3. Основы теории

   1. . Физическая модель

Траектория полета ракеты является сложной кривой.

В общем случае при описании траектории движения летательного аппарата (ЛА) необходимо учитывать кривизну Земли, скорость вращения Земли, наличие ветра, изменение ускорения свободного падения по высоте, изменение плотности воздуха по высоте, наличие угловых скоростей вращения ЛА, изменение силы тяги в полете и т.д.. Таким образом, математическая модель, описывающая пространственное движение ЛА представляет собой сложную систему уравнений, включающую в себя уравнения поступательного движения центра масс ЛА переменной массы брошенного под углом к горизонту и вращательного движения вокруг центра масс.

Траектория полета делится на два участка:активный(с работающим двигателем, то есть на ЛА действует сила тяги) ипассивный(с неработающим двигателем, соответственно, сила тяги отсутствует).

Для упрощения расчетов примем следующие допущения:

- Земля плоская и ее вращение отсутствует;

- движение происходит без колебаний вокруг продольной оси ракеты;

- полет проходит на высотах, где изменением плотности воздуха и ускорения свободного паденияgможно пренебречь, т.е.g=const и =const.

- сила тяги Рпостоянна в течение всего времени активного участкаt_a, т.е.P=const.

На рисунке 1 показана физическая модель движения ЛА, согласно которой ЛА заменяем материальной точкой, в которой приложены все силы, действующие на него. Такой точкой является центр масс. В произвольный момент времени на ЛА действуют следующие силы: Р– сила тяги,Х– сила лобового сопротивления,G=mg– сила тяжести.

Рисунок 1. Схема сил, действующих на центр масс ЛА

ЛА запускается при следующих начальных условиях: с земли (x₀,y₀)=(0,0) под угломθ=θ₀к горизонту со скоростьюV=V₀. Изменение массы ЛА определяется соотношением

,

где m(t)- текущая масса ЛА;

m_t– масса топлива

t- текущее время полета.

С учетом принятых допущений центр масс ракеты будет совершать поступательное движение под действием сил, действующих в одной плоскости: Методика расчета траектории базируется на основном законе механики (втором законе Ньютона), связывающем ускорение, испытываемое точкой массой mпод действием силыF:

(1)

Если на тело действует несколько сил, то является равнодействующей. С учетом этого уравнение (1) для принятой физической модели полета

(2)

2. . Математическая модель траектории полета ла

В соответствие с принятой физической моделью в основе математической модели, описывающей траекторию полета неуправляемого ЛА, лежит система уравнений, описывающих движение тела переменной массы, брошенного под углом к горизонту.

Так как ускорение является производной скорости, то уравнение (2) можно преобразовать следующим образом:

(3)

Запишем уравнение (3) в проекциях на оси x, y

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

где – координаты центра масс ЛА на траектории;

– коэффициент аэродинамического сопротивления;

– плотность воздуха;

– площадь миделя (d– калибр ЛА);

- конечная масса ЛА.

Уравнения (3)-(9) составляют систему дифференциальных уравнений полностью описывающих движение ЛА на траектории в соответствие с принятой физической моделью. Для получения координат необходимо решить эту систему, используя численный метод.