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Задача № 2. Коллинеарны ли векторы c1 |
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и c2 , построенные по |
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векторам a и b ? |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c1 2a 4b , |
c2 3b a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 a 1, 0, 1 , |
b 2, 3, 5 ; |
|
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c2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c1 a 2b , |
|
|
|
|
|
3a b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 a 2, 4, 1 , |
b 1, 2, 7 ; |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c1 5a 3b , |
c2 2a b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 a 1, 2, 3 , |
|
b 2, 1, 1 ; |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 4a 3b , |
|
c2 8a b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 a 3, 5, 4 , |
|
b 5, 9, 7 ; |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
c2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
c1 2a b , |
3a 2b . |
50
2.6 a 1, 4, 2 , |
b 1, 1, 1 ; |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|||
|
c1 a b , |
4a 2b . |
||||||||||
2.7 a 1, 2, 5 , |
b 3, 1, 0 ; |
|
|
|
|
c2 b |
|
|
||||
|
c1 4a 2b , |
2a . |
||||||||||
2.8 a 3, 4, 1 , |
b 2, 1, 1 ; |
|
|
|
|
c2 b |
|
|
||||
|
c1 6a 3b , |
2a . |
||||||||||
2.9 a 2, 3, 2 , |
b 1, 0, 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
c1 3a 9b , |
c2 a 3b . |
|||||||||||
2.10 |
a 1, 4, 2 , |
b 3, 2, 6 ; |
|
|
c2 3b |
|
||||||
c1 2a b , |
6a . |
|||||||||||
2.11 |
a 5, 0, 1 , |
b 7, 2, 3 ; |
|
|
|
c2 |
3b |
|
|
|||
|
c1 2a b , |
6a . |
||||||||||
2.12 |
a 0, 3, 2 , |
b 1, 2, 1 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
c1 5a 2b , |
|
c2 3a 5b . |
|||||||||
2.13 |
a 2, 7, 1 , |
b 3, 5, 2 ; |
|
|
|
c2 |
|
|
||||
c1 2a 3b , |
3a 2b . |
|||||||||||
2.14 |
a 3, 7, 0 , |
|
b 1, 3, 4 ; |
|
|
|
|
c2 b |
|
|
||
|
|
c1 4a 2b , |
2a . |
|||||||||
2.15 |
a 1, 2, 1 |
, |
b 2, 7, 1 ; |
|
|
, |
|
|
|
|||
c1 6a 2b |
c2 b 3a . |
|||||||||||
2.16 |
a 7, 9, 2 , |
b 5, 4, 3 ; |
|
|
|
c2 |
|
|
|
|||
|
c1 4a b , |
4b a . |
||||||||||
2.17 |
a 5, 0, 2 , |
b 6, 4, 3 ; |
|
|
|
|
c2 6b |
|
||||
|
c1 5a 3b , |
10a . |
||||||||||
2.18 |
a 8, 3, 1 , |
b 4, 1, 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 2a b , |
c2 2b 4a . |
||||||||||
2.19 |
a 3, 1, 6 , |
b 5, 7, 10 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
c1 4a 2b , |
c2 b 2a . |
|||||||||||
2.20 |
a 1, 2, 4 , |
b 7, 3, 5 ; |
|
|
|
|
c2 b |
|
|
|||
|
c1 6a 3b , |
2a . |
||||||||||
2.21 |
a 3, 7, 0 , |
|
b 4, 6, 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
c1 3a 2b , |
c2 5a 7b . |
|||||||||
