Исследование операций практика

Часть 2

Расчет серии опытов при движении по градиенту

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм2 и 800 мм2. Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. При постановке полного факторного эксперимента получены следующие значения откликов7 (таблица 7):

Таблица 7 Результаты эксперимента при получении линейной модели

Интервал			Вид металла			Площадь			Усилие,
варьирования			х1			поверхности			развиваемое
и						образцов			разрывной
уровни факторов							х2		машиной
									х3
Нулевой уровень			22			550		750
Интервал			6			50		100
варьирования
Нижний уровень			16			500		650
Верхний уровень			28			600		850
			Реализация		эксперимента
№ опыта		х1		х2			х3
1		-		-			-		9,33
2		+		-			-		11
3		-		+			-		14
4		+		+			-		15,67
5		-		-			+		12,33
6		+		-			+		14,33
7		-		+			+		14
8		+		+			+		19
= 13,71 + 1,96	х .
По результатам эксперимента получена адекватная линейная модель:

Необходимо совершить движение по градиенту в поисках оптимума. Наилучшим результатом отклика является его максимальное значение.

Решение:

1. Анализ линейной модели.

7 В качестве значений откликов взяты значения средней величины по трем сериям опытов.

11

Линейная модель, полученная в части1, не дает полного представления об эксперименте, поскольку содержит только один фактор, влияющий на значение отклика.

Из технологических соображений при движении по градиенту примем

линейную модель с коэффициентами регрессии, значения которых не менее
эксперимента:		=	13,71	+ 1,29х + 1,96х + 1,21х		.		8
2.
1,21. Таким		образом получим			предполагаемую		линейную	модель
	Оформление таблицы расчетов, необходимых при движении по
градиенту.
Расчеты,		необходимые при			движении по		градиенту, сведены в

таблицу 8. Таблица 8 состоит из двух частей. В первой части таблицы указываются:

-нулевые уровни факторов, такие же, как при постановке эксперимента при выводе линейной модели;

-интервалы варьирования уровней факторов, такие же, как при

постановке эксперимента при выводе линейной модели

;

-

коэффициенты

регрессии,

стоящие

в

предполагаемой

линейной

модели9, соответствующие уровням факторов

;

- значения, соответствующие произведению интервала варьирования

фактора на соответствующий коэффициент регрессии

;

–

К =

|

|

|

|

- коэффициент

, величина

которого рассчитывается по формуле:

,

где

(11)

|

|

максимальное значение данного произведения;

-

величина

нового

интервала

варьирования

Для

фактора,

имеющего

максимальное значение произведения

,

величина.

нового

интервала

устанавливается

произвольно.

Для

остальных

факторов

величина

расчитывается по формуле:

выбранное

выбранноеК ,

где

(12)

–

выбранное

= значение нового интервала для фактора,

имеющего максимальное значение произведения

;

окр для каждого

- округленное значение величины нового интервала

фактора.

Во второй части таблицы указываются:

- номера опытов (тип эксперимента соответствует типу при выводе линейной модели);

8	Предполагаемая линейная модель обозначается как .
9
	Если линейная модель содержит более одного фактора, вводить предполагаемую линейную модель не

следует.

12

-значения факторов, полученные путем алгебраического сложения нулевого уровня с новым(рассчитанным или установленным) интервалом варьирования;

-значения откликов с учетом дублирования(в данном случае три серии опытов);

-среднее значение отклика по результатам трех серий опытов.

