля-Ленца в локальной форме;
- сопротивление проводника;
- общее сопротивление при последовательном соединении;
- общее сопротивление при параллельном соединении;
- закон Ома для однородного участка цепи;
- закон Ома для замкнутой цепи;
- полезная мощность тока.
Магнитный поток. Явление электромагнитной индукции
; – определение магнитного потока;
– работа поля по перемещению контура с током в магнитном поле;
– индуктивность соленоида;
εi – закон Фарадея для электромагнитной индукции;
– разность потенциалов на концах движущегося проводника.
Примеры решения задач
Задача 1
Два одинаковых положительных заряда 10-7 Кл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность в точке О, находящейся на середине отрезка, соединяющего заряды, и в точке А, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.
Дано:
2r= 8 см = 0,08 м
r1 = 0,05 м
Найти
Е0 и Е.
Решение: Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по принципу суперпозиции. Результирующая напряженность определяется векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля:
, (1)
где и - величины напряженностей полей, определяемых по формуле
(2)
Чтобы найти числовые значения напряженности в точке О, надо сначала построить векторы напряженностей и . Кроме того, заряды равны и расположены на равном расстоянии от точки О. С учетом направления векторов из формул (1) и (2) следует:
.
В точке А результирующий вектор напряженности является диагональю параллелограмма (см. рис.), следовательно, или , т.к. . Численное значение напряженности поля в точке А
Задача 2
Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью по 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. На сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином с диэлектрической проницаемостью 2.
Решение
Общую ёмкость при последовательном соединении конденсаторов С1 и С2 можно: найти из формулы: . Поэтому общая ёмкость батареи, состоящей из двух одинаковых конденсаторов ёмкостью С0 (до заполнения одного из конденсаторов парафином) равна: . После заполнения парафином одного из конденсаторов его ёмкость , а до заполнения была равна , то есть ёмкость возросла в ε раз: . Найдём новую общую ёмкость батареи: . Таким образом, изменение ёмкости батареи равно: . Подставим численные значения: .
Ответ: .
Задача 3.
Электрическое поле создано в вакууме заряженной (Q=0.2 мкКл) металлической сферой радиусом 5 см. Какова энергия поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 3 раза больше радиуса сферы?
Решение:
Энергию поля, заключенную в сферическом слое, найдем через объемную плотность энергии
, (1)
а энергия электростатического поля
. (2)
Напряженность электростатического поля, созданного уединенной металлической заряженной сферой, вне этой сферы (при r>R0):
, (3)
где ε=1.
Из (1) – (3) следует, что энергия, заключенная в любом малом объеме dV, равна:
. (4)
Для сферически симметричного поля в качестве dV следует брать тонкий шаровой слой, концентрический данной сфере, с внутренним радиусом r, внешним радиусом (r+dr), тогда в пределах этого слоя значение напряженности можно считать одинаковым и равным (3). Объем слоя:
. (5)
Энергию находим, проинтегрировав (4) по объему, то есть в пределах R0<r<R:
,
.
Ответ: W=2.4 мДж.
Задача 4.
Сила тока в проводнике сопротивлением 12 Ом равномерно убывает от максимального значения до нуля за 10 с. Определить количество теплоты, выделившееся в этом проводнике за указанный промежуток времени, если по проводнику прошел заряд 50 Кл?
Решение:
Закон изменения со временем силы тока в проводнике:
I=I0–kt, (1)
где – быстрота убывания тока:
(2)
Заряд, прошедший через сечение, можно рассчитать, интегрируя силу тока по времени в рассматриваемом промежутке: так как , то
,
с учетом (2):
. (3)
Количество выделившейся теплоты находим по закону Джоуля-Ленца, подставив (1):
. (4)
Здесь учтено, что из (2) I0=kt0.
Из (3) , тогда .
Вычисляем: .
Ответ: Q=4000 Дж
Задача 5.
Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками с токами в точке A (см. рис.), отстоящей от оси одного проводника на расстояние r1 = 5 см, от другого r2 = 12 см.
Рис. 3.
Решение: Для нахождения магнитной индукции в точке A воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитной индукции и полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:
.
