математика
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования žКузбасский государственный технический университет¡
Е. В. Прейс |
Е. А. Волкова |
А. В. Рябкова |
Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия
Рекомендовано учебно-методической комиссией специальности 150402 žГорные машины и оборудование¡
в качестве электронного издания для самостоятельной работы
Кемерово 2011
Рецензенты:
Волков В.М. – доцент кафедры высшей математики Хорешок А.А. – председатель УМК специальности 150402
žГорные машины и оборудование¡
Прейс, Елена Валерьевна. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия : методические указания к самостоятельной работе по дисциплине žМатематика¡ [электронный ресурс] : для студентов специальности 150402 žГорные машины и оборудование¡ очной формы обучения / Е. В. Прейс, Е. А. Волкова, А. В. Рябкова. – электрон. дан. – Кемерово : ГУ КузГТУ , 2010. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) ; зв. цв. ; 12 см. – Систем. требования : Pentium IV ; ОЗУ 8 Мб ; Windows 2003 ; (CD- ROM-дисковод) ; Загл. с экрана.
Представлены решения типовых заданий с подробными пояснениями, задания для самостоятельной работы.
Цель работы – помочь студентам выработать умения и навыки, необходимые при изучении технических дисциплин и освоении инженерной профессии.
1
1. Линейная алгебра
Задание № 1. Для выполнения этого задания нужно усвоить понятия определителей второго, третьего, n-го порядка и общее правило вычисления определителей через алгебраические дополнения. Необходимо так же знать свойства определителей.
Пример: Вычислить определитель четвертого порядка, предварительно упростив его.
2 |
4 |
1 |
2 |
I + IV·(–2) |
1 |
2 |
3 |
1 |
II + IV |
2 |
5 |
1 |
4 |
III + I·(–1) |
1 |
2 |
0 |
3 |
|
Чтобы вычислить определитель 4-го порядка, его нужно разложить по элементам любой строки или столбца. Если часть элементов строки или столбца являются нулями, то вычисления упрощаются. Получим нули в первом столбце данного определителя. Для этого воспользуемся свойством: определитель не изменится, если ко всем элементам строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любое число. Прибавим ко второй строке четвертую. К третьей прибавим первую, умноженную на (–1). К первой, прибавим четвертую, умноженную на(–2). Получим определитель, в первом столбце которого содержится только один элемент отличный от нуля. Разложим определитель по первому столбцу.
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
4 |
3 |
4 |
1 A 1 ( 1)4 1 |
|
|
||||
|
4 |
3 |
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
2 |
2 |
41 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Вычислим определитель третьего порядка, разложив его по элементам первой строки. Aij – алгебраические дополнения.
2
|
|
|
|
|
1 2 |
|
4 |
4 |
1 3 |
|
( 1) ( 1 A12 ( 4) A13) A12 4 A13 ( 1) |
1 |
2 |
4 ( 1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
3 |
|
(4 2 4 1) 4(4 2 3 1) (8 4) 4(8 3) 4 20 16. |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 2, 3. Для решения этих заданий изучаем метод Крамера решения систем линейных уравнений, действия над матрицами, а так же матричный способ решения систем линейных уравнений. Матричный способ основан на вычислении обратной матрицы и операции умножения матриц.
Пример: Найти решение системы линейных уравнений а) методом Крамера, б) матричным способом.
2x 3y z 9,
x 2 y 3z 6,3x y z 0.
а) Составим определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных. Вычислим его, разложив по элементам первой строки.
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
2 A 3 A 1 A 2 ( 1)2 |
|
2 |
3 |
|
3 ( 1)3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
3 |
|
1 ( 1)4 |
|
1 |
2 |
|
2( 2 ( 3)) 3(1 9) 1( 1 ( 6)) 21. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Определитель x составлен заменой первого столбца, т.е. коэффициентов при x , свободными коэффициентами в определителе . Вычислим его разложением по первому столбцу.
|
|
|
9 |
3 |
1 |
9 A 6 A 9 ( 1)2 |
|
2 |
3 |
|
6 ( 1)3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
6 |
2 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
11 |
21 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
9( 2 ( 3)) 6(3 ( 1)( 1)) 9( 2 3) 6(3 1)
1 1
9 12 21.
