1490-spectry_i_analiz
.pdfСреднее значение разности x∆t (t) можно найти как
m{x∆t (t )} = m{x(t + ∆t )}− m{x(t )}. |
|
Для стационарного процесса |
|
m{x∆t (t )} = 0 |
(4.77) |
в силу инвариантности статистических характеристик этого процесса. Средний квадрат разности x∆t (t) имеет вид
m{[x∆t (t)]2}= m{[x(t + ∆t) − x(t)]2}=
= m{x2 (t + ∆t )}+ m{x2 (t )}− 2m{x(t )x(t + ∆t )}.
Для стационарного процесса величина среднего квадрата определяется как
|
|
m |
|
[x∆ (t)]2 |
} |
= |
2 σ2 − K |
x |
(t,t + |
t) . |
|
(4.78) |
|||||
|
|
|
{ |
t |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Автокорреляционная функция разности |
|
x∆t (t) |
может быть найдена в виде |
||||||||||||||
K |
∆t |
(t t |
|
) = m |
x(t + ∆t )− x(t |
) x(t |
2 |
+ ∆t )− x(t |
2 |
) = |
|||||||
|
1, 2 |
|
|
{ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
} |
||||
|
|
= m{x(t1 + ∆t )x(t2 + ∆t )}− m{x(t1 )x(t2 + ∆t )}− |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
−{x(t1 + ∆t )x(t2 )}+ m{x(t1 )x(t2 )}, |
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K∆t (t1,t2 ) = K∆t (t1 + ∆t,t2 + ∆t )+ K∆t (t1,t2 )− |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
−K∆t (t1,t2 + ∆t )− K∆t (t1 + ∆t,t2 ). |
|
|
||||||||||
Для стационарного процесса последнее выражение принимает вид |
|||||||||||||||||
K∆t (τ ) = 2K∆t (τ )− K∆t (τ + ∆t )− K∆t |
(τ −t ), |
|
(4.79) |
где τ = t1 −t2 .
Вероятностные характеристики (среднее значение, автокорреляционная функция и.т.д.) производной dx(t) / dt случайного процесса могут быть по-
лучены из вероятностных характеристик отношения
182
x∆t (t ) = x(t + ∆t )− x(t )
∆t ∆t
предельным переходом при ∆t → 0 .
Тогда для среднего значения производной стационарного процесса получим (учитывая линейность операций дифференцирования и математического ожидания)
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
x |
( |
t |
+ ∆t |
) |
− m |
{ |
x |
( |
t |
)} |
|
||||
m |
dx(t ) |
= lim m |
x∆t (t ) |
|
= lim |
{ |
|
|
|
|
} |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∆t→0 |
∆t |
|
∆t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= lim |
|
m{x(t + ∆t )} |
− lim |
|
m{x(t )} |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∆t→0 |
∆t |
|
∆t→0 |
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, среднее значение производной стационарного случайного процесса всегда равно нулю.
Найдем теперь автокорреляционную функцию производной случайного процесса
|
|
|
|
x∆t (t1 ) x∆t (t2 ) |
|
1 |
|
|
|
|
||||
K |
|
(t ,t |
|
)= lim m |
|
|
|
|
= lim |
|
K∆ |
(t ,t |
|
). |
|
|
∆t |
|
∆t |
(∆t )2 |
|
||||||||
|
X ' |
1 |
2 |
∆t→0 |
|
|
∆t→0 |
t |
1 |
2 |
|
Для стационарного случайного процесса функция K∆t (t1, t2 ) определяет-
ся выражением (4.79). Тогда
K |
|
(τ )= lim |
1 |
{ |
2K |
|
(τ )− K |
|
(τ + ∆t )− K |
|
(τ − ∆t ) . |
|
(∆t )2 |
|
|
|
|||||||
|
X ' |
∆t→0 |
|
∆t |
|
∆t |
|
∆t |
} |
Разлагая правую часть последнего выражения в ряд Тейлора, найдем автокорреляционную функцию KX ' (τ) производной dx(t) / dt случайного про-
цесса x(t) :
K |
X ' |
(τ )= lim |
1 |
K |
∆t |
(τ )= − |
d 2 Kx (τ ) |
. |
(4.80) |
∆t2 |
|
||||||||
|
∆t→0 |
|
|
dτ2 |
|
Таким образом, автокорреляционная функция производной стационарного случайного процесса x(t) равна второй производной от автокорреля-
ционной функции процесса x(t) , взятой с обратным знаком [19].
