Исследование операций практика

								14						20				21			22		21
2.4. Проверка								15						21				22			24		22,33
													воспроизводимости опытов и определение дисперсии
воспроизводимости.
Определим						дисперсии										опытов,				подставляя			известные			значения в
=			, )					= 1,445;
формулу (3):(										=;		0,88		;
=	(		,			)
	(		)
=						= 0;
	(		)
=						=				2				;
	(		,
=						)			=;			0,05
	(		)
=						=			0			;
	(		,
=						)				= 0,22;
	(		,			)
=										= 0,22;
	(		,			)
=									=			;0,88
		(	)
=						=					2				;
		(	,
=								)	= 2,71;
		(	)
=							= 0,5;
		(	)
=							= 0,5;
	(		)
=						= 0,5 .
=		(	,					)	= 0,88
Определим табличное значение критерия Кохрена:
=n=15;							=m-1 =3-1=2.
По таблице,						расположенной												в приложении 1,						определяем табличное
значение критерия Кохрена:																			=0,3346.
Проверим									воспроизводимость												опытов,				воспользовавшись
			,									,			( ,	;		; )		,
, =	,															,		,			,		,	, , ,		= 0,208 <
неравенством (2):																		,

0,3346 следовательно, опыты воспроизводимы.

Дисперсию воспроизводимости определим по формуле (4) :

21

=

, ,

,

, , ,

, , , , ,

= 0,868.

2.5. Расчет коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии для ортогонального плана второго порядка определяются по формуле:

i – номер столбца в

матрице,

∑∑

,

где

(15)

=

х

элементы i-го столбца,

-–значения отклика в u-том эксперименте.

Значения

получены путем суммирования возведенных в

значений факторов в каждом столбце.

квадрат кодовых ∑

1 +1 +1 +1 + 1 +1 + 1 +1 +1 +1 +

∑

= 1 +.

Для столбца

х

получим:

1 +1 +1 +1 = 15

х

+ 1 +(.−1) +1 +(−1)

+ 1 +(−1)

+ 1

+

∑

= (−1)

Для столбца

получим:

(−1,215)

+ 1,215

х= 10,9544

+1 +1 +(−1)

+ (−1) +1

+ 1

+

∑

= (−1)

+ (−1).

Для столбца

получим:

(−1,215)

+ 1,215

х= 10,9544

+(−1) +(−1) +1

+ 1 +1

+ 1

+

∑

= (−1)

+ (−1).

Для столбца

получим:

(−1,215)

+ 1,215

= 10,9544

∑

х

−

+

+

+

+

+

+

+.

− =

Для столбца

получим:

+

−

+

−

+

−

= 4,364

+Для

+

х

+ − + −

∑

−

+

+

+

+

+

+

+.

− =

+

−

столбца

получим:

+

−

+

−

+

−

= 4,364

+

−

−

+

+

Для столбца

х

получим:

22

∑

−

−

=

+

+

−

+

+

+

−

+

+.

+

+ −1

2

+ −

+

+

+

+

+

= 4,364

∑

х х

= 11

+ (−1)

(−1) +1 +1 +

(−1) +(−1)

+ 1 = 8

Для столбца х

х

получим:

∑

х х

= 12

+ (−1)

+ 1 + (−1) +(−1) + 1 +(−1)

.

+ 1 = 8

Для столбца х

х3

получим:

∑

х х

.

в

= 1 + 1 + (−1) + (−1) +(−1) + (−1) + 1 + 1 = 8

Для столбца х

х3

получим:

∑

.

Значения

для

различных

кодовых

переменных

сведены

таблицу 16.

∑

Таблица 16

Значения

для ортогонального плана второго порядка

эксперимента типа 23.

Столбец в матрице планирования

Значения

для ортогонального

плана

второго

порядка

эксперимента

типа 23

15

10,9544

8

4,364

= ∑

=

:

;

Определим коэффициент

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

= ∑

,

х

,

=

,

,

,

,

,

= 203

;

Определим коэффициент

:

,

,

= ∑

,

х

,

=

,

,

:

,

,

,

;

Определим коэффициент,

= −0,4

= ∑

,

х

=

:

;