																Таблица 8
		Расчеты, необходимые при движении по градиенту
Интервал				Вид металла				Площадь поверхности									Усилие,
варьирования				х1						образцов						развиваемое
и										х2						разрывной
уровни факторов																машиной
																	х3
Нулевой уровень			22						550								750
Интервал			6						50								100
варьирования
Коэффициент			1,96						1,96								1,21
регрессии
Значение			11,76						98								121
			0,097						0,81								1
			1,94						16,2								20
окр			2,0						16,0								20
				Реализация				эксперимента
№ опыта		х1		х2			х3			у1		у2				у3
1		24		566			770			-		-				-		-
2		26		582			790			-		-				-		-
3		-		598			810			-		-				-		-
4		-		614			830			-		-				-		-
5		-		630			850			-		-				-		-
6		-		646			870			-		-				-		-
7		-		662			890			-		-				-		-
8		-		678			910			-		-				-		-
Как видно из таблицы8, реализовать в полной мере данный
эксперимент невозможно, поскольку максимальное количество примесей в
металле составляет 26%, в то время как по данным расчетам требуется, чтобы
уже с третьего опыта в							эксперименте					принимал					участие		металл
содержанием в нем примесей 28%.
Следовательно, необходимо пересмотреть интервал варьирования для
фактора х3	и пересчитать интервалы варьирования для факторов х1																и х2.
Откорректированные						расчеты,			необходимые				при			движении				по
градиенту, сведены в таблицу 9.
							13

х1=24;

			Таблица 9
	Откорректированные расчеты, необходимые
	при движении по градиенту
Интервал	Вид металла	Площадь поверхности	Усилие,
варьирования	х1	образцов	развиваемое
и		х2	разрывной
уровни факторов			машиной
			х3
Нулевой уровень	22	550	750
Интервал	6	50	100
варьирования
Коэффициент	1,96	1,96	1,21
регрессии
Значение	11,76	98	121
	0,097	0,81	1
	0,97	8,1	10
окр	1	2	10

Реализация эксперимента

№ опыта	х1	х2	х3	у1	у2	у3
1	23	552	750	15	16	14	15
2	24	554	760	21	22	20	21
3	25	556	770	17	17	16	16,7
4	26	558	780	13	14	12	13
5	-	560	790	-	-	-	-
6	-	562	800	-	-	-	-
7	-	564	810	-	-	-	-
8	-	566	820	-	-	-	-

Как видно из таблицы 9, вследствие отсутствия металла, содержащего более 26% примесей, возможно проведение только4 опытов. Однако реализация эксперимента, состоящего из 4 опытов, позволила определить точку нахождения оптимума.

Поскольку в данном эксперименте наилучшим результатом отклика считается его максимальное значение (время до полного разрушения образца, выраженное в секундах), точка оптимума наблюдается во втором опыте эксперимента при значении откликаy=21 и значениях факторов

х2=554; х3=760.

Дальнейшее описание эксперимента следует проводить в точке оптимума.

14

Часть 3

Ортогональные планы второго порядка

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм2 и 800 мм2. Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. Движение по градиенту позволило выявить экстремум поверхности отклика: х1=24, х2=554, х3=760, y=21. Необходимо описать поверхность отклика вблизи точки экстремума с применением ортогонального планирования.

Решение:

Как правило, вблизи точки экстремума поверхность функции отклика имеет значительную кривизну и не может быть адекватно описана ни при помощи линейной модели, ни при помощи неполного квадратного уравнения.

В этих случаях, руководствуясь идеей шагового эксперимента, необходимо попытаться описать исследуемую поверхность отклика полным уравнением второй степени.

1. Вывод линейной модели в области экстремума.

1.1. Составление плана эксперимента и его реализация10.

План эксперимента, проводимого в точке экстремума, и непосредственная его реализация, представлены в таблице 1011.

Таблица 10 План и реализация эксперимента в точке экстремума

Интервал	Вид металла	Площадь поверхности	Усилие,
варьирования	х1	образцов	развиваемое
и		х2	разрывной
уровни факторов			машиной
			х3
Нулевой уровень	24	554	760
Интервал	2	54	60
варьирования
Нижний уровень	22	500	700
Верхний уровень	26	608	820

Реализация эксперимента

№ опыта	х1	х2	х3	у1	у2	у3
1	-	-	-	23	24	24	23,6
2	+	-	-	23	23	23	23

10Перед реализацией плана эксперимента рандомизация опытов обязательна.

11Методика планирования эксперимента при выводе линейной модели представлена в части1.