2.22 |
a 2, 1, 4 , |
b 3, 7, 6 ; |
|
|
|
c2 |
|
|
||||
c1 2a 3b , |
3a 2b . |
|||||||||||
2.23 |
a 5, 1, 2 , |
b 6, 0, 7 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
c1 3a 2b , |
|
c2 4b 6a . |
||||||||||
2.24 |
a 9, 5, 3 , |
b 7, 1, 2 ; |
|
|
|
|
|
|||||
c1 2a 9b , |
|
c2 3a 5b . |
||||||||||
2.25 |
a 4, 2, 9 , |
b 0, 1, 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 4b 3a , |
c2 4a 3b . |
||||||||||
2.26 |
a 2, 1, 6 , |
b 1, 3, 8 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
c1 5a 2b , |
c2 2a 5b . |
|||||||||||
2.27 |
a 5, 0, 8 , |
|
b 3, 1, 7 ; |
|
|
|
|
c2 12b |
|
|||
|
|
c1 3a 4b , |
9a . |
|||||||||
2.28 |
a 1, 3, 4 , |
b 2, 1, 0 ; |
|
|
|
|
c2 b |
|
||||
|
c1 6a 2b , |
|
3a . |
|||||||||
2.29 |
a 4, 2, 7 , |
|
b 5, 0, 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
c1 a 3b , |
c2 6b 2a . |
||||||||||
2.30 |
a 2, 0, 5 , |
b 1, 3, 4 ; |
|
|
|
|
|
|||||
c1 2a 5b , |
|
c2 5a 2b . |
||||||||||
Задача № 3. Компланарны ли векторы a , b , c ? |
|
|
|
|||||||||
3.1a 2, 3, 1 , |
b 1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c 2, 2, 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
3.2 a 3, 2, 1 , |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2, 3, 4 , c |
3, 1, 1 . |
|
|
|
|
|
51
3.3 a 1, 5, 2 , |
b 1, 1, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c 1, 1, 1 . |
|||||||||||||
3.4 a 1, 1, 3 , |
|
b 3, 2, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
c 2, 3, 4 . |
||||||||||||
3.5 a 3, 3, 1 , |
b 1, 2, 1 , |
|
|
|
|
1, 1, 1 . |
||||||||
c |
||||||||||||||
3.6 a 3, 1, 1 , |
|
b |
2, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
c 5, 2, 1 . |
||||||||||
3.7 a 4, 3, 1 , |
b 1, 2, 1 , |
|
|
|
|
2, 2, 2 . |
||||||||
c |
|
|
|
|||||||||||
3.8 a 4, 3, 1 , |
b 6, 7, 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c 2, 0, 1 . |
||||||||||||||
3.9 a 3, 2, 1 , |
b 1, 3, 7 |
, |
|
|
|
|
1, 2, 3 . |
|||||||
|
|
c |
|
|||||||||||
3.10 |
a 3, 7, 2 , |
|
b |
2, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
c 2, 2, 1 . |
|||||||||||
3.11 |
a 1, 2, 6 , |
|
b 1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c 2, 6, 17 . |
||||||||||||
3.12 |
a 6, 3, 4 , |
|
b |
1, 2, 1 , |
|
|
|
|
2, 1, 2 . |
|||||
|
|
c |
||||||||||||
3.13 |
a 7, 3, 4 , |
|
b |
1, 2, 1 , |
|
|
|
|
4, 2, 4 . |
|||||
|
|
c |
||||||||||||
3.14 |
a 2, 3, 2 , |
|
b |
4, 7, 5 , |
|
2, 0, 1 . |
||||||||
|
c |
|||||||||||||
3.15 |
a 5, 3, 4 , |
|
b |
1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
c 4, 2, 4 . |
||||||||||
3.16 |
a 3, 10, 5 |
, |
b 2, 2, 3 , |
|
|
|
||||||||
|
c 2, 4, 3 . |
|||||||||||||
3.17 |
a 2, 4, 3 , |
b 4, 3, 1 , |
|
|
|
|
6, 7, 4 . |
|||||||
|
|
c |
||||||||||||
3.18 |