Определим коэффициент,

= 0,94

,

,

,

, ,

,

23

,

,

= −0,31

			/ = ∑				,	=						/	:
			Определим коэффициент																								+
,			,								,			,					,	,	,			,
							,					,						;
			/ = ∑					=						=/−:		0,48
			Определим,					коэффициент																				+
,			,								,							,		,	,					,
																,
			Определим,									= −0,25:
											,			/		;
			/ = ∑				,	=
								коэффициент
,			,								,							,		,	,				+
			,									,		,		,		,		;	,
		;	/ = ∑					=			,			/	:					,				=
			Определим					,коэффициент										= 0,15
	;		/ = ∑					=			,	,		/	:			,		,	,			=
0,163			Определим коэффициент
0,83
	.		/ = ∑					=			,	,		/	:			,		,	,			=
			Определим коэффициент
0,58

2.6. Получение

Ортогональная следующим− /образом− :

ортогональной модели второго порядка.										+	+
=	−		+		−		+ .
модель	второго порядка в общем виде записывается
− /		−			+ / (	−			)

24

уравнение

регрессии:

= 20,3 − 0,4

+ 0,94

− 0,31 + 0,163.

+

По данным, рассчитанным в пункте 2.5 части 3, получим следующее

0,83

+ 0,58

− 0,48

−

− 0,25

−

+ 0,15(

−

)

Для того чтобы перейти к

обычной

форме

записи

уравнен

регрессии,

необходимо найти величину

-

=

/

,

где

(14)

-

величина,

н

еобходимая

для

построения

ортогональных планов

=

−

∑

второго порядка,

;

коэффициенты регрессии при квадратных членах уравнения в

модели.

= 20,3 − (−0,48 − 0,25 + 0,15)

= 20,73

= 20,73 −

/

.

0,4

Рассчитаем величину /:

+ 0,83

+ 0,58

− 0,48

−

+ 0,94

−.

0,31

+ 0,163

0,25

Перейдем к обычной форме записи уравнения регрессии:

+ 0,15

2.7. Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Определим 5% точку

распределения

Стьюдента.

По

таблице,

Определяем

:

√ ,

(

,

;

) =

.4,3

5%

точку

распределения

представленной

в

∆

приложении2,

определяем

Значение

∆

= 4,3

√

= 1,03

.

Стьюдента с

16

степенями свободы:

коэффициента регрессии не должно быть меньше 1,03.

2.8. Получение ортогональной модели второго порядка с учетом

значимости коэффициентов регрессии.

Из технологических соображений примем значимыми коэффициенты,

значения

которых

по

модулю

не

ниже0,2.

С

учетом

значимости

= 20,73.

− 0,4

+ 0,94

− 0,31

+ 0,83

+ 0,58

− 0,48

−

коэффициентов регрессии получим квадратичную ортогональную модель:

0,25

2.9.Проверка адекватности квадратичной ортогональной модели.

Для

установления

значения

дисперсии

адекватности

необходимо

получить расчетные значения откликов. Расчетные значения откликов получаются путем подстановки кодовых значений факторов в модель(в уравнение регрессии).

Кодовые значения факторов представлены в таблице 17.

16	определялось в п. 2.4 части 3;	= 2.
			25

																Таблица 17
									Кодовые значения факторов
			№
		опыта
			1				-		-	-	+			+	+			+
			2				+		-	-	-			+	+			+
			3				-		+	-	+			-	+			+
			4				+		+	-	-			-	+			+
			5				-		-	+	-			-	+			+
			6				+		-	+	+			-	+			+
			7				-		+	+	-			+	+			+
			8				+		+	+	+			+	+			+
			9				-1,215		0	0	0			0	1,476			0
			10				+1,215		0	0	0			0	1,476			0
			11				0		-1,215	0	0			0	0			1,476
			12				0		+1,215	0	0			0	0			1,476
			13				0		0	-1,215	0			0	0			0
			14				0		0	+1,215	0			0	0			0
			15				= 20,73		0	0	+ 0,83			0,58 − 0,48 −				0
			;	расч									+					0,25 =
								+ 0,4 − 0,94 + 0,31
			По полученной ранее модели рассчитаем значения откликов:
21,78;				расч = 20,73 − 0,4 − 0,94 + 0,31 − 0,83 + 0,58 − 0,48 − 0,25 =
18,72				расч = 20,73 + 0,4 + 0,94 + 0,31 + 0,83 − 0,58 − 0,48 − 0,25 =
21,9		;
			;	расч = 20,73 − 0,4 + 0,94 + 0,31 − 0,83 − 0,58 − 0,48 − 0,25 =
19,44;				расч = 20,73 + 0,4 − 0,94 − 0,31 − 0,83 + 0,58 − 0,48 − 0,25 =
18,32				расч = 20,73 − 0,4 − 0,94 − 0,31 + 0,83 − 0,58 − 0,48 − 0,25 =
18,6		;
			;	расч = 20,73 + 0,4 + 0,94 − 0,31 − 0,83 + 0,58 − 0,48 − 0,25 =
20,78;				расч = 20,73 − 0,4 + 0,94 − 0,31 + 0,83 + 0,58 − 0,48 − 0,25 =
21,64				расч = 20,73 − 0,4 (−1,215) − 0,48 (−1,215)											=;	20,508;
					расч = 20,73 − 0,4 1,215 − 0,48 1,215									= 19,54			;
					расч = 20,73 + 0,94 (−1,215)						− 0,25 (−1,215)					= 19,22
										26

