1490-spectry_i_analiz

x(t )			x(n / 2 fB )
t	вход	КЛЮЧ	выход	t
			1/ 2 fB
t	стробирующая последовательность
1/ 2 fB

Рис. 5.7. Блок – схема электронного ключа

Полученная серия значений x(n / 2 fB ) может быть передана по каналу

связи, на приемном конце которого должна быть восстановлена функция x(t ).

				sin 2π fB (t −t0 )			sin 2π fB (t −t1 )
А	δ (t −t0 )				2π fB (t −t0 )		2π fB (t −t1 )
								А
		δ (t −t1 )
		t	ФНЧ				t0		t
t	0	t						t
		1						1
		вход			выход

Рис. 5.8а. Блок – схема устройства восстановления функции времени

Для восстановления функции x(t ) используется идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой, ограниченной верхней частотой fB . При подаче на вход этого фильтра

212

очень короткого импульса, обладающего

амплитудой А, выходная реак-

ция

фильтра

будет

представлять

собой функцию отсчетов

sin 2π f

B

(t −t

0

)

/ 2π f

B

(t −t

0

), где t

0

- временная задержка входного им-

пульса (см. рис. 5.8а). Тогда

при поступлении на вход фильтра последова-

тельности отсчетов (импульсов) x(n / 2 fB )

с соответствующими амплиту-

дами на выходе фильтра будет иметь место суммарный отклик в виде ряда (5.19), который и будет представлять собой восстановленную функ-

циюx(t ). Графически эта ситуация изображена на рис. 5.8б

X (t )	x(t )	x (0)	sin 2π fBt
			2π fBt

t

x (1/ 2 fB )	sin 2π fB (t −1/ 2 fB )
	2π fB (t −1/ 2 fB )

Рис. 5.8б. Восстановление функции времени суммированием ряда функций отсчета

Рассмотрим теперь функцию времени x(t ), спектр которой ограничен частотой fB и определим значения этой функции в точках отсчета, от-

стоящих на интервале 1/ 2 fB , предполагая, что вне некоторого интервала времени T1 <T <T2 (рис. 5.9) эта функция быстро стремится к нулю.

Длительность указанного интервала составляет T =T2 −T1 . Тогда в области

T , где функция заметно отличается от нуля, реально будет иметь место

213

число точек отсчета, равное 2TfB . Значения функции x(t ) в этих точках определяют все коэффициенты ряда (5.19), сумма которого интерполи-

рует функцию x(t ). Поясним данную ситуацию на простом примере.

x(t )
		1/ 2 fB

t

T1	T	T2

Рис. 5.9. Функция, стремящаяся к нулю вне ограниченного интервала времени

Пример 1. Пусть имеется функция x(t ), обладающая ограниченным спек-

тром с верхней частотой fB =106 Гц. . Тогда интервал дискретизации опре-

деляется как ∆t =12 fB = 0,5 10−6 сек. Если функция x(t ) значительно от-

личается от нуля только на интервале времени T =10−3 cer , а вне его быстро спадает до нуля, то количество точек отсчета на интервале составит:

N =T ∆t =10−3 сек 2 106 сек−1 = 2 103. . Нетрудно	видеть,	что величина
N = 2 103 отвечает соотношению
N = 2TfB = 2 10−3 сек 106 сек−1		(5.20)
Отметим теперь, что функция отсчетов sin[2π fB	2π fBt]	затухает доста-

точно быстро, откуда следует, что влияние каждого слагаемого ряда (5.19) ограничивается малым количеством интервалов в окрестности соответствующей точки отсчета. Таким образом, при задании конечного числа отсчетов сумма ряда (5.19) будет быстро убывать за пределами интервала T

214

и, таким образом, функция x(t ) внутри интервала T с достаточной точно-

стью определяется ее значениями в 2TfB точках отсчета [25].

Из анализа, проведенного в предыдущих главах, известно, что, если функция имеет финитный спектр, то ее представление на оси времени является бесконечно протяженным, хотя за пределами некоторого интервала времени T значения этой функции могут быть весьма малыми.

Строго говоря, не может существовать функций, ограниченных во времени и одновременно обладающих финитным спектром. Однако, возможно существование таких функций, у которых практически вся энергия (мощность) сосредоточена в конечных интервалах времени и полосы частот. Сигналы, используемые в задачах радиоэлектроники и связи, в большинстве случаев представляют собой функции именно этого типа.

Таким образом, из изложенного следует, что, если основная энергия сигнала x(t ) сосредоточена на интервале времени T , а его спектр прибли-

женно ограничен частотой fB и если при этом
2TfB 1,	(5.21)

то функция x(t ) с достаточно высокой степенью точности определяется ее значениями в 2TfB точках отсчета, расположенных на расстоянии 12 fB . В

приведенном выше примере рассмотрена именно эта ситуация, поскольку в данном случае N = 2TfB = 2 103 1.

