Atomnaya_fizika_UP

61

E =	K 2	2		E =	π2 2n2	.	(3.6.7)
	2m				2m 2

Мы видим, что энергия частицы квантуется, т.е. может принимать только некоторые дискретные значения, соответствующие n =1,2,3,... Спектр энергии в яме показан на рис. 3.4, б.

Существует общая теорема квантовой механики, в которой доказывается, что энергия всегда квантуется у частиц, которые не могут уходить на бесконечность, т.е. заперты в каком-то объеме; и не квантуется у частиц, которые могут уходить на бесконечность. У свободных частиц (у частиц вне ямы) энергия не квантуется.

Разница в значениях энергии между соседними уровнями сильно зависит от размера «ямы», т.е. пространства, где заперта частица.

E = En+1 − En = 2πm2 22 (n2 +1+ 2n −n2 ) = 2πm2 22 (2n +1).

Например, для электрона в электронно-лучевой трубке ( ≈10 см) E 10−16 n (эВ) — квантование энергии совершенно не ощути-

мо. В то же время для электрона внутри атома ( ≈10−8 см) E 60 n эВ — не учитывать такую разницу нельзя.

Следует обратить внимание на то, что минимальное значение энергии не равно нулю. Квантовая частица не может лежать

на дне ямы! (при n =1 E

=

π2

2

> 0).

min

2m

2

Амплитуду волновой функции (А) найдем из условия нор-

мировки: ∫

ψ

2 dx =1.

0

A2 ∫sin2

n π x

=1, A2

=1, A =

2

.

dx

0

2

Итак, собственное значение волновой функции:

ψ(x) =	2	n π
		sin		x .	(3.6.8)

62

На рис. 3.5 показаны графики ψ( x) и ψ 2 . Из этих рисунков видны следующие закономерности:

1.Число «полуволн де-Бройля» равно n;

2.Поведение частицы в яме зависит от n: например, при

n =1 частица наиболее вероятно будет находиться в середине ямы, но уже при n = 2 частица будет либо в левой, либо в правой половине ямы и не может перейти из одной половины в другую, т.к. именно в середине ямы вероятность нахождения частицы равна нулю.

ψ(x)			ψ 2
			n = 3
			n = 2
			n =1
0	а	x	0	б	x

Рис. 3.5

а— график зависимости ψ(x) при различных значениях n;

б— график зависимостиквадратамодуля ψ 2 отx притехжезначенияхn

3.7 Туннельный эффект

Рассмотрим поведение частицы в потенциальной яме, в которой одна из стенок имеет конечную «высоту» (рис. 3.6, а). Потенциальная энергия ямы U (x) = 0 на участке 0 ≤ x ≤ , обраща-

ется в бесконечность при x < 0 и равна U при x > . Полная энергия частицы E < U , т.е. частица находится в яме (рис. 3.6).

Как будет вести себя «классическая частица», т.е. с точки зрения классической физики?

На участке 0 ≤ x ≤ она движется с постоянной кинетической энергией и, следовательно, с постоянной скоростью. При E <U частица не может выйти из ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия больше полной и EK должна бы иметь отрицательное значение, что невозможно. Подойдя к краю ямы,

63

U (x)	I		II		ψ(x)	I	II
U = ∞
				U
E
ψ = 0
0	а			x	0		x
							б

Рис. 3.6

а— изображение потенциальной ямы с конечным значением энергии U при x ≥ ; б — схема, поясняющая поведение

«квантовой» частицы

частица отражается и летит обратно, там снова отражается и т.д. Таким образом, классическая частица не может быть вне ямы и с равной вероятностью может быть найдена в любом месте внутри ямы.

Поведение квантовой частицы иное. ψ-функция частицы должна быть непрерывной и гладкой. Поэтому ψ-функция не

может «оборваться» у правой стенки и должна продолжаться за ней. (Аналог: световая волна частично отражается, но частично преломляется, т.е. уходит внутрь II области, см. рис. 3.6, б). Появляется вероятность обнаружить частицу в области II, где U > E . У левой стенки ψ-функция должна быть равна нулю, т.к.