183
В соответствии с теоремой Винера-Хинчина, автокорреляционная функция производной dx(t) / dt стационарного случайного процесса должна быть связана с энергетическим спектром производной случайного процесса. Используя выражение (4.54б), которое в силу четности автокорреляци-
онной функции K (τ ) можно записать как
K(τ )= 1 ∞∫G(ω)cosωτdω
π0
ивыражение (4.80), запишем:
KX ' (τ )= − |
d 2 Kx (τ ) |
|
1 |
∞ |
2 |
GX (ω)cosωτdω. |
|
|
|
= |
|
|
∫0 |
ω |
(4.81). |
||
dτ2 |
|
π |
Из выражения (4.81) следует, что энергетический спектр производной случайного процесса x(t) определяется в виде
(4.82)
Нетрудно показать, что автокорреляционная функция производной по-
рядка k случайного процесса |
x(t) |
может быть определена как |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
k d (2k ) |
|
|
|
1 |
∞ |
|
2n |
|
|
|
|
||||
KX ( k ) (τ )= (−1) |
|
|
|
KX (τ )= |
|
∫0 |
ω |
|
|
GX (ω)cosωτdω. |
(4.83) |
|||||||
|
dτ(2k ) |
π |
|
|
||||||||||||||
Определим теперь величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k d (k ) |
|
|
|
(− j)k d (k ) |
∞ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
bk ≡ (− j) |
|
|
|
KX (τ ) |
|
|
= |
2π |
|
|
|
∫GX (ω)exp( jωτ )dω |
|
, |
||||
|
|
τ(k ) |
|
|
|
|
τ(k ) |
|||||||||||
|
|
d |
|
τ=0 |
|
|
|
|
d |
−∞ |
|
τ =0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляющие собой производные порядка k от исходной автокорреляционной функции случайного процесса x(t) . Нетрудно показать после
простых вычислений, что эти величины существуют только для четных значений k и имеют вид
b |
= |
1 |
∞ ωkG |
|
(ω)dω |
= 0 |
при k=1, 3, 5... |
(4.84) |
|
X |
|
|
|||||
k |
|
2π −∞∫ |
|
при k=0, 2, 4, 6... |
|
|||
|
|
|
|
≠ 0 |
|
|||
Таким образом, аналогично тому, как |
моменты функции плотности веро- |
184
ятностей случайной величины x могут быть определены путем диффе-
ренцирования характеристической функции S (v), дифференцирование ав-
токорреляционной функции случайного процесса (которая по своим свойствам аналогична характеристической функции) приводит к величинам, которые могут быть интерпретированы как моменты энергетического спектра, обладающего свойствами плотности вероятности.
Величины b2k называются спектральными моментами порядка 2k
действительного случайного процесса x(t) .
4.8. Автокорреляционные функции и энергетические спектры некоторых случайных радиотехнических сигналов
Рассмотрим примеры, показывающие последовательность вычислений при определении автокорреляционных функций некоторых случайных радиотехнических сигналов, а также их энергетических спектров [22].
Найдем прежде всего автокорреляционную функцию KX (τ ) |
и энерге- |
тический спектр стационарного случайного сигнала вида |
|
x(t ) = A sin(ω0t +ϕ), |
(4.85) |
где A и ω – постоянные амплитуда и частота, а ϕ – случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале (−π, π ).
