5 Дифференциальное исчисление
.pdfДифференциальное
исчисление
Производная функции
• Пусть функция f (x) определена в некоторой
окрестности точки x (включая точку x ).
•Определение 1.
f (x) lim f (x)
x 0 x
•Определение 2.
Касательной прямой l к графику функции
y f (x) в точке xo называется предельное положение секущей Mo M, когда M Mo
Производной функции f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
y |
l |
|
|
|
M |
M |
|
|
|
|
y f (x)
yo M o
0 |
xo |
х |
Производная функции
•Геометрический смысл производной.
y f (xo x) |
|
|
l |
M |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
M Mo x 0 |
||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
M o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg |
|||||||
|
yo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
|
xo |
x |
x xo x |
|
kсек . |
kкас. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Значение производной функции f (x) в точке x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
o |
|
f (x0 ). lim |
|
y |
kкас. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
равно угловому коэффициенту касательной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
к графику этой функции в точке M |
|
(x , y ) |
|
|
x 0 x |
|
|
|
||||||||||
|
где y f (x ) |
|
|
|
|
o |
o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
o |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная функции
|
y |
|
l |
|
N |
y f (x) |
|
• Уравнение касательной |
|
||
|
|
|
|
к графику функции. |
yo |
|
Mo (xo , yo ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl f (xo ) |
|
|
y yo f (xo ) (x x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
xo |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y f (xo ) f (xo ) (x x0 ) |
|
y yo k(x xo ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
•Определение 3.
Нормалью к графику функции y f (x) в точке
называется прямая N, проходящая через точку Mo перпендикулярно касательной прямой l
xo
(xo , yo )
•Уравнение нормали к графику функции.
k |
|
|
1 |
k |
|
|
1 |
|
|
N |
kl |
N |
f (xo ) |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y f (xo ) |
|
1 |
(x x0 ) |
|
|
||
|
f |
(xo ) |
|
Производная функции
•Правила дифференцирования.
Пусть f (x) и g (x)
Тогда
1.( f (x) g(x)) f (x) g (x)
2.( f (x) g(x)) f (x) g(x) f (x)
3.(C f (x)) C f (x)
4. |
f (x) |
|
f (x) g(x) f (x) g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
(g(x)) |
g (x)
, если g(x) 0
Доказательство 1 правила (для суммы).
1 шаг. |
|
( f g) f g |
|
|||||||||
2 шаг. |
|
( f g) |
|
f |
|
|
g |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 шаг. |
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
||||
( f g) |
|
|
|
f |
|
|
g |
|||||
lim |
lim |
lim |
||||||||||
|
x |
x |
x |
|||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
x 0 |
то есть
( f (x) g(x)) f (x) g (x)
Производная функции
–Таблица производных основных элементарных функций.
1. |
(C) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
) n x |
|
|
|
|
|
|
|
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
(a |
|
|
|
) a |
|
|
ln a |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
(e |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
) e |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(loga x) |
|
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(ln x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
(sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsinx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(cosx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(tg x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arccosx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(ctg x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctgx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcctgx) |
1 x2 |
|
|
Производная функции
•Производная сложной функции.
•Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y f (u) , u (x) y(x) f (((x))
2.(x) в т. х
3.f (u) в т. u , причем
значение u (x)
y (x) f (u) (x)
где u (x)
•Доказательство.
1. Возьмем x 0 u y
(предполагаем, что u 0 )
2. y y ux u x
|
lim |
y |
lim |
y |
lim |
u |
|
|
|||
3. |
x |
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
x 0 |
u |
x 0 |
x |
|
|||||
|
|
|
lim |
y |
lim |
u |
(ч.т.д.) |
||||
|
|
|
u |
x |
|||||||
|
|
|
u 0 |
x 0 |
|
Производная функции
•Обратная функция.
•Определение.
Пусть y f (x) : X Y x ( y) : Y X
Функции y f (x) и x ( y)
называются взаимно обратными,
если |
f ( ( y)) y всюду в Y |
или |
( f (x)) x всюду в X |
y |
|
y |
y f (x) |
|
x ( y) |
||
|
y
y |
|
|
|
Y |
|
|
|
y f (x) |
|
|
|
0 |
x |
X |
x ( y)х |
|
|
|
|
|
|
|
Функция x ( y) называется |
|
|
|
обратной к y f (x) |
Графиками |
|
|
Функция y f (x) называется |
взаимно обратных |
|
|
обратной к x ( y) |
функций является |
|
|
|
|
|
|
одна и та же линия.
0 |
x |
х |
|
|
Производная функции
•Производная обратной функции.
•Теорема.
1.y f (x) непрерывная на a,b ;
2.y f (x) монотонная на a,b ;
3. f (x) при x a,b и f (x) 0
•Пример.
•Вывод формулы :
1.x ( y) обратная
кy f (x) ;
2.x ( y) непрерывная
|
и монотонная ; |
|||
3. |
( y) |
1 |
|
|
f (x) |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arcsinx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
1 x2
•1. y arcsinx x sin y
• 2. x cos y y |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( y) |
1 |
f (x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f (x) |
( y) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
cos y |
y |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
• 3. cos y |
1 sin 2 y |
1 x2 |
|
|
y |
|
cos y 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Производная функции
•Функции, заданные параметрически.
•Определение 1.
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана пара функций
x x(t),
y y(t), t t1,t2 ,
t называется параметром.
•Пример.
x t 1,
y t 2 , t ( , )
1.Функция y(x) :
t x 1 y (x 1)2
2.Функция x( y) :
t 0, t y
x y 1 ;
t ,0 t y
y y (x 1)2
1 |
|
-1 0 |
x |
y
1 |
|
-1 0 |
x |
x y 1.