Inzhenernaya_grafika_Lektsii_Shibaeva

21

Более наглядно плоскость может быть задана следами. Прямые, по ко-

торым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами этой плоскости на плоскостях проекций.

На рис. 6.2 изображен отсек плоскости , который находится в первом октанте. Плоскость пересекает горизонтальную плоскость проекций по

прямой, обозначенной н - это горизонтальный след плоскости , фронталь-

ную плоскость проекций по прямой

z

v - это фронтальный след и про-

V

αz

фильную

плоскость

проекций

по

прямой w - это профильный след

плоскости . Следы v и н пере-

αz

W

секаются на оси х в точке, обозна-

αw

ченной х. Следы v

и w пересе-

каются на оси z в точке z и следы

x

αx

o

н и

w пересекаются на оси y в

точке

y.

x, z , y

называются

αн

αy

точками

пересечения

следов

или

H

точками схода следов.

y

Чертеж, получаемый в этом

Рис. 6.2– Задание плоскости следами

случае представлен на рис. 6.3.

на пространственном чертеже

αV

n

′

′

αV d′

n1

x

o

x

αx

b′

	αН		m1′	a′	c′
				m′	n1	n	o
			αx
				b	d
				a
Рис. 6.3– Задание			m1		c
плоскости следами				m
На рис. 6.4 плоскость				αн
была задана параллельными пря-			Рис. 6.4– Построение следов плоскости,
мыми AB и CD. Чтобы построить			заданной параллельными прямыми
фронтальный	след	плоскости
нужны две точки, принадлежащие прямым AB и CD и фронтальной плоскости

проекций. Такими точками являются точки N1 и N - фронтальные следы прямых AB и CD соответственно. Построив проекции этих следов и проведя через точки n1' и n' прямую, получим фронтальный след плоскости v . Для построения горизонтального следа плоскости нужно построить горизонтальные следы

M1 (m1', m1 ) и M (m', m ) прямых AB (a' b', ab ) и CD (c' d ', c d ). Построив про-

			22
екции этих следов и соединив точки x ,				m1	и m, получим горизонтальный
		αV		a′		d	′
	b	′					b′
	a′						c′
x αx		o	x				o
	a						c
		b		a		d
αН
	а)				б)		b

Рис. 6.6– Фронтально–проецирующие плоскости

след н.

6.2. Положения плоскости относительно плоскостей проекций

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций : 1) плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций - это плоскость общего положения;

2) плоскость, перпендикулярная одной или двум плоскостям проекций - это проецирующая плоскость.

6.3.1. Проецирующие плоскости.

Любые геометрические образы, расположенные в проецирующих плоскостях, проецируются на перпендикулярные к ним плоскости проекций в виде прямых линий.

а) Фронтально - проецирующая плоскость - это плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

На рис. 6.5 дано наглядное изображение такой плоскости. Плоскость перпендикулярна плоскости V. У такой плоскости горизонтальный след н перпендикулярен оси x, а угол наклона фронтального следа v к оси x равен углу наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций (рис. 6.5, 6.6, а)).Если во фронтально - проецирующей плоскости расположена точка, то ее фронтальная проекция должна быть на фронтальном следе плоскости (рис. 6.5, 6.6, а))Это относится к любой системе точек, расположенных во фронтально - проецирующей плоскости, будь то прямые линии, плоские кривые линии или геометрические фигуры.

На рис. 6.6, б плоскость, заданная треугольником АВС так же является фронтально - проецирующей. Фронтальной проекцией треугольника является прямая линия. Угол наклона этой прямой линии к оси x является углом наклона этой плоскости к

				z
	V			αz
			αV	αw
	a	′		W
				A
x	αx			o

αн

H

y

Рис. 6.5–Фронтально-проецирующая плоскость

23

плоскости V. Точка D, принадлежащая плоскости, заданной треугольником ABC, на фронтальной проекции проецируется на прямую a' b' c '.

б) Горизонтально - проецирующая плоскость - это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций.

Эту плоскость можно задать следами (рис. 6.7, 6.8, а), а можно любым другим способом, например, пересекающимися прямыми (рис. 6.8, б).

При задании плоскости следами ее фронтальный след перпендикулярен оси x , а угол наклона горизонтального следа к оси x является углом наклона данной плоскости к фронтальной плоскости проекций.