расч = 20,73	+ 0,94	1,215 − 0,25 1,215;		= 21,5;
расч = 20,73	− 0,31	(−1,215) = 21,12;
расч = 20,73.− 0,31		1,215 = 20,35
расч = 20,73	расчета,	необходимые	для	17	значения
Результаты				установления

дисперсии адекватности квадратичной ортогональной модели, сведены в таблицу 18.

Таблица 18 Результаты расчета, необходимые для установления значения

дисперсии адекватности квадратичной ортогональной модели

опыта																									расч	−		расч)
	№
1			21,3				-				-					-		+	+				+	+	21,18	0,0144
2			20,67				+				-					-		-	+				+	+	18,72	3,8025
3			22				-				+					-		+	-				+	+	21,9	0,01
4			20				+				+					-		-	-				+	+	19,44	0,3136
5			18,33				-				-					+		-	-				+	+	18,32	0,0001
6			19				+				-					+		+	-				+	+	18,6	0,16
7			19,33				-				+					+		-	+				+	+	20,78	2,1025
8			22,67				+				+					+		+	+				+	+	21,64	1,0609
9			21,67				-1,215				0					0		0	0				1,476	0	20,51	1,3456
10			17				+1,215				0					0		0	0				1,476	0	19,54	6,4516
11			17,33				0				-1,215					0		0	0				0	1,476	19,22	3,5721
12			22				0				+1,215					0		0	0				0	1,476	21,5	0,25
13			20				0				0				-1,215			0	0				0	0	21,12	1,2544
14			21				0				0				+1,215			0	0				0	0	20,35	0,4225
15			22,33				0				0					0		0	0				0	0	20,73	2,56
			ад =			,			,			,				, .	,		,		,		,	,	,	+
		Дисперсия адекватности:
	,	,		,			,				,
		Значение критерия										Фишера:
														= 2,12			= 19,396
			=	,	,		= 2,44 <													.
		Проверка адекватности														линейной модели:
																	(	, ;	; )		19,247.
0,31									+ 0,58							− 0,48		− 0,25					= 20,73 − 0,4 + 0,94					−
		+ 0,83
		Ортогональная									квадратичная( , ; ; )							модель

адекватна.

17 Расчеты дисперсии адекватности квадратичной ортогональной модели аналогичны расчетам дисперсии адекватности линейной модели.

27

Часть 4

Рототабельные планы второго порядка

Задание:

Металлические, прямоугольной формы образцы испытывают на растяжение с целью определения времени до их разрушения. Испытывается два различных вида металла с содержанием в них примесей18% и 26% соответственно. Площадь поверхности образов различна, 300 мм2 и 800 мм2. Усилие, развиваемое разрывной машиной также различно: 500 кг и 1000 кг. Движение по градиенту позволило выявить экстремум поверхности отклика: х1=24, х2=554, х3=760, y=21. Необходимо описать поверхность отклика вблизи точки экстремума с применением рототабельного планирования.

Решение:

Как было показано в части3, линейная модель, представляющая эксперимент в точке экстремума неадекватна. В точке экстремума необходимо планирование второго порядка.

В отличие от ортогональных планов, рототабельные планы дают

возможность		предсказать		значение	функции		отклика	с	дисперсие,
одинаковой на разных расстояниях от центра .планаЭт								особенность
рототабельных планов служит критерием для оценки их качества.
С	точки		зрения	эффективности		применения, разница			между
ортогональным и рототабельным планированием не значительна, поэтому
модель, получаемая рототабельным планированием должна мало отличаться
от модели, полученной при помощи ортогональных планов.
1.	Вывод		рототабельной модели			второй	степени		в област

экстремума.