a 3, 1, 1 |
, |
b 1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
c 8, 3, 2 . |
||||||||||||
3.19 |
a 4, 2, 2 , |
|
b 3, 3, 3 , |
|
|
|
||||||||
|
|
c |
2, 1, 2 . |
|||||||||||
3.20 |
a 4, 1, 2 , |
|
b |
9, 2, 5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c 1, 1, 1 . |
|||||||||||||
3.21 |
a 5, 3, 4 , |
|
b |
4, 3, 3 , |
|
9, 5, 8 . |
||||||||
|
c |
|
||||||||||||
3.22 |
a 3, 4, 2 , |
|
b |
1, 1, 0 , |
|
|
|
|
8, 11, 6 . |
|||||
|
c |
|||||||||||||
3.23 |
a 4, 1, 6 , |
|
b 1, 3, 7 , |
|
|
|
||||||||
|
|
c 2, 1, 4 . |
||||||||||||
3.24 |
a 3, 1, 0 , |
|
b 5, 4, 5 , |
|
|
|
4, 2, 4 . |
|||||||
|
|
|
c |
|||||||||||
3.25 |
a 3, 0, 3 , |
|
b |
8, 1, 6 , |
|
|
|
|
1, 1, 1 . |
|||||
|
c |
|
|
|
||||||||||
3.26 |
a 1, 1, 4 |
, |
b 1, 0, 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c 1, 3, 8 . |
|||||||||||||
3.27 |
a 6, 3, 4 , |
|
b |
1, 2, 1 , |
|
|
|
|
2, 1, 2 . |
|||||
|
|
c |
||||||||||||
3.28 |
a 4, 1, 1 , |
|
b 9, 4, 9 , |
|
|
|
|
6, 2, 6 . |
||||||
|
|
c |
||||||||||||
3.29 |
a 3, 3, 3 , |
|
b 4, 7, 6 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
c 3, 0, 1 . |
|||||||||||
3.30 |
a 7, 10, 5 , |
b 0, 2, 1 |
, |
|
||||||||||
c 2, 4, 1 . |
52
Задача № 4. Написать разложение вектора x по векторам p , q ,
r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p 0, 1, 2 , |
|
|
|
|
1, 2, 4 . |
||||||||||
4.1 x 2, 4, 7 , |
|
|
q 1, 0, 1 , |
r |
|
|||||||||||||
|
|
|
p 1, 3, 0 , |
|
|
2, 1, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.2 x 6, 12, 1 , |
|
|
q |
|
r 0, 1, 2 . |
|||||||||||||
|
|
|
p 2, 1, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.3 x 1, 4, 4 , |
|
q 0, 3, 2 , |
|
r 1, 1, 1 . |
||||||||||||||
|
|
|
p 4, 1, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.4 x 9, 5, 5 , |
|
|
q 2, 0, 3 , |
|
r 1, 2, 1 . |
|||||||||||||
|
|
|
p 2, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.5 x 5, 5, 5 , |
q 1, 3, 1 , |
r 0, 4, 1 . |
||||||||||||||||
|
|
|
p 5, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.6 x 13, 2, 7 , |
|
|
q 2, 1, 3 , |
r 1, 0, 1 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
p 0, 1, 1 , |
|
|
2, 0, 1 |
, |
|
|
|
|
3, 1, 0 . |
|||||
4.7 x 19, 1, 7 , |
q |
|
r |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
p 1, 0, 2 , |
|
|
0, 1, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.8 x 3, 3, 4 , |
|
|
q |
r 2, 1, 4 . |
||||||||||||||
|
|
|
p 3, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.9 x 3, 3, 1 , |
|
|
q 1, 2, 1 , |
r 1, 0, 2 . |
||||||||||||||
4.10 |
|
|
, |
p 1, 2, 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 1, 7, 4 |
q 2, 0, 3 , |
r 1, 1, 1 . |
||||||||||||||||
4.11 |
|
|
|
p 1, 1, 4 , |
|
|
0, 3, 2 |
, |
|
|
|
|
2, 1, 1 . |