Величина магнитной индукции может быть найдена по теореме косинусов:
. (1)
где – угол между векторами и . Значения магнитной индукции и выражаются соответственно через силу тока I и расстояние и от проводников до точки A:
.
Подставляя выражения и в формулу (2), получим:
. (2)
Для вычисления , учтем, что (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), и по теореме косинусов запишем:
,
где d – расстояние между проводами. Отсюда:
.
После подстановки числовых значений получим:
Подставляя в формулу (2) значения входящих величин, определяем индукцию магнитного поля:
Задача 6.
Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов равную 400 В, попал в однородное магнитное поле напряжённостью . Определить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.
Решение. На движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона можно записать
,
где - нормальное ускорение или
(1)
где - заряд и скорость электрона; R – радиус кривизны траектории; – угол между направлением вектора скорости и вектором (в данном случае и = 90, ).
Из формулы (1) найдём
(2)
Входящий в равенство (2) импульс может быть выражен через кинетическую энергию WK электрона:
(3)
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством:
Подставив это выражение WK в формулу (3), получим
Магнитная индукция B связана с напряжённостью H магнитного поля в вакууме:
,
где - магнитная постоянная.
Выражения B и подставим в формулу (2)
. (4)
Значения констант, входящих в формулу (4):
, , .
Произведём вычисления радиуса кривизны траектории электрона:
.
Для определения частоты обращения n воспользуемся формулой, связывающей частоту обращения со скоростью и радиусом:
(5)
Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим:
.
Проведём вычисления:
.
Задача 7.
Соленоид с сердечником из магнитного материала содержит N = 1200 витков провода, прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.
Решение: Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I
Потокосцепление можно выразить через поток и число витков N при плотном их прилегании друг к другу:
Из этих выражений индуктивность соленоида:
. (1)
Произведём вычисления:
.
Энергия W магнитного поля соленоида с индуктивностью L при силе тока I, протекающего по его обмотке, определяется соотношением:
.
Подставим в эту формулу соотношение (1) и произведем вычисления
.
.
-
В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость электрона, если радиус орбиты 53 пм, а также частоту вращения электрона.
-
Два точечных заряда в воздухе на расстоянии 20 см друг от друга взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно поместить эти заряды в масле с диэлектрической проницаемостью 5, чтобы получить ту же силу взаимодействия?
-
В вершинах квадрата со стороной 10 см находятся одинаковые заряды по 0.3 нКл каждый. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны трех других.
-
Два шарика, массой по 0.1 г каждый, подвешены в одной точке на нитях длиной 20 см каждая. Получив одинаковый заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол 600. Найти заряд каждого шарика.
-
Расстояние между двумя точечными зарядами 0.1 мкКл и –0.1 мкКл равно 10 см. Определить напряженность и потенциал точки, удалённый на 6 см от первого и на 8 см от второго заряда.
-
Заряды 1 мкКл и -1 мкКл находятся на расстоянии 10 см. Определить напряженность и потенциал поля в точке, удалённой на расстояние
10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпендикулярно направлению от первого заряда ко второму.
-
Плоская квадратная пластина со стороной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с плотностью заряда 1 мкКл/м2. Плоскость пластины составляет угол 300 с линиями поля. Найти поток вектора напряженности через эту пластину.
-
В центре сферы радиуса 20 см находится точечный заряд 10 нКл. Определить поток вектора напряжённости через часть сферической поверхности площадью 20 см2.
-
Плоская прямоугольная площадка со сторонами а и b, равными 3 и 2 см соответственно, находится на расстоянии 10 м от точечного заряда
1 мкКл. Площадка ориентирована так, что линии напряжённости составляют угол 300 с её поверхностью. Найти поток вектора напряжённости через площадку.
-
К бесконечной равномерно заряженной вертикальной плоскости подвешен на нити одноимённо заряженный шарик массой 50 мг и зарядом 0.6 нКл. Сила натяжения нити, на которой висит шарик, 0.7 мН. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости.
-
Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью 4 нКл/м2. Определить значение и направление градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью.