1.1. Наращивание точек.

Примем опыты, результаты которых представлены в таблице 10 части 3, в качестве ядра рототабельного плана второго порядка.

Чтобы достроить этот план до плана второго порядка, необходимо поставить опыты на некотором расстоянииd от центра, в так называемых, звездных точках и на нулевом уровне.

Нулевой уровень принимается таким , жекак при движении по градиенту в найденной точке оптимума18.

Расстояние,	на котором	устанавливаются звездные точки или
расстояние d 19 от	центра плана	при полном факторном рототабельном

эксперименте можно определить по формуле:

18Также как и при ортогональном планировании, при построении рототабельных планов в качестве ядра плана принимаются результаты, полученные при движении по градиенту.

19Расстояние d называется также плечом.

28

к – количество факторов,			,	где	(16)
	участвующих в эксперименте.
	≈ 2

Количество звездных точек, а также точек на нулевом уровне при рототабельном планировании различно в зависимости от типа эксперимента.

Количество звездных точек и точек на нулевомуровне для эксперимента типа 23 представлено в таблице 19.

Таблица 19 Количество звездных точек и точек на нулевом уровне для

эксперимента типа 23

	Число	Ядро		Число точек			Величина
	факторов	плана					плеча d
			В ядре	Звездные	На	Общее
	к
			плана		нулевом
					уровне
	3	23	8	6	6	20	≈ 1,682

Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках плана представлены в таблице 19.

Таблица 19 Значения факторов на нулевом уровне и в звездных точках при

рототабельном планировании

Уровень факторов	х1	х2	х3
Нулевая точка	24	554	760
Интервал	2	54	60
варьирования
Нижний уровень	22	500	700
Верхний уровень	26	608	820
Звездная точка -d	18,6	430	650
Звездная точка +d	31,420	732	930

1.2. Составление плана эксперимента.

Условия опытов для нахождения рототабельной модели второго порядка в эксперименте типа 23 представлены в таблице 20.

Таблица 20 Условия опытов для нахождения рототабельной модели второго

порядка в эксперименте типа 23

№

х0

х1

х2

х3

х1 х2 х1 х3 х2 х3

опыта

20 Необходимо следить, чтобы при выборе звездных точек значения факторов не выходили за границы установленного в условии задачи диапазона. Значение фактора x1 в звездной точке +d вышло за максимальное значение диапазона. Предположим, что экспериментаторам удалось найти материал с содержанием в нем примесей 31, 4%.

29

				Планирование типа 23
1	+1	-1	-1	-1		+	+	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1	+	+	+	-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	+	+	+	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1	+	+	+	+1	-1	-1
5	+1	-1	-1	+1	+	+	+	+1	-1	-1
6	+1	+1	-1	+1	+	+	+	-1	+1	-1
7	+1	-1	+1	+1	+	+	+	-1	-1	+1
8	+1	+1	+1	+1	+	+	+	+1	+1	+1

				Звездные точки
1	+1	-1,682	0	0		0	0	0	0	0
2	+1	+1,682	0	0	2,828	0	0	0	0	0
3	+1	0	-1,682	0	0		0	0	0	0
4	+1	0	+1,682	0	0	2,828	0	0	0	0
5	+1	0	0	-1,682	0	0		0	0	0
6	+1	0	0	+1,682	0	0	2,828	0	0	0

					Нулевая точка
1	+1	0	0	0		0	0	0	0	0	0
2	+1	0	0	0		0	0	0	0	0	0
3	+1	0	0	0		0	0	0	0	0	0
4	+1	0	0	0		0	0	0	0	0	0
5	+1	0	0	0		0	0	0	0	0	0
6	+1	0	0	0		0	0	0	0	0	0

2.3. Реализация эксперимента.
Значения	откликов, полученные	в	ходе	реализации	опытов,

представлены в таблице 21.

Таблица 21 Значения откликов21, полученные при выводе рототабельной модели

второго порядка в эксперименте типа 23.

№	у1	у2	у3
опыта
1	23	21	20	21,33
2	21	21	20	20,67
3	22	22	21	21,67
4	22	21	19	20,67
5	18	19	19	18,67
6	18	19	20	19
7	20	20	19	19,67
8	24	22	22	22,67
9	23	23	21	22,33
10	16	18	19	17,67

21 Проводилось два дублирования опытов.

30