|||||
x 6, 5, 14 , |
q |
|
r |
|
|
|||||||||||||
4.12 |
|
|
p 1, 2, 0 , |
|
|
|
|
, |
|
|
1, 0, 4 . |
|||||||
x 6, 1, 7 , |
|
q 1, 1, 3 |
r |
|
||||||||||||||
4.13 |
|
|
p 1, 0, 5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 5, 15, 0 , |
|
|
q 1, 3, 2 , |
|
r 0, 1, 1 . |
|||||||||||||
4.14 |
|
|
p 1, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2, 1, 11 , |
q 0, 1, 2 , |
|
r 1, 0, 3 . |
|||||||||||||||
4.15 |
|
|
p 1, 0, 2 , |
|
|
1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
||||||
x 11, 5, 3 , |
q |
|
r 2, 5, 3 . |
|||||||||||||||
4.16 |
|
|
p 2, 0, 1 , |
|
|
1, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 8, 0, 5 , |
|
|
q |
r 4, 1, 2 . |
||||||||||||||
4.17 |
|
p 0, 1, 3 , |
|
|
|
|
|
|
2, 0, 1 . |
|||||||||
x 3, 1, 8 , |
q 1, 2, 1 , |
r |
||||||||||||||||
4.18 |
|
|
p 1, 2, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 8, 1, 12 , |
|
q 3, 0, 2 , |
|
r 1, 1, 1 . |
||||||||||||||
4.19 |
|
|
|
|
p 1, 4, 1 |
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
1, 1, 2 . |
||
x 9, 8, 3 , |
|
q 3, 2, 0 |
|
|
r |
|||||||||||||
4.20 |
|
|
|
|
p 0, 1, 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 5, 9, 13 , |
|
|
q 3, 1, 1 , |
|
|
r 4, 1, 0 . |
||||||||||||
4.21 |
|
|
|
p 0, 5, 1 , |
|
|
3, 2, 1 |
, |
|
|
|
|
1, 1, 0 . |
|||||
x 15, 5, 6 , |
q |
|
r |
|
|
|||||||||||||
4.22 |
|
|
p 1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 8, 9, 4 , |
|
|
q 0, 2, 1 , |
|
r 1, 3, 0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
p 2, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.23 x 23, 14, 30 , |
|
q 1, 1, 0 , |
|
|
r 3, 2, 5 . |
|||||||||||||
4.24 |
|
p 2, 1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 3, 1, 3 , |
|
q 1, 0, 1 , |
r 4, 2, 1 . |
|||||||||||||||
4.25 |
|
|
p 0, 3, 1 , |
|
|
1, 1, 2 , |
|
|
2, 1, 0 . |
|||||||||
x 1, 7, 0 , |
|
|
q |
|
r |
|||||||||||||
4.26 |
|
|
p 1, 1, 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 11, 1, 4 , |
q 3, 2, 0 , |
|
r 1, 1, 1 . |
|||||||||||||||
4.27 |
|
|
|
|
p 1, 1, 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 13, 2, 18 , |
|
q 3, 0, 2 , |
|
r 1, 2, 1 . |
53
4.28 |
|
0, 8, 9 , |
p 0, 2, 1 , |
|
|
|
|
||
x |
q 3, 1, 1 , |
r 4, 0, 1 . |
|||||||
4.29 |
|
8, 7, 13 , |
p 0, 1, 5 , |
|
3, 1, 2 , |
|
|||
x |
q |
r 1, 0, 1 . |
|||||||
4.30 |
|
2, 7, 5 , |
p |
1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
x |
q |
1, 2, 0 , r |
0, 3, 1 . |
||||||
Задача |
№ 5. Даны |
четыре точки |
в |
трехмерном |
пространстве |
A , B , C , Д . Показать, что они могут являться вершинами пирамиды. Найти: а) объем пирамиды; б) уравнение плоскости АВС ; в) длину ребра АД ; г) угол между ребром АД и гранью АВС ; д) площадь грани АВД .
