Inzhenernaya_grafika_Lektsii_Shibaeva

11

5. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПРЯМОЙ

5.1.Проекции отрезка прямой линии

Существует свойство параллельного проецирования: прямая линия проецируется в виде прямой (кроме того случая, когда направление прямой совпадает с направлением проецирования, тогда проекцией прямой на плоскости проекций является точка ).

Известно, что две точки определяют прямую. Следовательно, чтобы изобразить прямую на чертеже, необходимо иметь проекции определяющих еѐ точек.

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А (a', a ) и В (b', b ). Соединим фронтальные проекции а' и b', а также горизонтальные проекции а и b прямыми линиями (рис. 5.1), получаем проекции отрезка АВ: фронтальную а' b' и горизонтальную а b.

Сравним координаты кон-			b	′
цов отрезка, точек А и В:	zА не
равняется zВ , yА не равняется yВ ,
xА не равняется xВ . Значит, точки			a′
А (a', a ) и В (b', b ) находятся на
разных расстояниях от каждой из		x		o
плоскостей H, V, W, т.е. прямая
АВ (a' b', ab ) не параллельна ни			a
одной из них. Такая прямая назы-
вается прямой общего положения.
У отрезка такой прямой проек-			b
ции меньше самого отрезка, т.е.
прямая общего положения про-			Рис. 5.1– Эпюр прямой
ецируется на все плоскости про-			общего положения
екций с искажением. У такой
прямой ни одна из проекций не параллельна и не перпендикулярна ни одной из
осей проекций.

5.2. Частные случаи расположения прямой линии относительно плоскостей проекций

Прямая линия может занимать относительно плоскости проекций частные положения. Рассмотрим их по следующим двум признакам:

•Прямая параллельна одной плоскости проекций;

•Прямая параллельна двум плоскостям проекций.

Впервом случае одна проекция отрезка равна самому отрезку. Во втором случае две проекции отрезка равны ему.

5.2.1. Прямая параллельна одной плоскости проекций.

12

Прямые линии, параллельные плоскостям проекций, называют соответственно горизонтальной, фронтальной и профильной прямыми. Их также называют линиями уровня.

На рис. 5.2 показаны линии уровня. Прямая линия АВ (ab, a' b' ) является горизонтальной прямой, она параллельна горизонтальной плоскости проекций. У такой прямой горизонтальная проекция отрезка (a b ) равна самому отрезку; угол наклона горизонтальной проекции горизонтальной прямой (a b ) к оси ох является углом наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций; фронтальная проекция этого отрезка (a' b' )параллельна оси ох (так как координаты z концов отрезка равны между собой). Прямая линия CD (cd, c' d ' ) является фронтальной прямой, она параллельна фронтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция отрезка такой прямой (c' d ' ) равна самому отрезку; горизонтальная проекция (cd ) расположена параллельно оси ох (так как координаты у концов отрезка равны между собой); угол наклона фронтальной проекции фронтальной прямой (c' d ' ) к оси ох является углом наклона прямой CD к горизонтальной плоскости проекций. Прямая EF (е' f ', е f, е'' f '' ) является профильной прямой, она параллельна профильной плоскости проекций. У такой прямой профильная проекция отрезка (е'' f '' ) равна самому отрезку; угол наклона профильной проекции этого отрезка (е'' f '' ) к оси z является углом наклона самой прямой в пространстве к фронтальной плоскости проекций, а угол наклона профильной проекции (е'' f '' ) к оси Yw равен углу наклона самой прямой к горизонтальной плоскости проекций; фронтальная (е'

			e′	z
		d′		e″
a′	b′
	c′		f ′	f ″
x			o	yW
a	c	d	e
			f
	b
				yH

Рис. 5.2– Прямые, параллельные одной из плоскостей проекций

f ' ) и горизонтальная (е f ) проекции профильной прямой перпендикулярны оси ох (так как координаты x концов отрезка равны между собой ).

5.2.2. Прямая параллельна двум плоскостям проекций.

13

Если прямая параллельна двум плоскостям проекций, то она перпендикулярна третьей плоскости проекций и проецируется на эту плоскость в точку, а на две другие плоскости проекций в отрезки, равные самому отрезку. Такие прямые называют проецирующими прямыми. На рис. 5.3 изображены проецирую-

a′

c′≡ d′

		z
e′	f′	e״≡ f″

		b′
x	c	yw
		o

e

f

d	a≡ b
	yH

Рис. 5.3– Проецирующие прямые

щие прямые. Прямая АВ (a' b', ab ), перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, является горизонтально - проецирующей прямой. Прямая CD (c' d ', cd ), перпендикулярная фронтальной плоскости проекций называется фронтальнопроецирующей прямой. Прямая EF (е' f ', е f, е'' f '' ), перпендикулярная профильной плоскости проекций является профильно - проецирующей прямой.

