2. Модель квд

_{В качестве модели КВД исполь}зуется функция:

3. Идентификация квд

Процедура идентификации КВД заключается в определения параметров (4) данной модели КВДи управляющего параметра(5) реализованная в двух вариантах:

1. Режим «ручного» подбора параметров.

2. Режим автоматического подбора параметров путем решения оптимизационных

задач.

3.1 Режим «ручного» подбора параметров модели квд

Режим «ручного» подбора параметров заключается в совмещении значений фактических забойного давления с соответствующими значениями, вычисленными на основе модели, путем построения соответствующих графиков и подбора подходящих значенийвектора параметров. Подобранные параметрымогут быть использованы в качестве начальных приближений при решении оптимизационных задач (4), (5).

3.2 Режим автоматического подбора параметров

Предусматривается расчет оценок параметров путем решения соответствующих оптимизационных задач (4), (5). Задача (4) предусматривает вариант решения оптимизационной задачи (4) методами деформированного многогранника (метод Нелдера- Мида) и Гаусса- Ньютона с представлением пользователю возможности выбора нужного метода.

Метод Нелдера — Мида, также известный как метод деформируемого многогранника и симплекс-метод, — метод безусловной оптимизации функции от нескольких переменных, не использующий производной (точнее — градиентов) функции, а поэтому легко применим к негладким и/или зашумлённым функциям.

Суть метода заключается в последовательном перемещении и деформировании симплекса вокруг точки экстремума. Метод находит локальный экстремум и может «застрять» в одном из них. Если всё же требуется найти глобальный экстремум, можно пробовать выбирать другой начальный симплекс.

Пусть требуется найти безусловный минимум функции n переменных . Предполагается, что серьёзных ограничений на область определения функции нет, то есть функция определена во всех встречающихся точках.

Параметрами метода являются:

• коэффициент отражения α > 0, обычно выбирается равным 1.

• коэффициент сжатия β > 0, обычно выбирается равным 0,5.

• коэффициент растяжения γ > 0, обычно выбирается равным 2.

1. «Подготовка». Вначале выбирается n + 1 точка , образующие симплекс n-мерного пространства. В этих точках вычисляются значения функции: .

2. «Сортировка». Из вершин симплекса выбираем три точки: x_h с наибольшим (из выбранных) значением функции f_h, x_g со следующим по величине значением f_g и x_l с наименьшим значением функции f_l. Целью дальнейших манипуляций будет уменьшение по крайней мере f_h.

3. Найдём центр тяжести всех точек, за исключением x_h: . Вычислять f_c = f(x_c) не обязательно.

4. «Отражение». Отразим точку x_h относительно x_c с коэффициентом α (при α = 1 это будет центральная симметрия, в общем случае — гомотетия), получим точку x_r и вычислим в ней функцию: f_r = f(x_r). Координаты новой точки вычисляются по формуле:

x_r = (1 + α)x_c − αx_h.

5. Далее смотрим, насколько нам удалось уменьшить функцию, ищем место f_r в ряду f_h,f_g,f_l.

Если f_r < f_l, то направление выбрано удачное и можно попробовать увеличить шаг. Производим «растяжение». Новая точка x_e = (1 − γ)x_c + γx_r и значение функции f_e = f(x_e).

Если f_e < f_l, то можно расширить симплекс до этой точки: присваиваем точке x_h значение x_e и заканчиваем итерацию (на шаг 9).

Если f_l < f_e, то переместились слишком далеко: присваиваем точке x_h значение x_r и заканчиваем итерацию (на шаг 9).

Если f_l < f_r < f_g, то выбор точки неплохой (новая лучше двух прежних). Присваиваем точке x_h значение x_r и переходим на шаг 9.

Если f_g < f_r < f_h, то меняем местами значения x_r и x_h. Также нужно поменять местами значения f_r и f_h. После этого идём на шаг 6.

Если f_h < f_r, то просто идём на следующий шаг 6.

В результате (возможно, после переобозначения) f_l < f_g < f_h < f_r.

6. «Сжатие». Строим точку x_s = βx_h + (1 − β)x_c и вычисляем в ней значение f_s = f(x_s).

7. Если f_s < f_h, то присваиваем точке x_h значение x_s и идём на шаг 9.

8. Если f_s > f_h, то первоначальные точки оказались самыми удачными. Делаем «глобальное сжатие» симплекса — гомотетию к точке с наименьшим значением x_l:

, .

9. Последний шаг — проверка сходимости. Может выполняться по-разному, например, оценкой дисперсии набора точек. Суть проверки заключается в том, чтобы проверить взаимную близость полученных вершин симплекса, что предполагает и близость их к искомому минимуму. Если требуемая точность ещё не достигнута, можно продолжить итерации с шага 2.

Метод Ньютона-Гаусса используется для минимизации суммы квадратов отклонений

где – нелинейная по параметрамфункция регрессии.

Суть метода Гаусса-Ньютона состоит в том, что функция регрессии аппроксимируется линейной по параметрам функцией в окрестности точки

Индекс «0» у частных производных означает, что они вычислены в точке . С учетом данного приближения регрессии функционал качестваможно представить в виде

где

; ;;

где – вектор - столбец невязок;- матрица частных производных в точках, при;– вектор-столбец приращения параметров.

Для определения вектора приращений достаточно взять производные от функционала и приравнять их к нулю:

= 0

В результате получим систему линейных уравнений

Решение которой позволяет получить следующее приближение для параметров

Получив , можно аналогичным образом построить , где - размер шага на второй итерации.

Таким образом, для всех итераций j=0, 1, 2,… алгоритм Гаусса-Ньютона можно записать в виде

где - обратная матрица на j-м шаге.

Если матрица плохо обусловлена, то метод Гаусса-Ньютона сходится очень медленно. В данной ситуации для определения приращения на шаге j используется СЛУ вида

,

где ; А – неотрицательно определенная матрица. ПриA = I и