3.2.2. Графическое отделение корней

Очевидно, что найти корень уравнения (1) означает найти абсциссу точки пересечения графика y =f(x) с прямойу = 0, т.е. осью абсцисс. При этом если построениеy =f(x) затруднительно, то ее представляют в эквивалентном виде:

f₁(x) = f₂(x) (3)

с таким расчетом, чтобы графики y₁ =f₁(x) иy₂ =f₂(x) строились проще. Абсциссы их точек пересечения и будут корнями уравнения (1).

Рассмотрим в качестве примера уравнение x³ – 3x – 0,4 = 0. Согласно (3) запишем его как

x³ = 3x+ 0,4 . (4)

EMBED Word.Picture.8

Из рисунка видно, что здесь три корня: с₁[–2, –1]; с₂[–1, 0];с₃[1, 2].

При графическом отделении корней уравнения результат зависит от точности построения графиков.

3.3. Итерационные методы уточнения корней

3.3.1. Метод простой итерации

Метод простой итерации применяется к решению уравнения (1), разрешенному относительно x:

x=(x). (5)

Переход от записи (1) к эквивалентной записи (5) можно сделать многими способами.

Метод состоит в построении последовательности (2) в виде:

,n = 0,1,2,….

Если (x_n) – непрерывная функция, аx_n– сходящаяся последовательность, то искомое значениеx* =x_n и будет решением (5), а, следовательно, и (1).

Например, получим (5) из (1) следующим образом: умножим (1) на подобранную специальным образом функцию (x)0 (в частности можно взять(x) =const) и сложим с тождествомx =x, тогда (5) будет иметь вид, эквивалентный виду (3):

. (6)

Подбирая (x) добиваются сходимости решения (6). Она может быть монотонной (если'(x) > 0), или колеблющейся (если'(x) < 0).

Метод, очевидно, является одношаговым (m=1) и для начала вычислений нужно знать одно начальное приближениеx₀=, или x₀=, илиx₀= (+)/2.

EMBED Word.Picture.8EMBED Word.Picture.8

В методе простой итерации сходимость гарантированна не всегда, например, если (x) имеет такой характер:

Такая ситуация может быть устранена подбором (x) в (6).

Что касается выбора (x), то можно взять, например,(x) =Const= 1/k. В этом случае необходимо, чтобы |k| >max|f(x)| / 2. При этом знакkдолжен совпадать со знакомf(x).

Доказано, что в общем случае расходимость (несходимость) исключается, если подбирается соотношение

| '(x) |  q < 1. (7)

При этом скорость сходимости увеличивается при уменьшении величины q.

Максимальный интервал (,) при выполнении условия (7) называется областью сходимости. Для данной оценки (7) берется любоеx (,);x*(,).

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда {|x_n–x_n–1| или |f(x_n) –f(x_n–1)|} <.

3.3.2. Метод Ньютона (касательных)

Данный метод является модификацией метода простой итерации. Если функция f(x) непрерывна и дифференцируема, то выбрав в (6)получим эквивалентное уравнение в видеx=x –f(x)/f'(x) =(x),f'(x)0.

Подбором (x) добиваются, чтобы в (7)q='(x^*)0, что обеспечивает большую скорость сходимостив рекуррентномсоотношении метода в близи искомого корня

,n= 1,2,… (8)

Это также одношаговый метод.

Геометрическая интерпретация метода представлена на рисунке.

EMBED Word.Picture.8

Проблематичным является выбор x₀ в виду узости области сходимости вычисления производной. Часто при неудачном выбореx₀ нет монотонного убывания последовательности |f(x_n)|, поэтому рекомендуется вычисления проверить по модифицированной схеме

n= 0,1,2,…

Здесь сомножители _n[0,1] выбирают так, чтобы выполнялось неравенство

| f(x_n+1)| < |f(x_n)| .

При выборе начального приближения х₀предпочтительней использовать заведомо сходящийся метод, например, метод деления отрезка пополам.