11
Таблица 3.1 – Коэффициенты Стьюдента, t(α, n)
|
|
|
Доверительная вероятность, α |
|
|
|||||
n |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
|
0,99 |
0,999 |
2 |
1,0 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
|
63,7 |
636,6 |
3 |
0,82 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
|
9,9 |
31,6 |
4 |
0,77 |
0,98 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
|
5,8 |
12,9 |
5 |
0,74 |
0,94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
|
4,6 |
8,7 |
6 |
0,73 |
0,92 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
|
4,0 |
6,9 |
7 |
0,72 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
|
3,7 |
6,0 |
8 |
0,71 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
|
3,5 |
5,4 |
9 |
0,71 |
0,89 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
2,9 |
|
3,4 |
5,0 |
10 |
0,70 |
0,88 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
|
3,3 |
4,8 |
15 |
0,69 |
0,87 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
|
3,0 |
4,1 |
20 |
0,69 |
0,86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
|
2,9 |
3,9 |
25 |
0,69 |
0,86 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
|
2,8 |
3,7 |
30 |
0,68 |
0,85 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,5 |
|
2,8 |
3,7 |
40 |
0,68 |
0,85 |
1,1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
|
2,7 |
3,6 |
60 |
0,68 |
0,85 |
1,0 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
|
2,7 |
3,5 |
120 |
0,68 |
0,84 |
1,0 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
|
2,6 |
3,4 |
Например, при n = 7 доверительной вероятности α = 0,95 соответствует коэффициент Стьюдента t(α, n) = 2,4. Тогда x = 2,4σср и запись
x = hxi ± 2,4σср
будет означать, что истинное значение найденной величины лежит в указанном доверительном интервале с вероятностью 0,95 (95%). С увеличением n коэффициент Стьюдента t(α, n) стремится (при этой вероятности) к двум.
3.3 Оценка погрешности измерительных приборов
Погрешность прибора оценивается на заводе-изготовителе путем сравнения показаний данного прибора с показаниями другого, более точного. Результат проверки приводится либо в паспорте к прибору, либо указанием класса точности γ: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4,0.
Чем меньше класс точности, тем точнее прибор. Класс точности указывается на шкале прибора в виде цифры с запятой следующими
способами: |
, |
, |
. И за каждым обозначением скрывает- |
ся своё содержание класса точности.
12
1. У приборов, где обозначено 
класс точности есть приведённая погрешность, выраженная в процентах:
γ = |
Δ(x) · 100% |
, |
(3.5) |
|
XN |
|
|
где Δ(x) абсолютная погрешность данного прибора; XN нормирующее значение.
Нормирующее значение принимается равным:
1)конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;
2)сумме конечных значений шкалы прибора (без учета знаков), если нулевая отметка находится внутри шкалы.
У приборов, имеющих резко неравномерную шкалу (например, у омметров), нормирующее значение принимается равным длине шкалы. В этом случае погрешность и длину шкалы выражают в одних единицах, например, в миллиметрах. Класс точности таких прибо-
ров обозначают так: |
. Этими приборами в лабораторном прак- |
тикуме пользоваться не будем.
Следует запомнить, что для всех приборов этого типа постоянной по всей длине шкалы является абсолютная погрешность, значение которой можно найти из выражения (3.5):
Δ(x) = |
γ · XN |
. |
(3.6) |
|
100% |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Относительная погрешность таких приборов изменяется по длине шкалы, она равна:
ε(x) = |
Δ(x) |
= |
γ · XN |
. |
(3.7) |
x |
|
||||
|
|
x · 100% |
|
||
Следовательно, качество измерений с помощью таких приборов выше, если измерения проводятся в правой половине шкалы прибора.
При однократном измерении под x следует понимать результат этого единичного измерения. Если же произведены многократные измерения, то в формулу следует подставлять среднее значение hxi случайной величины x.
13
2. У приборов, где обозначено 
класс точности есть отно-
сительная погрешность, выраженная в процентах. У этих приборов постоянной по всей длине шкалы является относительная погрешность, следовательно, качество измерений с помощью таких приборов не зависит от того, в какой части шкалы проводятся измерения.
Абсолютная погрешность таких приборов изменяется по длине
шкалы и равна: |
|
Δ(x) = 100%γ · x . |
(3.8) |
3. В последнее время широко используются цифровые универсальные приборы, отличающиеся высокой точностью и многоцелевым назначением. В отличие от стрелочных приборов, систематические погрешности цифровых электроизмерительных приборов оцениваются по формулам, приводимым в инструкциях по эксплуатации. Так, например, значение абсолютной погрешности мультимеров серий M890D, M890F, M890C, M890G, M9102A оценивается по формуле:
Погрешность = (% от считываемых данных + количество единиц младшего разряда),
или |
|
|
|
|
|
|
|
Δ(x) = |
ε · x |
+ N |
· |
δ, |
(3.9) |
|
100% |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где δ единица младшего разряда (разрешающая способность). При изменении предела измерений прибора или вида измерений
(напряжение, ток, сопротивление) структура формулы не изменяется, меняются только числа, входящие в формулу (3.9). Приведём эти числа для различных режимов измерения постоянного напряжения и тока.
Таблица 3.2 – Предельные погрешности измерений постоянного напряжения
Диапазон |
Погрешности |
Разрешающая |
измерения |
измерения, ±ε ± N |
способность, δ |
200 мВ |
±0,5% ± 1 |
100 мкВ |
2 В |
±0,5% ± 1 |
1 мВ |
20 В |
±0,5% ± 1 |
10 мВ |
200 В |
±0,5% ± 1 |
100 мВ |
1000 В |
±0,8% ± 2 |
1В |
Из таблицы видно, что при установке диапазона измерения напряжений до 200 мВ одна единица младшего разряда δ равна 100 мкВ. Если диапазон до 2 В, то δ = 1 мВ и т.д.
14
Таблица 3.3 – Предельные погрешности измерений постоянного тока
Диапазон |
Погрешности |
Разрешающая |
|
измерения |
измерения, ±ε ± N |
способность, δ |
|
2 мА |
±0,8% ± 1 |
1 мкА |
|
20 мА |
±0,8% ± 1 |
10 мкА |
|
200 мА |
±1,2% ± 1 |
100 |
мкА |
20 А |
±2,0% ± 5 |
10 |
мА |
При установке диапазона измерения напряжений до 2 мА одна единица младшего разряда δ равна 1 мкА. Если диапазон до 20 мА, то δ = 10 мкА и т.д.
4.На микрометрах, штангенциркулях, секундомерах и некоторых других приборах указывается абсолютная погрешность в виде числа
сединицей измерения, например, 0,05 мм; 0,2 с.
5.Если же у прибора нет паспорта, не обозначена абсолютная погрешность и не указан класс точности, то абсолютная погрешность такого прибора равна половине цены наименьшего деления шкалы. Если прибор цифровой, то, погрешность следует принять равной одной - двум единицам младшего разряда.
3.4Оценка суммарной погрешности
В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть измерения характеризуются погрешностями сист и σслуч. Суммарная погрешность находится по формуле
сум = q |
|
|
|
(3.10) |
сист + [3σслуч] |
2 |
|
||
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
сдоверительной вероятностью α = 0,96 (при n = 5 7 измерениях).
Влабораторном практикуме можно пользоваться и упрощенной формулой:
сум = сист + 2σслуч. |
(3.11) |
Доверительная вероятность в этом случае при n = 5 7 равна 0,90.
Таким образом, при наличии как систематической, так и случайной погрешности полная ошибка опыта больше, чем каждая из них в отдельности.