5.5. Теорема отсчетов в частотном представлении

Теорема отсчетов, рассмотренная в предыдущем подразделе, справедлива для функций, обладающих финитным спектром. Рассмотрим теперь теорему отсчетов для финитных функций времени, тождественно равных нулю вне интервала их определения на оси времени [25, 26 ].

215

Зададим некоторую функцию времени x(t ), определенную на интерва-

ле T1 <t <T2 и равную нулю вне этого интервала (рис. 5.10).

	x(t )
T			T	t
1	2
		T

Рис. 5.10. Функция времени, заданная на финитном интервале

Спектральная плотность этой функции определяется преобразованием Фурье

T
X (ω)= ∫2	x(t )exp{− jωt}dt .	(5.22)
T1

Продолжим функцию x(t ) периодически с периодом T =T2 −T1 и пред-

ставим ее комплексным рядом Фурье

				∞			2πn
x(t )= ∑ Dn exp j							T	t ,		(5.23)
			n=−∞
где коэффициенты Dn имеют вид
D =	1		T 2		x(t )exp − j 2πn t dt.					(5.24)
n	T −T∫						T
				2
Если в выражении (5.22)		задать спектральную плотность								X (ω) в точ-
ках
ω = nω0		= n			2π	где	ω0 =	2π	,
					,			T
					T

то это выражение примет вид

216

2πn

T / 2

2πn

(5.25)

X

=

x(t )exp − j

t dt.

T

−T∫2

T

Сравнивая выражения (5.24) и (5.25), запишем

1

2πn

Dn

=

X

.

(5.26)

T

T

Подставляя представление функции x(t )

рядом Фурье (5.23) в выраже-

ние (5.22), запишем

T / 2

∞

2πn

(5.27)

X (ω)=

∑ Dn exp j

T

t

exp(− jωt )dt,

−T∫/ 2 n=−∞

а затем, используя (5.26), преобразуем (5.27) к виду

∞

2πn 1

T / 2

2πn

X (ω)= ∑ X

∫

exp − j ω −

t dt,

(5.28)

n=−∞

T

T

−T / 2

T

Вычисляя интеграл, входящий в выражение (5.28), получим

T / 2

2πn

∫ exp

− j ω −

T

t dt =

−T / 2

ωt

exp

− j (ω − 2πn /T )t

T / 2

sin

2

−πn

= −

=

j

(ωt − 2πn /T )

ωt

−πn

−T / 2

2

и тогда выражение (5.28) можно переписать как

sin

ωt

−πn

∞

X (ω)= ∑ X (

2πn /T )

2

.

(5.29)

n=−∞

ωt

−

πn

2

Таким образом, значения спектральной плотности

X (2πn /T )

опре-

деляют спектр финитной функции x(t )

на всей оси частот. Проведен-

ный анализ позволяет сформулировать теорему отсчетов в частотном представлении:

Теорема. Если X (ω) есть спектральная плотность финитной функции

217

времени x(t ),тождественно равной нулю вне интервала T1 <t <T2 , то

X (ω) однозначно определяется последовательностью ее значений,

отстоящих друг от друга на расстояние 1/T герц. (Если по оси частот откладывается угловая частота, то расстояние между точками отсчета определяется как 2π /T ).

Из рассмотрения, проведенного в предыдущем подразделе, следует,

что	если протяженность сигнала по оси времени приближенно составляет
величину T , а его спектральная плотность приближенно ограничена часто-
той	fB и если 2TfB 1, то спектральная функция финитного сигнала оп-

ределяется (TfB +1) значениями в точках отсчета, отстоящих на расстояние

T друг от друга. Единица в данном выражении появляется в связи с необходимостью учета значения спектральной плотности при n = 0 , т.е. на нулевой частоте. Однако, поскольку для всех частот, отличных от нуля, задание спектральной плотности требует задания ее вещественной и мнимой частей, то общее число независимых величин, необходимых для однозначного определения спек тральной плотности, составляет

2TfB +1 ≈ 2TfB 1,

(5.30)

т.е. столько же, сколько и при временном представлении.

5.6. Комплексный аналитический сигнал. Преобразования Гильберта

До настоящего момента все рассматриваемые физические процессы x (t )

(в общем случае негармонические и непериодические) представляли собой действительные функции времени. В случае гармонических колебаний для их анализа обычно используются методы комплексного исчисления. Удобство этих методов и компактность получаемых результатов привели к

218

развитию комплексных способов представления негармонических сигналов и, прежде всего, к введению и использованию понятия комплексного аналитического сигнала. Считая, что физический процесс, представленный действительной функцией x(t ), обладает конечной мощностью (т.е. интег-

рируется в квадрате)

∞∫ x2 (t )dt <∞,	(5.31)
−∞

введем понятие комплексного аналитического сигнала, отвечающего функции x(t ) [20, 21, 25, 27].

