4.3. Дифференциальное уравнение неразрывности

Получим интегральное, а затем дифференциальное уравнение неразрывности для общего случая движения трехмерного нестационарного потока жидкой или газообразной среды.

В соответствии с методом Эйлера выделим в движущемся потоке неизменный пространственный объем W, ограниченный замкнутой поверхностью S. В этом объеме выделим элементарный объем dW, имеющий массу dW (рис. 4.10).

Рис. 4.10. К выводу дифференциального уравнения неразрывности

Во всем объеме W заключена масса жидкости, равная . Изменение массы в данном объеме в единицу времени можно записать как. Такое изменение обусловлено разностью масс втекающей и вытекающей жидкости. Через элемент поверхностиdS в единицу времени протекает масса жидкости , занимающего объемили (где – внешняя нормаль элемента поверхностиdS). Через всю неподвижную поверхность S протекает масса жидкости . Согласно закону сохранения массы при отсутствии источников и стоков изменение в единицу времени массы жидкости, заключенной в объемеW, должно быть равно потоку массы жидкости через недвижную поверхность S, ограничивающую этот объем

(4.6)

Уравнение (4.6) представляет собой интегральное уравнение неразрывности в форме Эйлера.

За положительное направление нормали принято направление из объема. Произведениедля втекающего потока будет отрицательным, а для вытекающего положительным. Если вытекает больше, чем втекает , , т.к. .

Для получения дифференциального уравнения неразрывности преобразуем в уравнении (4.6) поверхностный интеграл в объемный с помощью формулы Остроградского-Гауса

.

Подставляя полученное выражение в уравнение (4.6) и объединяя интегралы, получим

Учитывая, что объем при интегрировании выбирался произвольно (т.е. может быть равен dW), приравняем подынтегральную функцию нулю и получим дифференциальное уравнение неразрывности

(4.7)

или

Уравнение (4.7) – дифференциальное уравнение закона сохранения массы или уравнение неразрывности.

В случае несжимаемой жидкости  = const и уравнение (4.7) запишется в виде

(4.8)

Физический смысл этого уравнения – скорость объемной деформации несжимаемой жидкости равна 0. При движении несжимаемой жидкости ее объем остается постоянным, изменяется только форма объема.

Из уравнений (4.7) и (4.8), как частные случаи, легко получаются уравнения для стационарного, двумерного и одномерного течений.