-
Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал поля в точке, удалённой от заряда на 12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке.
-
Металлический шарик диаметром 2 см заряжен отрицательно до потенциала 150 В. Сколько электронов находится на поверхности шарика?
-
Конденсаторы с электроемкостями C1=0.2 мкФ, C2=0.1мкФ, C3=0.3 мкФ, C4=0.4 мкФ соединены так, как показано на рис. Определить электроемкость батареи конденсаторов.
-
Пылинка массой 1 нг, несущая на себе пять электронов, прошла ускоряющую разность потенциалов 3 МВ в вакууме. Какова кинетическая энергия пылинки? Какую скорость приобрела пылинка?
-
Шару радиусом 10 см сообщен заряд 80 нКл, равномерно распределенный по поверхности шара. Определить энергию поля, созданного шаром в вакууме.
-
Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов в медном проводнике при силе тока 10 А и сечении проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждый атом меди приходится два электрона проводимости. Плотность меди 8600 кг/м3.
-
Сила тока в металлическом проводнике равна 0.8 А, сечение проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом см3 металла содержится 2.51022 свободных электронов, определить среднюю скорость их упорядоченного движения.
-
При внешнем сопротивлении 3 Ом ток в цепи 0.3 А, а при внешнем сопротивлении 5 Ом ток равен 0.2 А. Определить ток короткого замыкания.
-
Элемент с ЭДС 1.6 В имеет внутреннее сопротивление 0.5 Ом. Найти КПД элемента при токе в цепи 2.4 А.
-
В медном проводнике длиной 2 м и площадью поперечного сечения 0.4 мм2 течет ток. При этом ежесекундно выделяется количество теплоты 0.35 Дж. Сколько электронов проходит за 1 с через поперечное сечение проводника? Удельное сопротивление меди 1.710-8 Омм.
-
Найти количество теплоты, выделяющейся ежесекундно в 1 см3 медного провода при плотности тока 30 А/см2. Удельное сопротивление меди 1.710-8 Омм.
-
Расстояние между двумя длинными параллельными проводами 0.05 м. По проводам в одном направлении текут одинаковые токи в 30 А каждый. Найти индукцию и напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 0.04 м от одного и 0.03 м от другого провода.
-
Два длинных прямолинейных проводника расположены параллельно на расстоянии 50 см друг от друга. В первом проводнике течет ток 20 А, во втором – 24 А. Определить напряженность магнитного поля в точке, расположенной на расстоянии 40 см от первого проводника и на расстоянии 30 см от второго, если токи в них направлены противоположно.
-
По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи силой 20 и 30 А в одном направлении. Расстояние между ними
10 см. Вычислить магнитную индукцию в точке, удаленной от обоих проводов на одинаковое расстояние 10 см.
-
Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите. Найти отношение магнитного момента эквивалентного кругового тока к моменту импульса орбитального движения электрона. Указать направления векторов магнитного момента и момента импульса.
-
По двум параллельным проводам длиной 1 м каждый текут токи одинаковой силы. Расстояние между проводами равно 0.01 м. Токи взаимодействуют с силой 110-3 Н. Найти силу тока в проводах.
-
Вычислить радиус дуги окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией 1.510-2 Тл, если скорость протона равна 2106 м/с.
-
Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией 0.015 Тл по окружности радиусом 0.1 м. Определить импульс иона.
-
Соленоид содержит 600 витков. При силе тока 10 А магнитный поток равен 8010-6 Вб. Определить индуктивность соленоида и потокосцепление.
-
Соленоид индуктивностью 4.10-3 Гн содержит 600 витков. Определить магнитный поток и потокосцепление, если сила тока, протекающего по обмотке, равна 12 А.
-
В однородном магнитном поле находится виток площадью 10 см2, расположенный перпендикулярно силовым линиям. Какой ток потечет по витку, если поле будет убывать с постоянной скоростью 8 кА/(мс)? Сопротивление витка 1 Ом.
-
Прямой провод длиной 0.40 м движется в однородном магнитном поле со скоростью 5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов между концами провода 0.6 В. Вычислить индукцию магнитного поля.