Пусть A1 , B1 , C1 есть проекции точек A , B , C на плоскость x0 y . Найти: е) длину высоты A1K ; ж) угол между высотой
A1K и медианой A1N треугольника A1B1C1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
5.1 |
3, 0 ; |
В 3, |
|
|
4 ; |
|
С 2, |
5, 6 ; |
|
Д 0, |
4, 2 . |
||||
А 1, |
1, |
|
|
|
|||||||||||
5.2 |
1, 4 ; |
В 1, 6, |
|
1 ; |
|
С 1, |
1, 6 ; |
|
Д 0, |
4, 1 . |
|||||
А 3, |
|
|
|
||||||||||||
5.3 |
|
0 ; |
|
В 1, |
|
|
|
4 ; |
С 3, 1, |
|
2 ; |
Д 3, |
2, 1 . |
||
А 4, |
2, |
|
|
2, |
|
||||||||||
5.4 |
2, 3 ; |
В 5, 1, |
|
1 ; С 2, |
|
0 ; |
Д 1, |
|
1 . |
||||||
А 3, |
|
1, |
2, |
||||||||||||
5.5 |
2, 1 ; |
В 3, |
|
|
7 ; |
|
С 0, |
|
5 ; |
|
|
Д 7, |
4, 2 . |
||
А 1, |
1, |
|
|
3, |
|
|
|||||||||
5.6 |
3, 9 ; |
В 6, 9, |
1 ; |
С 1, 7, 3 ; |
Д 8, 5, |
8 . |
|
||||||||
А 3, |
|
||||||||||||||
5.7 |
0, 3 ; |
В 5, 0, |
|
7 ; |
|
С 1, |
|
2 ; |
|
Д 3, |
|
1 . |
|||
А 2, |
|
|
2, |
|
2, |
||||||||||
5.8 |
3, 1 ; |
В 2, 5, |
1 ; |
|
С 3, |
9, 4 ; |
|
Д 1, |
0, 1 . |
||||||
А 3, |
|
|
|||||||||||||
5.9 |
5, 4 ; |
В 5, 8, |
|
3 ; |
|
С 1, 9, 9 ; |
Д 6, 4, |
8 . |
|
||||||
А 3, |
|
|
|
||||||||||||
5.10 |
8, 0 ; |
В 1, 8, |
|
4 ; |
|
С 3, |
|
2 ; |
|
Д 5, |
6, 6 . |
||||
А 2, |
|
|
1, |
|
54
5.11 |
|
4 ; |
В 1, |
5, 2 ; |
С 0, 3, |
5 ; |
Д 1, 1, |
3 . |
|||||||||||
А 3, |
1, |
||||||||||||||||||
5.12 |
4, 3 ; |
|
В 7, 6, |
3 ; |
|
С 4, 9, |
3 ; |
Д 3, 6, |
7 . |
|
|||||||||
А 2, |
|
|
|
||||||||||||||||
5.13 |
|
4 ; |
В 3, |
|
|
0 ; |
С 0, |
|
|
4 ; |
|
Д 1, |
3, 1 . |
||||||
А 1, |
3, |
1, |
1, |
|
|||||||||||||||
5.14 |
2, 4 ; |
В 3, |
|
2, 0 ; |
С 4, 6, |
2 ; |
Д 1, 2, |
2 . |
|||||||||||
А 0, |
|
||||||||||||||||||
5.15 |
5, 5 ; |
|
В 3, 7, |
1 ; |
С 5, 7, |
|
8 ; |
|
Д 6, 9, |
2 . |
|
||||||||
А 9, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.16 |