На рис 6.8, б дан пример, когда плоскость, заданная пересекающимися прямыми, является горизонтально–проецирующей. Все точки, принадлежащие таким прямым проецируются на горизонтальную плоскость проекций в виде прямой линии. А угол наклона этой прямой к оси x является углом наклона этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

a′

d′

βv

a′

k

′

z

c′

V

γv

x

βx

o

x

b′

γw

A

a״

a

W

o

βн

a c

x

k

d

b

γy

H

γн

а)

б)

y

Рис. 6.9–Профильно–

Рис. 6.8– Горизонтально–проецирующие плоскости

в) Плоскость, перпендикулярная профильной

проецирующая плоскость

плоскости проекций, называется профильно - проецирующей плоскостью.

z

На рис. 6.9 дано наглядное изобра-

жение плоскости, перпендикулярной W, а

V

н а рис. 6.10, а чертеж этой плоскости.

βV

Плоскость также параллельна оси про-

W

екций x. Для плоскости

характерно,

A

что фронтальный и горизонтальный сле-

β

ды параллельны оси x, угол наклона про-

βx

βW

o

фильного следа к оси z

является углом

x

a

наклона этой плоскости

к

V, а

угол

βН

наклона профильного следа к оси у явля-

βy

ется углом наклона этой плоскости к H.

H

y

Рис. 6.7– Горизонтально–

проецирующая плоскость

					24
Профильная проекция треугольника АВС представляет собой отрезок прямой ли-
нии (рис. 6.10 б). Угол наклона этого отрезка к оси z является углом наклона плос-
кости треугольника к плоскости V, а угол наклона этого отрезка к оси yw равен углу
наклона плоскости треугольника к плоскости H.
Проецирующие плоскости могут быть перпендикулярны двум плоско-
			z		b′			z
	γv								b″
			γz						a″
				γw	a′
	a′			a″		c	′			c″
				γywyw
x			o		x			o			yw
					b
	γн		γyh		a
			yн			c
		а)			б)			yн
	Рис. 6.10– Профильно–проецирующие плоскости
стям проекций. Здесь возможны три случая частных положений.
а) Плоскость перпендикулярна к фронтальной и профильной плоско-
стям проекций. Такие плоскости называются горизонтальными (рис. 6.11).
			z			a′
V	a′	αv	αw		αv				b′	c′
		A		a″
		α		W	x						o
										z
									b′ b
			o		V
x										c
								β
									B		b″
		a
		H		y		a					W
			а)		x				б)	o	βw
		Рис. 6.11– Горизонтальная плоскостьβН
б) Плоскость перпендикулярна к									b
									H		y
горизонтальной и профильной плоско-
стям проекций, т.е. параллельна								Рис. 6.12–Фронтальная
фронтальной плоскости проекций. Та-								плоскость
кие плоскости называются фронтальными (рис. 6.12)

	25
b′	b′

a′

c′

x

o

x

o

βН
b	a		c	b
а)		б)
Рис.	6.13– Фронтальная плоскость

На рис. 6.13,а показана фронтальная плоскость.

Плоскость перпендикулярна к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций, т.е. параллельна профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильными (рис. 6.14).

				z	e′			z		e″
	V c′
						′			″
								d
					d′					k″
	γV
			С γ		k
				W	f	′				f	″
				x			o				yw
x				o	d
		с			e
			γН		k
		H		y	f			yН
				а)				б)

Рис. 6.14– Профильная плоскость

На рис. 6.14, а профильная плоскость задана следами, а на рис. 6.14, б треугольником. Треугольник проецируется без искажения на плоскость проекций W , а на плоскости H и V в виде прямых линий, перпендикулярных оси x.

26

7. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

7.1. Пересечение прямых линий проецирующими плоскостями

При рассмотрении проецирующих плоскостей установлена важная для них особенность: плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точ-

ки пересечения некоторой прямой с данной проецирующей плоскостью.

		a′
				αv		e′
			k′	e΄	k′
				b′
	d΄			d′
x		c′		o x		αx	o
				b
	d			d
			k	e	k	αн
		c				e
		a

Рис.7.1– Пересечение прямой го- ризонтально–проецирующей плоскостью

Рис.7.2– Пересечение прямой фронтально–проецирующей плоскостью

По чертежу на рис. 7.1 мы представляем, что в пространстве пересекается прямая DE с плоскостью, заданной треугольником ABC, в точке К. Причем эта плоскость проецируется на плоскость H в виде прямой линии, значит эта плоскость горизонтально - проецирующая. Поэтому мы сначала находим горизонтальную проекцию точки k в месте пересечения проекций de и ab. Определив точку k, строим фронтальную проекцию k', исходя из условия принадлежности точки и прямой. Так как прямая DE в направлении от точки D до точки K находится за треугольником, то на чертеже часть фронтальной проекции прямой проведена штриховой линией.

На рис. 7.2 плоскость , заданная следами, пересекается с прямой DE. Так как горизонтальный след н перпендикулярен оси x, то мы определяем, что плоскость - фронтально - проецирующая. Поэтому мы определяем фронтальную проекцию k ' в месте пересечения v и d 'e', а затем находим горизонтальную проекцию k. Условно считаем, что данная плоскость не прозрачна, а так как прямая DE

, горизонтальную проекцию d

27

от точки D до точки K находится под плоскостью

e от точки d до точки k проводим штриховой линией.