Если некоторая действительная функция удовлетворяет условию (5.31) то, с использованием интегрального преобразования Гильберта [9, 25, 27],

может быть найдена некоторая функция σ (t ), называемая сопряженной к функции x (t ):

σ (t )= −

1

P ∞

x(t ')

dt ' .

(5.32а)

π

−∞∫

t −t '

При этом имеет место и обратное преобразование Гильберта

x(t )=

1

P ∞

σ (t ')

dt '.

(5.32б)

π

−∞∫

t −t '

В выражениях (5.32) символ P означает главное значение интеграла в

смысле Коши в точке разрыва t =t ',

определяемое как предел

1

∞

σ (t ')

1

t−δ

σ (t ')

1

∞

σ (t ')

P ∫

dt ' = limδ→0

∫

dt '+

∫

dt′ .

(5.33)

π

π

−∞

t −t '

−∞

t −t '

π t+δ

t −t '

Образуем теперь на действительной оси времени комплексную функ-

цию	(t )= x(t )− jσ (t ).	(5.34)
ψ
&

219

Действительная часть этой функции представляет собой физический про-

цесс x(t ), а мнимая часть σ (t ) есть сопряженная функция.

Е. Титчмарш в своей классической работе по теории интегралов Фурье

[9] доказал следующее: для того, чтобы комплексная функция ψ& (t ) была пределом аналитической функции комплексной переменной z (t + ju) при u →0 , необходимо и достаточно выполнения любого из условий:

1. Функции x(t ) иσ (t ), образующие функцию ψ& (t ), должны быть сопря-

женными;

2. Преобразование Фурье ψ& (ω) над функцией ψ& (t ) должно быть тожде-

ственно равно нулю при ω < 0 , т.е. в области отрицательных частот. (Здесь необходимо отметить, что выполнение одного из этих условий автоматически влечет за собой выполнение другого).

Учитывая изложенное, видим, что комплексная функция (5.34) удовлетворяет одному из заданных условий и будем называть эту функцию комплексным аналитическим сигналом ( или просто аналитическим сигналом).

Рассматривая спектральные свойства аналитического сигнала ψ& (t ), можно

показать, что данный сигнал можно получить, минуя вычисление сопря-

женной функции σ (t ), если известна действительная функция x(t ) и ее

спектральная плотность (в общем случае – комплексная). С этой целью оп-

ределим спектральную плотность X&σ (ω)

мнимой части аналитического

сигнала, используя соотношение (5.32а):

X&

ω

)

= ∞ σ

(

t

)

exp

(

− jωt

)

dt = −

1

∞ exp

(

− jωt dt

∞

x(t ')

dt '.

(5.35)

σ (

∫

π

∫

)

∫

−∞

−∞

−∞ t −t '

Переменные интегрирования в выражении (5.35) разделяются с использованием замены t −t ' =u , dt = du , t =u +t ' .

Тогда exp[− jωt]= exp[− jωt ']exp[− jωu] и выражение (5.35) может быть преобразовано к виду

220

X&σ (ω)= −	1	∞∫ x(t ')exp(− jωt ')dt '	∞∫	cosωu − j sinωu du.	(5.36)
	π −∞		−∞	u

Первый интеграл в соотношении (5.36) представляет собой спектральную плотность X&σ (ω) функции x(t ). Для вычисления второго интеграла пере-

пишем его как

−	1	∞∫	cosωu du +	j	∞∫	sinωu du .
	π −∞		u	π −∞		u

Первое слагаемое после замены переменных ωu = z , du = dz /ω, u = z /ω приводится к известному интегралу

					∞∫	cos z dz = 0	,
					−∞	z
а второе слагаемое, которое можно переписать в виде
			j	∞∫	sinωu du = 2 j ∞∫sinωu du ,
			π −∞		u	π 0	u
представляет собой формулу обращения для функции знака sign(ω) :
							−1 при ω < 0
2		∞ sinωu du = sign(ω) =						0 при ω = 0 .	(5.37)
	π	∫0 u						1 при ω > 0

Таким образом, из выражений (5.36) и (5.37) следует, что спектральная

плотность мнимой части σ (t )	аналитического сигнала ψ	(t )	может быть
	&
определена в виде
.
X σ (ω)= jX&X (ω)sign(ω).			(5.38)

С учетом результата (5.38) и в соответствии с теоремой линейности (сло-

жения) для преобразования Фурье, запишем			спектральную плотность
аналитического сигнала (5.34)
ψ	&	&	(5.39)
	(ω)= X X (ω)− jXσ (ω).
&

221