15

3	-	+	-	19	18	19	18,7
4	+	+	-	24	22	24	23,3
5	-	-	+	19	19	18	18,7
6	+	-	+	17	16	18	17
7	-	+	+	16	18	16	16,7
8	+	+	+	12	14	13	13

1.2. Проверка воспроизводимости опытов и определение дисперсии

воспроизводимости.								(				,	)		(		,		)		;= 0,18;
=		(		,	)
Значения дисперсий опытов:
=		(		)		(					)		(			)	= 0									;
		(		,	)			(				,	)		(
=																	,	)			= 0,045;
		(		,	)			(				,	)		(		,		)
=																					= 0,245;
		(		,	)			(				,	)		(		,	)
=																					;= 0,045
		(		)		(					)		(			)	= 0
=																					=.	0,245					;
		(		)		(					)		(			)
=					)			(				,			(		,		)
		(		,									)
Табличный					критерий Кохрена=:														0,5							=0,5157.
=		,
=					,				,				,				,	G(			,	= 0,194 < 0,5157
Воспроизводимость опытов:																					,	; ; )
воспроизводимы.					,					,	,			,			,					,								.	,	опыты
			,
Дисперсия воспроизводимости:
1.3.=																									.= 0,1575
		Расчет коэффициентов регрессии
=			,				,			,				,			,				= 19,25;								;
Получены следующие коэффициенты:
=				,				,			,				,				,					= −0,175
=				,				,			,				,				,					= −1,325;
				,				,			,				,				,
=																								= −2,9;
				,				,			,				,				,									;
=																						= 0,4
=				,				,			,				,				,				= −1,175
																	16

	=						,	,			,	,		,	,		,			,					,	,				= −0,175.
	=																															= −0,9		;
1.4.								линейная							модель:								= 19,25.															− 2,9х +
Получена																																− 0,175х − 1,325х
	Получение линейной модели.
0,4х х 1− 1,175х х									− 0,175х х											− 0,9х х х
( ,	;				) = 4,3					∆			= 4,3											= 0,6
									;								√			√
																				,							.
.5. Установление значимости коэффициентов регрессии.
=					,					,			,		,								,				= 19,25;
Значимые коэффициенты:
=																														= −1,325;
							,				,			,			,								,
							,				,			,			,								,
=																														= −2,9				;
							,				,			,			,								,
	=							,				,			,					,						,				=	−1,175.
1.6.
	=																															= −0,9
	Получение линейной модели с учетом значимости коэффициентов
регрессии.			= 19,25 − 1,325х															− 2,9х								− 1,175х х − 0,9х х х
1.7.
Получена следующая модель с учетом значимости коэффициентов
регрессии:																																					.
	Проверка адекватности линейной модели.
Результаты										расчетов,								необходимые														для		определения дисперсии
адекватности, сведены в таблицу 11.
																																					Таблица 11
							Результаты расчета, необходимые для определения
																дисперсии адекватности
№ опыта																																		расч				расч
1					23,6							-					-								+							-						0,16
																																		23,2
2							23					-					-									-						+		21,4				2,56
3					18,7							+					-								+							+		18,75				0,0025
4					23,3							+					-									-						-		22,9				0,16
5					18,7							-					+									-						+		17,95				0,5625
6							17					-					+								+							-		17,4				0,16
7					16,7							+					+									-						-		17,1				0,16
8							13					+					+								+							+		12,95				0,0025
ад	=				,			,			,				,					(			17,			;	; ) 19,247.							= 4,0025	.
																				,						,	,					,
Дисперсия адекватности:

Значение критерия Фишера:

=	,	= 25,41 >		= 19,247	.
	,
Проверка адекватности линейной модели:
0,9х х х	неадекватна.		= 19,25 − 1,325х − 2,9х − 1,175х х						−
		модель( , ; ;	)
Линейная
Как было отмечено ранее, в точке экстремума целесообразно
использовать планирование второго порядка.
2.	Вывод	ортогональной		модели		второй	степени	в	област

экстремума.

2.1. Наращивание точек.

