1. Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурально го числа n. Легко убедиться, что если х и у - многочлены степени не выше n,то они будут обладать свойствами 1 – 8 ;

2. Множество геометрических векторов пространства R², исходящих из начала координат;

3. Множество всех матриц одного и того же размера m×n с введенными в нем операциями сложения матриц и умножения матрицы на число . В этом множестве нулевая матрица будет нулевым элементом. Матрица, полученная из матрицы А умножением всех ее элементов на число ( - 1), будет являться для матрицы А противоположным элементом ;

4. Множество всех функций, непрерывных на отрезке [ a , b ], с поточечными для функций операциями сложения и умножения на число.

5. Множество всех функций вида αе^t+be^-t, где α и b – произвольные вещественные числа.

44. Определение базиса линейного пространства.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

45. (*)Канонический базис n-мерного линейного пространства.

Вещественное линейное пространство L называется евклидовым, если в нём задана положительно определённая квадратичная форма. Это означает, что одна из квадратичных форм выделена и играет особую роль (играет роль выбора масштаба измерения) . Будем называть эту выделенную положительно определенную квадратичную форму основной квадратичной формой. Иначе можно сказать, что если в качестве основной квадратичной формы выбрана та, которая в стандартном базисе арифметического пространства (состоящем из столбцов единичной матрицы порядка n ) то базис имеет канонический вид.

46. Определение подпространства.

 Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства V такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в Vдействиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(V). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора , вектор  также принадлежал K, при любом ;

2. для всяких векторов , вектор  также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему: для всяких векторов , вектор  также принадлежал K для любых .

47. Теорема о разложении вектора по базису в линейном пространстве.

Любой вектор линейного пространства разлагается, причем единственным образом в линейной комбинации базисных векторов этого пространства.

Док-во: Рассмотрим ЛП размерностью n с базисом l₁, l₂, ... ,l_n, вектор а Є ЛП. Система векторов l₁, l₂, ... ,l_n, а, отсюда следует, что система ЛЗ, т.е. линейная комбинация α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n+α_n+1a = 0, есть ≠ 0 коэффициент.

Покажем, что коэффициент α_n+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что α_n+1 = 0, тогда α₁l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n+0 a = 0, отсюда следует, что α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n = 0 и есть ≠ 0 коэффициент.

Получили противоречие тому, что базис l₁, l₂, ... ,l_n- ЛНЗ, отсюда следует α_n+1 ≠ 0.

Следовательно, мы доказали, что коэффициент α_n+1 ≠ 0.

Разделим на коэффициент α_n+1.

отсюда следует, что вектор а - ЛК базисов.

Докажем единственность разложения базиса от противного.

Пусть есть два разложения вектора а по базису.

a = α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

a = β ₁ l₁+ β ₂ l₂+ ... + β _n l_n

0 = (α₁- β₁) l₁+ (α₂- β₂) l₂+ … + (α_n- β_n) l_n, т.к. базис - ЛНЗ, то коэффициенты α₁- β₁=0, α₂- β₂=0, α_n- β_n=0, отсюда следует α₁=β₁, α₂=β₂ , α_n=β_n коэффициенты совпали. Единственность разложения доказана.

48. Определение координат вектора в линейном пространстве.