В соответствии с определением автокорреляционной функции запишем
KX (τ ) = m{x(t )x(t +τ )}− mX2 ,
где m{...} – оператор математического ожидания (усреднения). Найдем прежде всего среднее значение случайного процесса (4.85), представляющего собой функцию случайной величины ϕ . Учитывая, что среднее зна-
чение функции случайной величины определяется как
185
|
|
|
|
m{y(x)} = |
∞∫ y(x)f1 (x)dx, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
-∞ |
|
|
|
|
запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m{x(t,ϕ)}= A π∫sin(ω0t +ϕ) f1 (ϕ)dϕ, , |
(4.86) |
|||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
где f1 (ϕ)=1/ 2π – плотность вероятности случайной фазы |
ϕ , которая, как |
|||||||||
это уже было указано, равномерно распределена на интервале (−π, π ). |
||||||||||
Вычислим математическое ожидание (4.86) |
|
|||||||||
m{x(t,ϕ)}= |
Asinω0t |
π∫cosϕdϕ + |
Acosω0t |
π∫sinϕdϕ = 0, |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2π −π |
|
|
2π −π |
|
||
а затем найдем автокорреляционную функцию процесса (4.85) в виде |
||||||||||
|
|
|
|
Kx (τ )= m{x(t )x(t +τ )}= |
|
|||||
= A2 |
π∫sin (ω0t +ϕ)sin (ω0t +ω0τ +ϕ) f1 (ϕ)dϕ = |
|||||||||
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A2 |
π |
sin (ω t +ϕ)sin (ω |
t +ω τ +ϕ)dϕ. |
(4.87а). |
|||||
|
−∫π |
|||||||||
|
2π |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом того, что sinα sin β = 0,5 cos(α − β )−cos(α + β ) , перепишем
(4.87а) как
Kx (τ )= |
A2 |
π∫cos(ω0τ)dϕ − |
A2 |
π∫ cos[2ω0t +ω0t + 2ϕ]dϕ . (4.87б) |
|
|
|||
|
4π −π |
4π −π |
Нетрудно видеть, что второе слагаемое выражения (4.87) равно нулю
A2 |
cos(2ω0t +ω0τ ) π∫cos 2ϕdϕ − |
A |
sin (2ω0t +ω0τ ) π∫sin2ϕdϕ = 0 |
|
4π |
4π |
|||
−π |
−π |
и тогда автокорреляционная функция процесса (4.85) принимает вид:
K |
x |
(τ )= |
A2 |
cosω τ. |
(4.88а) |
|
|||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
186
Вычисляя автокорреляционную функцию косинусоиды со случайной фазой
x(t )= Acos(ω0t +ϕ),
где величины A и ω0 постоянны, а фаза ϕ распределена равномерно на ин-
тервале(−π,π ), нетрудно получить
|
K |
|
(τ )= |
A2 |
|
π |
cos(ω t +ϕ)cos(ω t +ω τ + 2ϕ)dϕ = |
||||||
|
x |
|
−∫π |
||||||||||
|
|
|
2π |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
A2 |
cosω0τ π∫ cos 2ϕdϕ + |
A2 |
|
cos(ω0t +ω0τ + 2ϕ) π∫sin 2ϕdϕ = |
||||||||
4π |
4π |
|
|||||||||||
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
−π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
(4.88б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
cosω τ. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая выражения (4.88а) и (4.88б), видим, что автокорреляционная функция нечувствительна к величине постоянного фазового сдвига (имеет-
|
ω0t +ϕ + |
π |
ся в виду, что cos(ω0t +ϕ)= sin |
). |
|
|
|
2 |
Используя теорему Винера-Хинчина, найдем энергетический спектр
случайных процессов |
Asin(ω0t +ϕ) и Acos(ω0t +ϕ) : |
||
G (ω)= ∞∫ |
Kx (τ )exp(− jωt )dτ = |
A2 |
∞∫ cosω0t exp(− jωt )dτ = |
|
|||
−∞ |
|
2 −∞ |
=A2 π∫{exp − j (ω −ω0 )t + exp − j (ω +ω0 )t }dτ. 4 −π
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
exp − j (ω ±ω0 )τ dτ =δ (ω +ω0 ), |
|
|||||
|
|
−∞∫ |
|
|||||
|
2π |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
G (ω)= |
π A |
δ (ω +ω )+δ (ω −ω ) . |
(4.89) |
|||||
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187
Таким образом, энергетический спектр гармонического колебания со случайной фазой включает в себя две δ – функции расположенные на расстоянии ±ω0 от начала координат.
