2.6.3.3. Переборные алгоритмы

Рассмотрим переборные алгоритмы, основанные на методах обхода графа (см. п. 2.6.2) на примере задачи нахождения кратчайшего пути в лабиринте. Поскольку существует два метода обхода графа, то и пере­борных алгоритмов будем рассматривать два.

Лабиринт, состоящий из проходимых и непроходимых клеток, задан матрицей A размером m×n. Элемент матрицы A[i, j] = 0, если клетка (i, j) проходима. В противном случае A[i, j] = ∞.

Требуется найти кратчайший путь из клетки (1, 1) в клетку (m, n).

Фактически дана инвертированная матрица смежности (в ней нули заменены ∞, а единицы – нулями). Лабиринт представляет собой граф.

161

Метод перебора с возвратом (по-английски называемый backtracking) основан на методе поиска в глубину. Перебор с возвратом – это метод проб и ошибок («попробуем сходить в эту сторону: не получится – вер­немся и попробуем в другую»). Поскольку речь идет о переборе вари­антов методом поиска в глубину, то во время работы алгоритма надо хранить текущий путь в дереве. Этот путь представляет собой стек Way. Кроме того, необходим массив Dest, размерность которого соответ­ствует количеству вершин графа, хранящий для каждой вершины рас­стояние от нее до исходной вершины.

Вернемся к нашей задаче. Пусть текущей является некоторая клетка (в начале работы алгоритма – клетка (1, 1)). Далее

if для текущей клетки есть клетка-сосед Neighbor, такая что:

(отсутствует в Way) and

(Dist[Neighbor]=0 or (Dist[Neighbor] > Length(Way))) then begin

добавить Neighbor в Way;

текущая клетка := Neighbor; end else

извлечь из Way;

Из приведенного выше фрагмента ясно, почему этот метод называ­ется перебором с возвратом. Возврату здесь соответствует операция «извлечь из Way», которая уменьшает длину Way на 1.

Перебор заканчивается, когда Way пуст и делается попытка возврата назад. В этой ситуации возвращаться уже некуда (рис. 55).

Way – это путь текущий, но в процессе работы необходимо хранить еще и оптимальный путь OptimalWay.

Заметим, что алгоритм можно усовершенствовать, если не позво­лять, чтобы длина Way была больше или равна длине OptimalWay. В этом случае если и будет найден какой-то вариант большей длины, он заведомо не будет оптимальным. Такое усовершенствование в общем случае означает, что как только текущий путь станет заведомо неопти­мальным, надо вернуться назад. В некоторых случаях это улучшение алгоритма позволяет сильно сократить перебор.

Переборный алгоритм, основанный на поиске в ширину, состоит из двух этапов:

1. распространение волны;

2. обратный ход. Распространение волны и есть собственно поиск в ширину (см.

п. 2.6.2.2), при котором клетки помечаются номером шага метода, на 162

Начальное Найден вариант Откат Путь заведомо Откат

состояние OptimalWay := Way до альтернативы не оптимален до альтернативы

Найден вариант Откат Тупик Откат. Way пуст.

OptimalWay := Way до альтернативы Стоп.

OptimalWay = (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (5,5) Length(Way) = 8

Рис. 55. Перебор методом поиска в глубину

Начальное состояние

котором клетка посещается. При обратном ходе, начиная с конечной вершины, идет восстановление кратчайшего пути, по которому в нее попали путем включения в него клеток с минимальной пометкой.

Достигнута конечная клетка OptimalWay = (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (5,5);

Length(Way) = 8

Рис. 56. Перебор методом поиска в ширину

163

Важно, что восстановление начинается с конца (с начала оно зачас­тую невозможно) (рис. 56).

Надо сказать, что перебор методом поиска в ширину по сравнению с перебором с возвратом, как правило, требует больше дополнительной памяти, расходуемой на хранение информации нужной для построения пути при обратном ходе и пометки посещенных вершин, но и работает быстрее, так как совершенно исключается посещение одной и той же клетки более, чем один раз.

2.6.4. Нахождение минимального остовного дерева

Приведем без доказательства следующее свойство MST (minimal spanning tree – минимальное остовное дерево на английском языке).

В графе G = (V, E) рассмотрим U – некоторое подмножество V, такое что U и V\U не пусты. Пусть (u, v) – ребро наименьшей стоимости, одна вершина которого – u ∈ U, а другая – v ∈ V\U. Тогда существует некото­рое MST, содержащее ребро (u, v). Пример графа G и его минимального основного дерева приведен на рис. 57.

Рис. 57. Граф и его остовное дерево минимальной длины

На этом свойстве основаны два известных алгоритма.