11. Численное решение уравнения методом секущих. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.
Алгоритм вроде такой же, как и в методе Ньютона, только сравниваем не так:
while (abs(f(x)) > epsilon)
А так:
while (abs(f(x)) < epsilon)
const double a = 0.0;
const double b = 1.0;
const double x0 = 0.5;
const double epsilon = 0.000001;
double f(double x)
{
return (x-0.25)*(x-0.25);
}
double df(double x)
{
return 2*x;
}
int main(int argc , char *argv[])
{
double x = x0;
while (abs(f(x)) < epsilon)
{
x = x - f(x)/df(x);
}
std::cout << x << std::endl;
}
12. Численное решение уравнения методом простых итераций. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.
Применяется к уравнению вида x=u(x) на отрезке [a,b], где:
1. модуль производной функции u(x) невелик: |u’(x)|<=q<1 (x∈[a,b])
2. значения u(x) лежат на [a,b], т.е. a<=u(x)<=b при x∈[a,b].
Но так как мы точно знаем (из первого этапа решения задачи), что на этом отрезке есть корень, и он только один, то условие 2 можно опустить.
Сведение уравнения f(x)=0 к нужному виду обычно осуществляют так: выражают один из x, входящих в уравнение, например уравнение е^х-х-7=0 приводят к виду: x=е^x-7 или x=ln(x+7).
В первом случае |u’(x)|=|e^x| на левом конце отрезка (0) не меньше единицы, что не подходит по условию 1, во втором же случае |u’(x)|=|1/(x+7)| явно меньше единицы, что нас и устраивает.
Суть метода итераций заключается в построении рекуррентной последовательности чисел, сходящейся к решению, по формуле хк+1 = u(xк), к=0,1,2,…, где х0∈[a,b] -произвольная точка. Для удобства можно вводить х0=a.
#define TESTPRINT
double Equation( double x ) {
return pow( cos(x+0.5), (double)(1./3.) );
}
int main() {
const double eps = 0.0001;
double x0, x, xNext;
int nIter;
printf( "x0 = ? " ); scanf( "%lg", &x0 );
x = x0;
xNext = Equation( x );
nIter = 1;
while ( fabs( xNext-x ) > eps ) {
x = xNext;
xNext = Equation( x );
++nIter;
#ifdef TESTPRINT
printf( "%.5g %.5g %d\n", x, xNext, nIter );
#endif
}
printf( "The root %.5g has been reached to within %.5g after %d iterations.\n",
xNext, eps, nIter );
getch();
return 0;
}
13. Численное интегрирование методом прямоугольников. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.
Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах.
Левые прямоугольники
Средние прямоугольники
Правые прямоугольники
Пример для левых прямоугольников:
double f(double x){
return sin(x);
}
double rectangle_integrate(double a, double b, int n, double (*f)(double) ){
double result, h;
int i;
h = (b-a)/n;
result = 0.0;
for(i=0; i result += f( a + h * i );
}
result *= h;
return result;
}
int main(void){
double integral;
integral=rectangle_integrate(0,2,100,f);
printf("The value of the integral is: %lf \n", integral);
}
Пример для средних прямоугольников:
double f(double x){
return sin(x);
}
double rectangle_integrate(double a, double b, int n, double (*f)(double) ){
double result, h;
int i;
h = (b-a)/n;
result = 0.0;
for(i=1; i result += f( a + h * (i - 0.5) );
}
result *= h;
return result;
}
int main(void){
double integral;
integral=rectangle_integrate(0,2,100,f);
printf("The value of the integral is: %lf \n", integral);
}
Пример для правых прямоугольников:
double f(double x){
return sin(x);
}
double rectangle_integrate(double a, double b, int n, double (*f)(double) ){
double result, h;
int i;
h = (b-a)/n;
result = 0.0;
for(i=1; i result += f( a + h * i );
result *= h;
return result;
}
int main(void){
double integral;
integral=rectangle_integrate(0,2,100,f);
printf("The value of the integral is: %lf \n", integral);
}