0, 2 ; |
В 0, 3, |
8 ; |
С 1, 2, |
0 ; |
|
Д 4, |
2, 3 . |
|||||||||||
А 2, |
|
||||||||||||||||||
5.17 |
5, 0 ; |
|
В 6, 5, |
|
4 ; |
|
С 2, 6, |
1 ; |
Д 9, 5, |
0 . |
|
||||||||
А 3, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.18 |
7, 1 ; |
|
В 4, 1, |
5 ; |
|
С 4, 6, |
3 ; |
Д 3, 9, |
|
8 . |
|
||||||||
А 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.19 |
1, 6 ; |
|
В 4, 2, |
4 ; |
С 0, |
1, 5 ; |
Д 2, |
1, 3 . |
|||||||||||
А 2, |
|
||||||||||||||||||
5.20 |
|
3 ; |
В 5, |
|
|
1 ; |
С 6, |
|
|
5 ; |
Д 5, 2, |
2 . |
|||||||
А 5, |
4, |
1, |
|
2, |
|||||||||||||||
5.21 |
5, 4 ; |
|
В 3, 8, |
4 ; |
С 3, 5, |
10 ; |
|
Д 5, 8, |
2 . |
|
|||||||||
А 5, |
|
|
|
||||||||||||||||
5.22 |
1, 1 ; |
В 4, 6, |
6 ; |
|
С 4, 2, |
0 ; |
Д 1, 2, |
|
6 . |
|
|||||||||
А 6, |
|
|
|
||||||||||||||||
5.23 |
5, 3 ; |
|
В 9, 4, |
|
4 ; |
|
С 4, 5, |
7 ; |
Д 7, 9, |
6 . |
|
||||||||
А 7, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.24 |
6, 2 ; |
|
В 5, 4, |
7 ; |
С 2, 4, |
|
7 ; |
|
Д 7, 3, |
0 . |
|
||||||||
А 6, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
5.25 |
7, 3 ; |
В 4, 9, |
1 ; |
С 6, |
3, 0 ; |
Д 2, |
|
5, 0 . |
|||||||||||
А 3, |
|
||||||||||||||||||
5.26 |
|
2 ; |
В 5, |
|
|
2 ; |
С 1, |
4, 3 ; |
Д 2, |
2, 6 . |
|||||||||
А 0, |
2, |
2, |
|||||||||||||||||
5.27 |
1, 5 ; |
В 3, 7, |
5 ; |
|
С 2, 1, |
4 ; |
Д 9, 4, |
|
7 . |
|
|||||||||
А 3, |
|
|
|
55
5.28 |
2, 0 ; |
В 0, 2, |
4 ; |
С 2, |
1, 1 ; |
Д 4, |
4, 2 . |
||||
А 3, |
|||||||||||
5.29 |
2, 4 ; |
В 2, 0, |
8 ; |
С 6, 3, |
1 ; |
Д 12, |
|
6 . |
|
||
А 6, |
1, |
|
|||||||||
5.30 |
1, 5 ; |
В 3, 5, |
5 ; |
С 2, |
2, 3 ; |
Д 2, |
|
4 . |
|||
А 0, |
1, |
Задача № 6. Написать канонические уравнения прямой в пространстве по заданным общим уравнениям (прямая задана как пересечение двух плоскостей).