там U (x) = ∞ и частица туда попасть не может.

Рассмотрим точное решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме. Уравнение Шрёдингера в этом случае имеет вид:

− 2 d 2ψ +U (x)ψ = Eψ. (3.7.1) 2m dx2

Поскольку U (x) является ступенчатой функцией, то для решения

область изменения x удобно разбить на два участка с постоянными значениями U (см. рис. 3.6, а) и получить решения для каждого участка в отдельности, а потом «сшить» их так, чтобы ψ была непрерывной и гладкой.

В области x < 0 U = ∞, там ψ = 0. Область I, при 0 < x < , где U = 0, ничем не отличается от уже рассмотренного случая

64

поведения частицы в бесконечной глубокой потенциальной яме (см. раздел 3.6).

	2					d 2ψ	2
В области II: −								+Uψ2 = Eψ2			(3.7.2)
				2m		dx2
d 2ψ2
	−	2m	(U − E)ψ2 = 0 . Обозначим: K 2 =						2m	(U − E ).	(3.7.3)
dx2
	2							2

Тогда d 2ψ2 − K 2ψ2 = 0. Решение такого уравнения: dx2

ψ2 = BeKx +Ce−Kx.

Поскольку K > 0 (см. 3.7.3), то BeKx — возрастающая экспонента при увеличении x, что невозможно. Поэтому B = 0. Итак,

ψ2 = Ce−Kx

(3.7.4)

— спадающая экспонента (см. рис. 3.6, б). Это означает, что частица может заходить в область, где E < U .

«Классическая» частица в принципе не может попасть в об-

ласть II. В	квантовой механике это возможно, т.к. равенство
E = EK + En	нельзя понимать как численное равенство. Кинети-

ческая энергия EK зависит от импульса, потенциальная U — от

координат, и, в соответствии с соотношением неопределённостей, они не могут одновременно иметь точные значения. В квантовой механике справедливо

E = EK + U ,

(3.7.5)

где скобки означают среднее значение соответствующей ве-

личины. Равенство 3.7.5 допускает, что в некоторых точках пространства в какие-то моменты времени полная энергия Е может оказаться меньше U .

Если потенциальный барьер (область II) будет конечной ширины d, то частица может оказаться в области III — за барьером.

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер называется туннельным эффектом.

Соотношение неопределенностей позволяет понять причину проникновения частиц за барьер. E t ≥ — если под t понимать время взаимодействия частицы с барьером, то чем меньше ширина барьера d, тем меньше t , тем больше неопреде-

		65
ψ(x)	II	U (x)
I		III
		U	E
		E
0	d	0	x1	x
a		б		x2

Рис. 3.7

а — иллюстрация туннельного эффекта; б — изображение барьера произвольной формы

ленность энергии E . И как только E станет больше U − E (см. рис. 3.7, б), частица сможет преодолеть барьер.

Вероятность нахождения частицы пропорциональна ψ 2 . Поэтому коэффициент прозрачности (проницаемости) барьера

						−2d			2m	(U −E)
D =		ψ							2
				2 = D e−2Kd = D e						.
				o		o
				−	2d	2m U −E	)
				D = Doe		(		.		(3.7.6)

Do = C 2 (см. 3.7.4). Для прямоугольного потенциального барьера Do =1. Для барьера произвольной формы (см. рис. 3.7, б):

−x∫2 2 2m(U −E)dx

D = D e x1	.	(3.7.7)
o

Туннельный эффект иллюстрирует могущество квантовой теории: он был предсказан на основе, казалось бы, формальных положений, стандартных условий, которым должна удовлетворять ψ-функция.

Впервые туннельный эффект был использован в 1928 г. Г. Гамовым для объяснения α-распада ядер и Фаулером и Нордгеймом для объяснения явления холодной эмиссии электронов из металлов. В полупроводниковой электронике широко используются туннельные диоды, в основе работы которых лежит туннельный эффект.