5.3. Точка на прямой. Следы прямой

Существует свойство параллельного проецирования: если точка принад-

лежит линии, то проекции этой точ-	b	′
ки принадлежат одноименным про-
	c′
екциям этой линии.
На рис. 5.4 дан чертеж неко-
торой прямой общего положения АВ	a′
(a' b', ab ). Если известно, что точка
С принадлежит этой прямой и что x		o
горизонтальная проекция этой точ-
ки находится в точке с , то фрон-	a
тальная проекция с' определится
так, как показано на рис. 5.4.	c
	b
	Рис. 5.4– Точка на прямой

				14
		z			На	рис. 5.5	показано по-
					строение	точки на	профильной
	c′	c″
					прямой CD (c' d ', c d, c'' d '' ). По-
	e′	e″			ложим, что заданы горизонталь-
					ная и фронтальная проекции этой
					прямой, а также фронтальная
x	d′	o	d″	yW	проекция точки Е - е' ; надо найти
					горизонтальную проекцию этой
	c
					точки. В этом случае построение
	e
					может быть выполнено при по-
	d				мощи профильной проекции от-
					резка CD - c'' d ''.		Ход построе-
		yH
					ния показан стрелками. Сначала
	Рис. 5.5– Точка на				определена проекция е'', а по ней
					искомая проекция е.
	профильной прямой
					Из множества точек, при-
надлежащих некоторой прямой, можно выделить следы прямой. Следами
прямой называют точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций.
Точку пересечения прямой линии с горизонтальной плоскостью проекций
называют горизонтальным следом. Точку пересечения прямой линии с фрон-
тальной плоскостью проекцией V называют фронтальным следом. На рис. 5.6
показана пространственная модель построения следов отрезка АВ (a' b', ab )
					прямой линии. Здесь прямая пере-
	V	n′≡N			секает горизонтальную плоскость
					проекций Н в точке М (m', m ) и
	b′				фронтальную плоскость проекций
					в точке N (n', n ).
		B			Горизонтальный след (точка
					М) имеет здесь и горизонтальную
	a′				проекцию m, т.е. М m
x	m′		o		( - знак совпадения ); а так как
	A	n			координата z точки М равна нулю,
		b			то фронтальная проекция m' будет
					на оси проекций x.
	a
			H		Фронтальный след ( N ) и его
	m≡ M
	Рис. 5.6– Пространственная мо-				фронтальная проекция совпадают ,
					т.е. N n' ; горизонтальная проек-
	дель построения следов прямой				ция n будет на оси проекций x. Ко-
					ордината y точки N равна нулю.

			15
			z	На	рис. 5.7 показано
				построение следов			отрезка
		n′≡N
	b′			АВ на чертеже.		Чтобы по-
				строить проекции точки М -
				горизонтального			следа,
	a′			нужно	продолжить		фрон-
				тальную	проекцию		прямой
x	m′	n	o	до пересечения с осью х, по-
				лучится точка m', через точ-
	b			ку m' провести перпендику-
				ляр к оси x до пересечения с
				продолжением горизонталь-
				ной проекции ab. Точка m -
	a		yH	горизонтальная		проекция
				горизонтального		следа; она
	m≡M			совпадает с самим следом.
	Рис.5.7– Следы прямой на эпюре			Для построения про-
				екций точки N -		фронталь-

ного следа продолжаем горизонтальную проекцию отрезка до пересечения с осью x; получится горизонтальная проекция фронтального следа - точка n; через точку n проводим перпендикуляр к оси x до пересечения с продолжением фронтальной проекции отрезка. Точка n' - фронтальная проекция фронтального следа. Она совпадает с самим следом.

Прямая, пересекая в точках M и N плоскости проекций H и V, проходит через четвертый, первый и второй октанты. При продолжении она пересечет и профильную плоскость и перейдет в шестой октант.

Любая прямая общего положения пересекает три плоскости проекций, т.е. имеет фронтальный, горизонтальный и профильный следы.

Линии уровня параллельны одной из плоскостей проекций, они имеют два следа, т.е. пересекутся только с теми плоскостями проекций, которым не параллельны.

Проецирующие прямые пересекутся только с одной плоскостью проекций, с той, которой они перпендикулярны.

5.4. Взаимное положение двух прямых

Прямые линии в пространстве могут занимать различные положения:

они могут быть взаимно параллельны, пересекаться и быть скрещивающимися.

5.4.1 Параллельные прямые.

Согласно свойству параллельного проецирования одноименные проекции двух параллельных прямых линий параллельны, находятся в таком же

						16
		c′				отношении, как и длины самих отрезков и
						являются проекциями одного направления.
	a′					Из указанного свойства параллельного про-
						ецирования следует, что горизонтальные
				d	′	проекции	параллельных	прямых	парал-
						лельны между собой, фронтальные проек-
		b	′			ции параллельны между собой, профиль-
						ные проекции параллельны между собой.
	x					Для определения по проекциям пря-
		b		d		мых их взаимного положения в простран-
						стве для прямых общего положения доста-
						точно двух проекций этих прямых.
		c				На рис. 5.8 показан чертеж отрезков
	a					двух параллельных прямых - ab, a' b' и cd,
	Рис. 5.8– Параллельные					c' d ' , занимающих в пространстве общее
						положение. На чертеже видно, что одно-
	прямые общего положения
						именные	проекции этих	прямых	парал-

лельны, значит, эти прямые в пространстве параллельны.