Аналогично найдем определители y , z , заменяя 2-й и 3-й столбцы в определителе на свободные коэффициенты.
29 1
|
|
1 |
6 |
3 3 A 1 A 3 ( 1)4 |
9 |
1 |
|
y |
|
( 1)6 |
|||||
|
|
|
31 |
33 |
6 |
3 |
|
|
|
3 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
29
3(27 ( 6)( 1)) ( 12 9) 3(27 6) 21 42.
1 6
y вычислили, разложив по элементам третьей строки. z вы-
числим также.
|
|
|
|
|
2 |
3 |
9 |
3 A 1 A 3 ( 1)4 |
|
3 |
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
1 |
|
2 |
6 |
|
1 ( 1)5 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
9 |
|
3( 18 9( 2)) ( 12 9) 3( 18 18) ( 12 9) 21. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
1 |
6 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда решение системы получаем как отношение определителей
4
x |
|
x |
|
21 |
y |
y |
42 |
|
2; z |
|
z |
|
21 |
|||
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|||||||||
|
|
21 |
|
21 |
|
|
|
б) Решим эту же систему матричным методом. Для этого перепишем систему линейных уравнений в матричном виде. Пусть матрица A составлена из коэффициентов при неизвестных в левой части системы уравнений.
2 |
3 |
1 |
||
|
|
2 |
|
|
A 1 |
3 |
|||
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
x
Матрица |
X y – столбец неизвестных |
системы. Матрица |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
– столбец свободных коэффициентов. Тогда исходная |
||||
B |
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
система может быть записана в виде |
|
|
||||
|
|
2 |
3 |
1 x |
|
9 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
A X B, 1 |
3 y 6 . |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 z |
|
0 |
Выразим матрицу X из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на A 1 с левой стороны: A 1 A X A 1 B. По свойству обратной матрицы A 1 A E , где E – единичная матрица.
E X A 1 B , т.к. E X X , получаем X A 1 B .
5
Следовательно, чтобы получить решение системы, нужно найти
обратную матрицу A 1 к матрице A и умножить ее на матрицу
B .
Найдем определитель матрицы A
2 3 1
A |
1 |
2 |
3 21. |
31 1
Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы
A.
A11 ( 1)2
A12 ( 1)3
A13 ( 1)4
A21 ( 1)3
A22 ( 1)4
A23 ( 1)5
A31 ( 1)4
A32 ( 1)5
A33 ( 1)6
2 |
3 |
|
2 ( 3) 1, |
1 1
1 3
1(1 9) 8,
31
1 2
1 3 ( 2) 5 ,
31
31
1(3 ( 1)( 1)) 2,
1 1
21
2 3 ( 1) 5 ,
31
23
( 2 9) 11,
3 1
31
9 ( 1)( 2) 7 ,
2 3
21
(6 ( 1)) 7 ,
13
23
4 3 7 .
1 2
Составим матрицу из алгебраических дополнений
6
|
|
1 |
8 |
5 |
|
* |
|
|
5 |
11 |
|
A 2 |
. |
||||
|
|
7 |
7 |
7 |
|
|
|
|
Перепишем строчки в столбцы, т.е. проведем операцию транспонирования.