6.1 |
2x y z 2 0, |
|
2x y 3z 6 0. |
|
6.2 |
x 3y 2z 2 0, |
|
x 3y z 14 |
0. |
6.3 |
x 2 y z 4 0, |
|
2x 2 y z 8 0. |
|
6.4 |
x y z 2 0, |
x y 2z 2 0. |
||
6.5 |
2x 3y z 6 0, |
|
x 3y 2z 3 |
0. |
6.6 |
3x y z 6 0, |
|
3x y 2z 0. |
|
6.7 |
x 5 y 2z 11 0, |
x y z 1 |
0. |
|
6.8 |
3x 4 y 2z 1 0, |
2x 4 y 3z 4 0. |
||
6.9 |
5x y 3z 4 0, |
|
x y 2z 2 0. |
6.10 |
x y z 2 0, |
x 2 y z 4 |
0. |
|
6.11 |
4x y 3z 2 0, |
|
2x y z 8 0. |
|
6.12 |
3x 3y 2z 1 0, |
2x 3y z 6 0. |
||
6.13 |
6x 7 y 4z 2 0, |
x 7 y z |
5 0. |
|
6.14 8x y 3z 1 0, |
|
x y z 10 0. |
||
6.15 |
6x 5 y 4z 8 0, |
6x 5y 3z 4 0. |
||
6.16 |
x 5 y z 5 0, |
2x 5y 2z 5 0. |
||
6.17 |
2x 3y z 6 0, |
|
x 3y 2z 3 0. |
|
6.18 |
5x y 2z 4 0, |
x y 3z 2 0. |
||
6.19 |
4x y z 2 0, |
|
2x y 3z 8 0. |
|
6.20 |
2x y 3z 2 0, |
|
2x y z 6 0. |
|
6.21 |
x y 2z 2 0, |
|
x y z 2 0. |
|
6.22 |
x 5 y z 11 0, |
|
x y 2z 1 0. |
|
6.23 |
x y z 2 0, |
x 2 y z 4 |
0. |
|
6.24 |
6x 7 y z 2 0, |
x 7 y 4z |
5 0. |
56
6.25 |
x 5 y 2z 5 0, |
2x 5 y z 5 0. |
6.26 |
x 3y z 2 0, |
x 3y 2z 14 0. |
6.27 |
2x 3y 2z 6 0, |
x 3y z 3 0. |
6.28 |
3x 4 y 3z 1 0, |
2x 4 y 2z 4 0. |
6.29 |
3x 3y z 1 0, |
2x 3y 2z 6 0. |
6.30 6x 5 y 3z 8 0, |
6x 5 y 4z 4 0. |
Задача № 7. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
7.1 |
x 2 |
|
|
|
y 3 |
|
|
|
z 1 |
, |
|
|
x 2 y 3z 14 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7.2 |
x 1 |
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
, |
|
|
|
x 2 y 5z 20 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
7.3 |
x 1 |
|
|
|
|
y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
, |
|
|
|
x 3y 7z 24 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7.4 |
x 1 |
|
|
|
|
y |
|
|
z 3 |
, |
2x y 4z 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7.5 |
x 5 |
|
|
|
y 3 |
|
|
|
z 2 |
, |
|
3x y 5z 12 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7.6 |
x 1 |
|
|
y 2 |
|
|
z 3 |
, |
|
|
x 3y 5z 9 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.7 |
x 1 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
z 1 |
, |
|
|
|
x 2 y 5z 17 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.8 |
x 1 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
z 4 |
, |
|
|
x 2 y 4z 19 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7.9 |
x 2 |
|
|
y 1 |
|
z 4 |
, |
|
|
2x y 3z 23 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7.10 |
x 2 |
|
y 2 |
|
z 3 |
, |
2x 3y 5z 7 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7.11 |
x 1 |
|
y 1 |
|
|
|
|
z 2 |
, |
4x 2 y z 11 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7.12 |
x 1 |
|
y 1 |
|
|
z 1 |
, |
3x 2 y 4z 8 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.13 |
x 2 |
|
y 1 |
|
z 3 |
, |
x 2 y z 2 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
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|
57
7.14 |
x 3 |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
z 2 |
, |
5x y 4z 3 0. |
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1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7.15 |
x 2 |
|
y 2 |
|
z 4 |
, |
x 3y 5z 42 0. |
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2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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7.16 |
x 3 |
|
|
|
y 4 |
|
z 4 |
, |
7x y 4z 47 0. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7.17 |
x 3 |
|
|
y 1 |
|
|
|
|
z 1 |
, |
2x 3y 7z 52 0. |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.18 |
x 3 |
|
|
y 1 |
|
|
|
|
z 3 |
, |
3x 4 y 7z 16 0. |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.19 |
x 5 |
|
y 2 |
|
z 4 |
, |
2x 5 y 4z 24 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||
7.20 |
x 1 |
|
|
y 8 |
|
|
|
|
z 5 |
, |
x 2 y 3z 18 0. |
|||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.21 |
x 3 |
|
|
y |
|
z 5 |
, |
|
|
x 7 y 3z 11 0. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7.22 |
x 5 |
|
y 3 |
|
z 1 |
, |
3x 7 y 5z 11 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7.23 |
x 1 |
|
|
y 2 |
|
|
|
z 6 |
, |
4x y 6z 5 0. |
||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
7.24 |
x 3 |
|
y 2 |
|
z 8 |
, |
5x 9 y 4z 25 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 0
7.25x 1 y z 1, x 4 y 13z 23 0.