66

3.8 Операторы — аппарат квантовой механики

Оператором называется математический символ действия, в результате воздействия которого на некоторую функцию образуется новая функция от тех же аргументов. С некоторыми опера-

	торами мы уже знакомы:	d	— оператор скорости,	d 2	— опера-
		dt		dt 2

тор ускорения.

В квантовой механике используются только линейные операторы. Оператор называется линейным, если удовлетворяет условию:

L(ψ1	+ψ2 ) = Lψ1	+ Lψ2	; L(a ψ) = aL(ψ).
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ

— знак оператора, называется «шляпка».

Каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т.д.) ставится в соответствие свой оператор. В кванто-

вой механике доказано: в декартовой системе координат формулы, которые классическая физика выводит для связи между числовыми значениями физических величин, в квантовой механике следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин. Этим пользуются для нахождения неизвестных операторов одних величин по известным операторам других величин.

Главными операторами квантовой механики являются операторы координаты xˆ = x (умножить на x) и проекции импульса

ˆ

= −i

∂

. Для примера получим оператор кинетической энер-

Px

∂x

ˆ

. В классической физике

гии EK

(P2

+ P2 ),

E

=

P2

=

1

+ P2

(3.8.1)

2m

2m

K

x

y

z

поэтому оператор кинетической энергии

ˆ =

EK

+−i

1

ˆ

ˆ

ˆ

1

∂

∂

∂

∂

(P

+ P

+ P

)=

−i

−i

+

−i

−i

+

2m

x

y

z

∂x

∂x

∂y

∂y

2m

∂

∂

2

∂2

∂2

∂2

ˆ

2

−i

= −

∂x

2

+

∂y

2

+

∂z

2

; EK

= −

.(3.8.2)

∂z

∂z

2m

2m

67

Оператор полной энергии (гамильтониан):

ˆ ˆ		2		2	+U (x, y, z).
H = EK	+U = −					(3.8.3)
		2m

Уравнение Шрёдингера — оператор полной энергии, воздействующий на ψ-функцию (сравните 3.4.3 и 3.4.4).

Операторы некоторых величин могут быть достаточно

сложными. Например, оператор модуля момента импульса
ˆ2	ˆ2	ˆ2	ˆ2	,	(3.8.4)
L	= Lx	+ Ly	+ Lz

где, в свою очередь, операторы проекций момента импульса:

ˆ = −

Lx i

ˆ = −

Ly i

ˆ = −

Lz i

		∂				∂
y				− z
		∂z			∂y
		∂				∂
z				− x
		∂x				∂z
		∂				∂
x				− y
	∂y					∂x

,

, (3.8.5)

.

3.9 Средние значения

Очень важным в физике микромира является понятие среднего значения различных физических величин. Например, проще всего найти среднюю энергию молекул, сложив энергии всех молекул и разделив полученную сумму на число молекул:

E = 1	N
	∑Ei .	(3.9.1)
N i=1

Этот прием неприемлем при огромном числе молекул. Поэтому используется другой способ вычисления средней энергии, заключающийся в следующем.

Подсчитаем число молекул NK , энергия которых лежит между EK и EK +1 (например, 0,031 и 0,032 эВ).

N

∑Ei = ∑ NK EK — эта формула точна, если интервалы

i=1	K
разбиения малы.
Тогда:	E = 1	∑ NK EK	= ∑EK	NK = ∑EK fK ,
	N	K		N K

68

где fK = NK — доля молекул, энергия которых лежит в к-ом ин-

N

тервале, или, что то же самое, вероятность иметь энергию EK .

(Сумма всех вероятностей равна единице).

Вероятность попасть в бесконечно малый интервал между E и E +dE зависит от E и ширины интервала dE и обозначается f (E)dE . Функция f (E) определяет в этом случае распределение

молекул по энергии и называется плотностью вероятности (вспомните распределение Максвелла)

E = ∫ E f (E )dE .

(3.9.2)

Интеграл берется по всем возможным значениям Е.