Рассмотрим теперь более сложный пример, связанный с определением спектра мощности стационарного случайного процесса как плотности ве-
роятности. Для этого найдем автокорреляционную функцию |
KX (τ )и |
энергетический спектр G (ω) стационарного случайного процесса |
|
x(t ) = Acos(ωt +ϕ), |
(4.90) |
где амплитуда A, частота ω и начальная фаза ϕ представляют собой неза-
висимые случайные величины. При этом случайные величины А и ω зада-
ны одномерными плотностями вероятностей f1 (A) и f1 (ω), а начальная фаза ϕ распределена равномерно на интервале (−π,π ), так что f1 (ϕ) =1/ 2π, −π <ϕ <π . Нетрудно показать, что математическое ожида-
ние случайного процесса (4.90) m{α (t )} = 0 . Тогда автокорреляционная функция этого может быть определена как среднее значение функции трех случайных аргументов в виде:
KX (t1, t2 )= ∞∫ ∞∫ ∞∫ x(t1 )x(t2 ) f3 (A, ω, ϕ)dAdωdϕ .
−∞ −∞ −∞
Учитывая независимость случайных величин А, ω, ϕ , положительную определенность величины А и стационарность процесса x(t ), перепишем
последнее выражение как |
|
||||
KX (τ )= |
1 |
∞∫ ∞∫ π∫ A2 cos(ωt +ϕ)cos(ωt +ωτ +ϕ) f1 (A) f1 (ω)dAdωdϕ = |
|||
|
|||||
|
2π 0 −∞ −π |
|
|||
= ∞∫A2 f1 (A)dA |
1 |
∞∫ π∫cos(ωt +ϕ)cos(ωt +ωτ +ϕ) f1 (ω)dωdϕ . |
(4.91) |
||
|
|||||
0 |
|
|
2π −∞ −π |
|
188
Внешний интеграл в выражении (4.91) представляет собой средний квадрат амплитуды случайного процесса (4.90), т.е. величину m{A2} = A2 .
Рассматривая двойной внутренний интеграл в выражении (4.91), перепи-
шем его в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞∫ |
cos(ωt +ϕ)cos |
(ωt +ωτ +ϕ) f1 (ω)dωdϕ = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
∞ π |
cosωτ + cos(2ωt |
+ωτ + 2ϕ) f |
(ω)dωdϕ = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
4π −∞∫ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
∞ π |
cosωτ f |
(ω)dωdϕ + |
1 |
|
∞ π |
cos(2ωt +ωτ + 2ϕ) f (ω)dωdϕ = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4π −∞∫ −∫π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4π |
−∞∫ −∫π |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
1 |
∞∫ f1 (ω)cosωτdω π∫ dϕ + |
1 |
|
∞∫ cos(2ωt +ωτ ) f1 (ω)dω π∫cos 2ϕdϕ − |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4π −∞ |
|
|
|
|
|
|
−π |
|
4π −∞ |
|
|
|
−π |
|||||||||
|
|
|
|
|
− ∞∫sin (2ωt +ωτ ) f1 (ω)dω π∫sin 2ϕdϕ . |
|
(4.92) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
π∫cos 2ϕ = −0,5sin 2ϕ |
|
π |
|
|
π∫sin 2ϕ = −0,5cos 2ϕ |
|
π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
= 0, |
||||||||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
−π |
|
|
|
−π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то выражение (4.92) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞∫ |
cos(ωt +ϕ)cos |
(ωt +ωτ +ϕ) f1 (ω)dωdϕ = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∫π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 ∞ |
f (ω)cosωτdω. |
|
(4.93) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −∞∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая соотношение (4.93) и тот факт, что значение внешнего инте-
грала в выражении (4.91) есть A2 , получим автокорреляционную функцию процесса (4.90) в виде:
KX (τ )= 0,5 |
|
∞∫ f1 (ω)cosωτdω |
|
A2 |
(4.94) |
||
|
|
−∞ |
|
189
Дисперсия случайного процесса (4.90) определяется |
значением авто- |
||
корреляционную функцию KX (τ ) в точке τ = 0 : |
|
||
Dα = KX (0)= 0,5 |
|
∞∫ f1 (ω)dω. |
|
A2 |
(4.95) |
||
|
|
−∞ |
|
Для определения спектра мощности стационарного процесса (4.90) напомним, что, в соответствии с теоремой Винера-Хинчина, автокорреляционная функция может быть записана как
KX (τ )= |
1 ∞ |
G (ω)cosωτdω. |
(4.96) |
||
|
|
||||
2π −∞∫ |
|||||
|
|
|
Приравнивая правые части выражений (4.96) и (4.94) видим, что
∞∫0,5A2 f1 (ω)cosωτdω =∞∫(2π )−1 G(ω)cosωτdω,
−∞ |
−∞ |
откуда
(2π )−1 G(ω)= 0,5A2 f1 (ω),
или
G (ω)=π |
|
f |
(ω). |
(4.97) |
A2 |
||||
1 |
|
|
Таким образом, с точностью до постоянного множителя спектр мощности стационарного случайного процесса (4.90) совпадает с одномерной плотностью вероятностей случайной частоты этого колебания, что и подтверждает рассмотренную выше гипотезу об эквивалентности энергетического спектра случайного процесса и плотности вероятностей случайной частоты ω.