|
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7.26 |
x 1 |
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
z 5 |
, |
3x 2 y 5z 3 0. |
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.27 |
x 2 |
|
y 1 |
|
|
|
|
z 3 |
, |
3x y 4z 0. |
||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
7.28 |
x 1 |
|
|
|
y 2 |
|
|
z 3 |
, |
x 2 y 5z 16 0. |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
7.29 |
x 1 |
|
|
|
y 3 |
|
|
z 2 |
, |
3x 7 y 2z 7 0. |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
7.30 |
x 3 |
|
y 2 |
|
z 5 |
, |
5x 7 y 9z 32 0. |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
11 |
|
|
|
|
|
58
Задача № 8. Найти точку М / , симметричную точке М относительно прямой (для вариантов № 1-15) или плоскости (для вариантов № 16-30) .
8.1 |
М 0, |
3, |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
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|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
y 1,5 |
|
|
|
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.2 |
М 2, |
1, |
1 , |
|
|
|
x - 4,5 |
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.3 |
М 1, 1, |
1 , |
|
x - 2 |
|
|
y 1,5 |
|
|
|
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.4 |
М 1, |
2, |
|
3 , |
|
|
x - 0,5 |
|
|
y 1,5 |
|
|
|
z 1,5 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.5 |
М 1, |
0, |
|
1 , |
|
|
|
x - 3,5 |
|
|
y 1,5 |
|
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.6 |
М 2, |
1, |
|
0 , |
|
|
x - 2 |
|
y 1,5 |
|
|
z 0,5 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
8.7 |
М 2, |
|
3, |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0,5 |
|
|
|
|
y 1,5 |
|
|
|
z 0,5 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
1 |
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
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8.8 |
М 1, |
0, |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y 1,5 |
|
|
z 2 |
. |
|
|
|
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|
-1 |
|
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0 |
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1 |
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|
|
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8.9 |
М 0, |
2, |
|
1 , |
|
|
x -1,5 |
|
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|
y |
|
z 2 |
. |
|
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2 |
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1 |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
8.10 |
М 3, |
3, |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
x - 6 |
|
|
|
y 3,5 |
|
|
|
z 0,5 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
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|
|
|
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4 |
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|
|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.11 |
М 3, |
3, |
|
3 , |
|
|
x -1 |
|
y 1,5 |
|
z 3 |
. |
|
|
|
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-1 |
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0 |
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1 |
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8.12 |
М 1, |
2, |
|
0 , |
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x 0,5 |
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y 0,7 |
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z 2 |
. |
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1 |
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0,2 |
2 |
|
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8.13 |
М 2, |
2, |
3 , |
|
|
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x -1 |
|
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y 0,5 |
|
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z 1,5 |
. |
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-1 |
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0 |
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0 |
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8.14 |
М 1, |
0, |
1 , |
|
|
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x 0,5 |
|
y 1 |
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z 4 |
. |
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0 |
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0 |
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2 |
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8.15 |
М 0, |
3, |
|
2 , |
|
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x - 0,5 |
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y 1,5 |
|
z 1,5 |
. |
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|
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1 |
1 |
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59