Примем опыты, результаты которых представлены в таблице10, в качестве ядра ортогонального плана второго порядка. Чтобы достроить этот план до плана второго порядка, необходимо поставить опыты на некотором

расстоянии d12 от центра, в так называемых, звездных точках							и на нулевом
уровне.
Нулевой уровень принимается таким , жекак при движении по
градиенту в найденной точке оптимума.
Звездные точки или расстояние d от центра плана устанавливаются из
условия ортогональности плана, так,					чтобы скалярные		произведения
векторов-столбцов в матрице независимых переменных были равны 0.
=				,	где	(13)
=			,		где	(14)

к – количество факторов, участвующих в эксперименте, n – число опытов в эксперименте (без дублирований).

Количество звездных точек, а также точек на нулевом уровне при ортогональном планировании различно в зависимости от типа эксперимента.

Количество звездных точек и точек на нулевомуровне для ортогонального эксперимента типа 23 представлено в таблице 12.

Таблица 12 Количество звездных точек и точек на нулевом уровне для

ортогонального эксперимента типа 23

	Число	Ядро		Число точек			Величина
	факторов	плана					плеча d
			В ядре	Звездные	На	Общее
	к
			плана		нулевом
					уровне

12 Расстояние d также называется плечом.

18

		23													=	2
3				8			6			1		15				15
															≈ 0,73.
															, =	.	≈	плана
	Значения		факторов			на	нулевом уровне и				в звездных				точках
															1,215
представлены в таблице 13.
													Таблица 13
		Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках
Уровень факторов						х1				х2					х3
Нулевая точка						24				554			760
Интервал						2				54					60
варьирования
Нижний уровень						22				500			700
Верхний уровень						26				608			820
Звездная точка -d						20				620!			700
Звездная точка +d						2813				588			820
	2.2. Составление плана эксперимента.
	Условия		опытов			для	нахождения			ортогональной модели						второго
порядка в эксперименте типа 23 представлены в таблице 14.

Таблица 14 Условия опытов для нахождения ортогональной модели второго

порядка в эксперименте типа 23

№	х0	х1	х2	х3				х1 х2	х1 х3	х2 х3
опыта
				Планирование типа 23			15
					15	15
1	+1	-1	-1	-1	15	15	15	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1				-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	15	15	15	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1	15	15	15	+1	-1	-1
5	+1	-1	-1	+1	15	15	15	+1	-1	-1
6	+1	+1	-1	+1	15	15	15	-1	+1	-1
					15	15	15

13 Необходимо следить, чтобы при выборе звездных точек значения факторов не выходили за границы установленного в условии задачи диапазона. Значение фактора x1 в звездной точке +d вышло за максимальное значение диапазона. Предположим, что экспериментаторам удалось найти материал с содержанием в нем примесей 28%.

19

7	+1	-1	+1	+1	15	15	15	-1	-1	+1
8	+1	+1	+1	+1				+1	+1	+1

				Звездные точки			15
					15	15
1	+1	-1,215	0	0	30	15	15	0	0	0
2	+1	+1,21	0	0				0	0	0
		5
3	+1	0	-1,215	0	30	15	15	0	0	0
4	+1	0	+1,21	0	15	30	15	0	0	0
			5
5	+1	0	0	-1,215	15	30	15	0	0	0
6	+1	0	0	+1,215	15	15	30	0	0	0

						Нулевая точка			30
						15		15
1	+1	0	0		0						0	0	0
				эксперимента.				15	15
	2.3. Реализация			14 15		15				реализации			опытов,
	Значения		откликов			, полученные в			ходе

представлены в таблице 15.

Таблица 15 Значения откликов, полученные при выводе ортогональной модели

второго порядка в эксперименте типа 23.

№	у1	у2	у3
опыта
1	23	20	21	21,3
2	22	21	19	20,67
3	22	23	21	22
4	22	21	17	20
5	18	18	19	18,33
6	19	18	20	19
7	20	19	19	19,33
8	22	24	22	22,67
9	23	23	19	21,67
10	15	17	19	17
11	15	18	19	17,33
12	23	22	21	22
13	21	20	19	20

14Рандомизация опытов обязательна.

15Проводились 2 дублирования основного опыта (всего 3 серии опытов).

20