7.2. Взаимное пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой. Положение прямой в пространстве определяется, если даны две точки, принадлежащие этой прямой, или дана одна точка и известно направление этой прямой. Поэтому, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, надо знать: либо две точки, принадлежащие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения.

7.2.1. Пересечение проецирующей плоскости с плоскостью общего положения. Линия пересечения плоскости общего положения проецирующей плоскостью

определяется по точкам пересечения двух любых прямых линий плоскости общего положения проецирующей плоскостью.

f′΄

e′

a

′

αv

n′

b′

k′

n

′

f

′

d′

k′

d′

c

′

e

′

x

f

o

αx

x

f o

n

d

d

b

n

a

c

k

αн

k

а)

e

e

б)

Рис.7.3– Пересечение проецирующей плоскости с плоскостью общего положения

Пусть плоскость общего положения, заданная треугольником DEF, пересекается горизонтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником ABC (рис. 7.3,а). Так как треугольник ABC проецируется на плоскость H в виде прямой линии, то горизонтальная проекция прямой, по которой пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок kn. Точка k является горизонтальной проекцией точки пересечения прямой DE с треугольником ABC, а точка n – горизонтальной проекцией точки пересечения прямой FE с треугольником ABC. Дальнейшее построение видно из чертежа.

На рис. 7.3,б фронтально-проецирующая плоскость пересекает плоскость треугольника DEF. Фронтальная проекция линии пересечения определяется на следе v - это прямая k' n'. Точки k' и n' являются фронтальными проекциями точек пересечения прямых DE и DF соответственно с плоскостью .

28

29

8.МНОГОГРАННИКИ

8.1.Изображение многогранников

Многогранники – это замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Наиболее часто в чертежах встречаются такие многогранники, как пирамида, призма, куб. Чертежи многогранников, как и чертежи любых пространственных фигур, должны быть обратимыми, т.е. такими, чтобы по ним можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета.

На комплексном чертеже построение проекций многогранников сводится к построению проекций его граней, ребер, вершин, т.е. проекций плоских фигур, отрезков прямых и точек, что известно из предыдущих разделов. При этом (выполняя условия видимости) изображают невидимые ребра штриховыми линиями. Для облегчения реконструкции многогранника рекомендуется обозначать проекции его вершин.

s′			a1′		b1′		c1′
b′
c′
a′				′		′		′
s	o	x	a		b		c		o
a								c≡c1
		a≡a1
c
b					b≡b1
Рис. 8.1– Комплексный			Рис. 8.2– Комплексный
чертеж пирамиды			чертеж призмы

На рис.8.1 дан комплексный чертеж пирамиды SABC. Грани пирамиды и ее основание являются плоскостями общего положения, а ребра и стороны основания – прямые общего положения. Проекции прямой призмы представлены на рис. 8.2. Прямой призмой называют призму, ребра которой перпендикулярны основанию. В данном примере ребра призмы являются горизонтально - проецирующими прямыми, грани призмы - горизонтально - проецирующие плоскости, а верхние и нижние основания - горизонтальные плоскости.

30

Если у многогранника некоторые из его ребер являются профильными прямыми или проецирующими прямыми, а вершины не обозначены, то при реконструкции многогранника по комплексному чертежу можно получить не одно, а несколько решений. В самом деле, если задан комплексный чертеж куба (рис. 8.3,а), на котором нет обозначений вершин, то при реконструкции, помимо куба (рис. 8.3,б) можно получить четыре различно расположенные в пространстве призмы (одна из призм изображена на рис. 8.3,в). Кроме того, можно получить четверть кругового цилиндра (рис. 8.3,г) и др. Для устранения многозначности в этом случае необходимо обозначить проекции вершин куба.

		а)		A	б)	D
a′≡b′
			c′≡d′
				B		C

				M	N
m′≡e′		f′′≡n′		E		F
				в)		г)
a≡m		d≡n

b≡e c≡f

Рис. 8.3– Реконструкции многогранника по комплексному чертежу

Таким образом, если у многогранника имеются ребра профильного или проецирующего положения, а также при совпадении проекций каких - нибудь вершины или ребер, обратимость чертежа достигается либо введением буквенных обозначений проекций вершин многогранника, либо построением профильной проекции или какой-нибудь другой дополнительной его проекции.

Если нужно на обеих проекциях многогранника построить точку, лежащую на одной из его граней, то следует через эту точку провести какую - либо прямую в этой грани. Выбор вспомогательной прямой для построения точки на грани вообще произволен, но при этом следует стремиться к возможно более простым построениям.