1.1.9. Контрольные вопросы и упражнения

1. Вставьте обозначения числовых множеств:

____ - множество натуральных чисел;

____ - множество целых чисел;

____ - множество рациональных чисел;

____ - множество действительных чисел.

2. Вставьте пропущенный знак  или:

117 ____ N; 22,4 ____ Z; 4/3 ____ Q;

____Q; ____R;  ____ Z.

3. Принадлежит ли множеству корней уравнения число?

4. Какими способами можно задать множество?

5. Запишите множество действительных корней уравнения . Как записать ответ, если требуется найти множество целых корней этого уравнения?

6. Что такое подмножество данного множества? Какой символ используется для записи “множество А является подмножеством множестваВ”? Запишите его:А ____ В.

7. Вставьте пропущенный символ или:

1 ____ {1,2,3}; {1}____ {1,2,3};

____ {1,2,3}; {2,3}____ {1,2,3}.

8. Обведите кружком номер правильного ответа:

Множество всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множествуВ, называется:

1) объединением множеств АиВ;

2) пересечением множеств АиВ;

3) разностью множеств АиВ.

9. Вставьте пропущенные знаки операций над множествами:

___ ;

___ ;

___ .

10. Что такое булеан множества Х?

11. Является ли булеаном множества система подмножеств ?

12. Является ли разбиением множества система подмножеств? Является ли она покрытием данного множества?

13. Нарисуйте диаграмму Эйлера – Венна для множества . Нарисуйте диаграмму для. Сравните заштрихованную часть на обеих диаграммах. Как называется закон, который Вы проиллюстрировали?

14. Нарисуйте диаграммы Эйлера – Венна для левой и правой частей закона де Моргана. Сравните их.

15. Запишите законы алгебры множеств. Запомните их названия.

2. Бинарные отношения

1.2.1. Декартово произведение множеств. Соответствие множеств

Декартовым произведением двух множествX иYназывается множествовсехупорядоченных пар (x,y ) таких, что, а .

Пример 1. Пусть .Тогда

,

.

Очевидно, что , т.е. для операции декартова произведения множеств закон коммутативности не выполняется.

Декартовым произведением множеств будем называть множествовсех упорядоченных наборовтаких, чтоЕсли, то декартово произведение обозначают.

Будем говорить, что задано соответствие qмежду множествамиXиY, если задана упорядоченная тройка, где. МножествоXназывается областью отправления, аY– областью прибытия соответствияq(обозначают). Каждый элементyв пареназывается образом элементаx(x– прообразом элементаy) при данном соответствииq.

Соответствие называетсяотображением множестваXво множествоY, если каждый элементимеет образ, т.е.

.

Отображение называетсяфункциональным, если каждый элементимеетединственныйобраз:

.

Множество образов при данном отображении обозначается:

.

Если множество совпадает с множествомY, то говорят, чтоосуществляет отображениенамножествоY.

Соответствие называетсявзаимно однозначным (биекцией), если

а) является отображением;

б) функционально;

в) отображает X“на” множествоY;

г) из условия следует .

Другими словами, является биекцией, если каждый элементимеет единственный образ, а каждый элементимеет единственный прообразпри данном отображении:

(1.2)