|
1 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||
*T |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
8 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
11 |
7 |
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
7 |
|
||
Найдем обратную матрицу A 1 |
|
A*T |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
5 |
7 |
. |
||||
|
A |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
21 |
|
11 |
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Найдем матрицу неизвестных X
|
1 |
|
1 |
2 |
7 |
|
|
9 |
|
||
X A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B |
|
|
8 5 |
7 6 |
|||||||
|
|||||||||||
|
21 |
|
5 |
11 |
7 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9 ( 2) ( 6) 7 0 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 9 5 ( 6) 7 0 |
|
|
|
|
42 |
|
|
|
2 . |
||
|
|
|
||||||||||||
21 |
|
|
21 |
|
|
|
||||||||
|
5 9 11 ( 6) 7 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
1 |
Следовательно, решение системы: x 1; y 2; z 1. Пример: Найти 3A 2B C , где
|
0 |
3 |
1 |
|
2 |
1 |
|
4 |
7 |
1 |
|||||
A |
|
2 |
5 |
4 |
|
; B |
|
1 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
; C |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
3 |
|
||||
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
4 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем 2B , умножив каждый элемент матрицы B на 2.
7
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
2B |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
4 |
2 |
|
|
4 |
7 |
|
12 |
|
||
Найдем 2B C |
|
2 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
5 |
|
3 |
|
|||
|
|
8 |
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 ( 2) 2 |
4 ( 7) ( 2) 5 |
4 1 ( 2) ( 3) |
||||||||
|
2 4 0 2 |
2 ( 7) 0 5 |
2 1 0 ( 3) |
|
||||||
|
|
|||||||||
|
8 4 ( 4) 2 |
8 ( 7) ( 4) 5 |
8 1 ( 4) ( 3) |
|
||||||
|
|
|||||||||
16 4 |
28 10 |
4 6 |
|
12 |
38 |
10 |
|
|
||
|
|
14 0 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
8 0 |
2 0 8 |
2 . |
|
|||||||
|
32 8 |
56 20 |
8 12 |
|
|
76 |
20 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
Следовательно, 3A 2B C |
|
|
|
|
|
|||
0 |
3 |
1 |
12 |
38 |
10 |
0 |
9 |
3 |
|
|
|
|
14 |
|
|
15 |
|
3 2 5 |
4 8 |
2 6 |
12 |
|||||
|
1 |
|
|
76 |
|
|
|
|
1 |
3 |
24 |
20 |
3 3 |
9 |
12 |
38 |
10 |
|
12 |
29 |
7 |
||
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
8 |
2 14 |
1 14 |
||||||
|
24 |
76 |
20 |
|
|
27 |
73 |
|
|
|
|
11 |
Задание № 4, 5, 6. Для выполнения этих заданий нужно изучить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Рассмотреть случаи, когда система имеет единственное решение, множество решений, не имеет решений.
Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай единственного решения).
8
2x1 5x2 8x3 8,
4x1 3x2 9x3 9,
2x1 3x2 5x3 7,
x1 8x2 7x3 12.
Выпишем коэффициенты при неизвестных и свободные коэффициенты в виде матрицы
2 5 8 |
8 |
|
1 8 7 |
12 |
|
|
|||||||
|
|
3 |
9 |
9 |
|
|
|
|
3 |
9 |
9 |
|
II+I(–4) |
4 |
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
7 |
|
2 |
3 |
5 |
7 |
III+I(–2) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
8 |
7 |
12 |
|
|
|
2 |
5 |
8 |
8 |
|
IV+I(–2) |
|
|
|
|
|
Поменяем первую и четвертую строки местами, чтобы получить в первом уравнении коэффициент при x1 равный 1. Получим ко-
эффициенты при x1 во второй, третьей и четвертой строках равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–4), к третьей – первую, умноженную на (–2), к четвертой – первую, умноженную на (–2).
1 |
8 |
7 |
12 |
|
||
|
|
29 |
19 |
|
|
|
0 |
39 |
|
||||
|
0 |
13 |
9 |
17 |
|
|
|
|
III+IV(–1) |
||||
|
0 |
11 |
6 |
16 |
|
|
|
|
|
1 |
8 |
7 |
12 |
|
||
|
|
29 |
19 |
|
|
|
0 |
39 |
|
||||
|
0 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
11 |
6 |
16 |
|
IV+III(–5) |
|
|
9