В заключении подраздела рассмотрим задачу определения энергетического спектра случайного сигнала, имеющего нулевое среднее значение и характеризуемого автокорреляционной функцией вида
R1 (τ )= G2 exp −α |
|
τ |
|
cosω0t . |
(4.98) |
|
|
В соответствии с теоремой Винера-Хинчина запишем:
190
G1 (ω)= ∞∫ R1 (τ )exp[− jωτ]dτ =
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
0 |
[ |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
=G2 |
∫ |
|
|
|
|
− jωτ |
dτ = |
|
|||||||
|
|
|
−∞ |
exp −α |
τ |
cosω τ exp |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
[ |
|
|
] |
|
|
|
|
∞ |
0 |
|
( |
|
|
|
) |
= G2 |
∫ |
|
jωt |
dτ +G2 |
∫ |
|
ατ + jωτ |
|||||||||||
|
cosω τ exp ατ − |
|
|
cosω τ exp − |
dτ. (4.99а) |
|||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание, что
cosω0τ = 0,5 exp( jω0τ )+ exp(− jω0τ ) ,
перепишем выражение (4.99а) в виде
G1 (ω)= I1 + I2 + I3 + I4
и вычислим интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = 0,5G2 ∫0 |
exp( jω0τ )exp[ατ − jωτ]dτ = |
|
|
||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
{ |
|
|
0 |
) |
|
} |
|
|
|
|
|||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 0,5G2 |
|
exp |
α |
− j (ω −ω |
τ |
|
dτ = |
|
|
|
|||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp α − j (ω |
−ω ) τ |
|
|
0 |
|
|
|
|
0,5G |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 0,5G2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
α − j (ω −ω ) |
|
α − j (ω −ω |
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.99б)
(4.100а)
I |
|
= 0,5G2 |
0 |
exp |
|
α − j (ω +ω |
) τ |
} |
dτ = |
|
0,5G2 |
, |
|
(4.100б) |
|||||
2 |
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
{ |
0 |
|
|
|
|
α − j (ω +ω0 ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
|
|
− α + j (ω −ω |
) τ |
} |
|
|
0,5G2 |
|
|
|
||||
I |
3 |
= 0,5G2 |
∫ |
exp |
|
dτ = |
|
, |
(4.100в) |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
{ |
|
|
0 |
|
|
|
|
α + j (ω −ω0 ) |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
− α + j (ω +ω |
) τ |
} |
|
0,5G2 |
|
||
I |
4 |
= 0,5G2 |
∫ |
exp |
dτ = |
. |
||||||
|
||||||||||||
|
|
{ |
|
0 |
|
|
α + j (ω +ω0 ) |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя результаты интегрирования (4.100) в (4.99б), получаем
G |
(ω)=αG2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
. |
|||||
|
+(ω |
−ω )2 |
α2 +(ω +ω |
)2 |
||||||
1 |
|
α2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
(4.100г)
(4.101)
191