Но если дан чертеж двух параллельных линий уровня, то вопрос об их взаимном положении наглядно решается при помощи проекций этих прямых на той плоскости проекций, по отношению к которой данные прямые параллельны.

Пример дан на рис. 5.9: профильные прямые CD и EF в пространстве параллельны, так как их одноименные проекции параллельны на всех трех плоскостях проекций.

				z
c′				c″
d′	a′			a″
				d″
	b	′		b″
x	a		o	yW
c
	b
d
				yH
Рис. 5.9–Параллельные профильные прямые

17

Если на чертеже через данную точку А (a', a ) требуется провести прямую, параллельную данной прямой CD (c' d ', c d ), то (рис. 5.10) построение сводится к проведению через a' прямой, параллельной c' d ' и через точку a прямой, параллельной cd.

В случае, изображенном на рис. 5.11, прямые АВ и CD параллельны, но они расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости Н. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

	d′	a′	c	′
	a′			b′	d′
c	′
x		o x			o
	a				d
с			c	b
	d	a
Рис. 5.10 –Проведение через		Рис. 5.11–Параллельные
точку параллельной прямой			прямые

5.4.2. Пересекающиеся прямые.

Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися. На чертеже (рис. 5.12) прямые a' b', ab и c'd ', cd пересекаются в точке k, k '.

Согласно свойству параллельного проецирования одноименные проекции этих прямых пересекаются и точки их пересечения являются проекциям одной точки пространства, т.е. принадлежат одной линии связи (рис. 5.12). Угол между пересекающимися прямыми общего положения не проецируется в натуральную величину ни на одну из плоскостей проек-

ций.		d′
a′		k′
x	c′		b′
			o
	c		b
a		k
		d
Рис. 5.12– Пересекающиеся
прямые

18

B

C

A

b

a

H	c

Рис. 5.13– Проецирование прямого угла на пространственном чертеже

Если прямые в пространстве пересекаются под прямым углом, т.е. взаимно перпендикулярны, и одна из прямых является линией уровня, то при построении проекций таких прямых применяется следующее свойство прямоугольного проецирова-

ния: если одна из сторон прямого угла параллельна какой либо плоскости проекций (а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости ), то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения

(прямым углом ).

На пространственном чертеже (рис. 5.13) отрезок АВ перпендикулярен ВС, а так как ВС параллельна плоскости Н, то на эту плоскость прямой угол при точке В проецируется как прямой угол при проекции точки В на плоскость Н - b, т.е. на эпюре ab перпендикулярна bc.

На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на рис. 5.14, в пространстве являются прямыми.

						d′
		c′				90○
					c′	e′
a′	b	′
x
	b	o	x				o
	90○					e
a		c			c	d

Рис. 5.14–Проекции прямого угла 5.4.3. Скрещивающиеся прямые.

Прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. Если пере-

секающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

	19
	На рис. 5.15 показан пример двух	a	′			′	′′	k′		d′
	скрещивающихся прямых ab, a' b' и cd, c'					e ≡f
	d '.			c′				q′
	Проекции двух скрещивающихся
	прямых могут пересекаться, но точки пе-								b	′
	ресечения одноименных проекций не ле-
	жат на одной линии связи, т.е. каждая из
	точек пересечения проекций прямых яв-									o
	ляется проекцией двух точек простран-
	ства, они лежат на одном проецирующем			c			e		b
	луче. Такие точки называются конкури-
								k ≡q		d
	рующими.
	Точки E (е', е ) и F (f ', f ) (рис. 5.15)	a					f
	лежат на одном проецирующем луче по
		Рис. 5.15– Скрещивающиеся
	отношению к плоскости V ; они одинако-
		прямые
	во удалены от плоскости H, т.е. коорди-
	наты z этих точек одинаковы, а по коор-

динатам y этих точек можно определить, что точка F ближе к наблюдателю, чем точка Е.

Точки K (k', k ) и Q (q', q ) (рис. 5.15) лежат на одном проецирующем луче по отношению к плоскости H.

У этих точек одинаковые координаты y, а координата z точки K больше координаты z точки Q , значит, точка K "закрывает" точку Q , т.е. точка K ближе к наблюдателю, чем точка Q.

20

6.КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ПЛОСКОСТИ

6.1.Различные способы задания плоскости на чертежах

Положение плоскости в пространстве определяется положением задающих ее элементов:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой, б) прямой и точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми, д) плоской фигурой.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 6.1, а), б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой, (рис. 6.1, б), в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 6.1, в),

г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 6.1, г), д) проекциями плоской фигуры, например, треугольника (рис. 6.1, д).

) проведем прямую, параллельную прямой АВ (ab, a' b' ).

	c′			a′
a′					a′		d′
		c	′			k′
b′				b′	c′		b′
x	o	x		o	x		o
b		c		b	c		b
	c					k	d
					a
a
				a
а )				б )		в )

	c′						b′
a′
	b	′	d	′		a′		c′
x				o	x			o
	b		d
							b
a
	c					a
								c
	г )
						д )

Рис. 6.1– Способы задания плоскости на комплексном чертеже