От общих рассуждений перейдем к нахождению среднего значения координаты x для частицы, обладающей волновой

функцией ψ(x). Квадрат модуля ψ(x) 2 является плотностью ве-

роятности найти частицу в окрестности точки x. Саму ψ-функцию

называют амплитудой вероятности, чтобы подчеркнуть необходимость возведения в квадрат при вычислении вероятности.

Согласно 3.9.2	x = ∫ x		ψ(x)		2 dx .	(3.9.3)

Учитывая, что ψ(x) 2 = ψ* (x) ψ(x) — комплексно сопряженные

величины, можно записать:

x = ∫ψ* (x) x ψ(x)dx.

Но x = xˆ — оператор координаты, т.е.

x= ∫ψ* (x) xˆψ(x)dx .

Вквантовой механике доказано, что среднее значение любой динамической переменной

L = ∫ψ		(x)Lψ(x)dx .
	*	ˆ

Учитывая вероятностный характер квантовых законов, следует не забывать, что соотношения, связывающие физические величины, справедливы именно для средних значений. В разделе 3.7 мы уже отмечали, что выражение для полной энергии E = EK + U

справедливо только для средних значений (см. рис. 3.7.5), и оно может не выполняться в любой момент времени для любых конкретныхзначений кинетическойипотенциальнойэнергии.

69

3.10 Примеры решения задач по квантовой механике

3.10.1 Определить длину волны де Бройля электронов, бомбардирующих анод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны

λ = 3 нм.

Решение. В нерелятивистском случае длина волны де Брой-

ля (см. 3.1.5): λБ =	h
		.
	2mEK

Коротковолновая граница рентгеновского спектра характеризует именно максимальную кинетическую энергию электронов

(см. 1.4.1): EK					= eU =			hc	.
	Тогда							λ
									6,6 10−34
λБ =	h				=						= 0,6 10−10 м = 0,6 Å.
	2m	hc					2 9,1 10−31 6,6 10−34 3 108
		λ
									3 10−9

3.10.2 Параллельный пучок электронов, движущихся с оди-

наковой скоростью υ =106 мс , падает нормально на диафрагму с

длинной щелью шириной b = 1 мкм. Пройдя через щель, электроны образуют дифракционную картину на экране, расположенном не расстоянии = 50 см от щели параллельно плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между первыми дифракционными минимумами.

Решение. Условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели: b sin ϕ = K λ, в нашем случае K = 1. Электронам соот-

ветствует длина волны де Бройля

ϕ

λБ =

h

, поэтому b sin ϕ =

h

.

b

m υ

m υ

x

h

sin ϕ =

Отсюда

. Для малых

mυ b

70

углов sin ϕ = tgϕ =

x

x

=

h

;

2

2

mυ b

x =

2 h

=

2 0,5 6,6 10−34

0,727

10−3 м = 0,73 мм.

mυ b

9,1 10−31

106

10−6

3.10.3Электрон с кинетической энергией 15 эВ локализован

вобласти = 2 A . Оценить относительную неопределенность скорости электрона.

Решение. Воспользуемся соотношением неопределенностей

x Px = ,

(1)

когда правая часть соотношения специально не оговаривается, то

обычно берут

. В

нашей

задаче x = ,

Px = m Δυ, тогда

m Δυ =

Δυ =

.

Скорость электрона найдем из:

m

EK

=

mυ2

υ =

2EK

.

Относительная

неопределенность

Δυ

2

m

=

=

.

υ

2E

K

12

(2mE

K

)12

m

m

Расчет:

1,05 10−34

Δυ

=

=1,92 10−2 ≈ 2 %.

υ

1

2 10−10 (2 9,1 10−31 15 1,6 10−19 )

2

3.10.4 Протон массы m =1,67 10−27 кг локализован в области размером d = 2 ф (2 ферми). Оценить кинетическую энергию этого протона, при которой относительная неопределенность

энергии η =	EK	= 0,5. Ответ дать в МэВ.
	EK				x
Решение. Из соотношения неопределенностей						Px =
следует, что	Px =			. Учитывая, что x = d , тогда	P =		. Мы
			x			d

знаем, что