Детерминированные модели управления запасами.
1.Детерминированная обобщённая модель определения оптимального размера партии продукции при допущении дефицита.
Рассматривается система управления запасами, когда продукция поступает на склад непосредственно с производственной линии с постоянной интенсивностью единиц продукции в единицу времени. При достижении некоторого уровня объёма запаса Q производство продукции прекращается. Возобновление производства и поставки продукции на склад осуществляется в момент, когда неудовлетворённый спрос достигнет некоторого значения G. Расходование запаса осуществляется с интенсивностью . Известны значения следующих параметров:- стоимость хранения единицы товара на складе в единицу времени;-стоимость организации заказа (одной партии продукции);- убытки от неудовлетворенного спроса (штраф). Требуется найти оптимальный объём партии продукции и интервал времени между точками возобновления поставки по критерию минимума общих затрат от функционирования системы управления запасами.
Графически условия задачи показаны на рис.3.
Из рисунка видно, что пополнение и расходование запаса осуществляются одновременно в течение интервала каждого цикла. Накопленный запасQ полностью расходуется в течение интервала . В течение интерваласпрос не удовлетворяется, а накапливается. Неудовлетворённый спросG покрывается в интервале . Величинаназываетсяполным циклом управления запасом. - предельный запас продукции,G – предельный дефицит продукции.
Очевидно текущий уровень запаса продукции определяется по формуле:
Из треугольника OAB следует:
или . (1)
Аналогично можно определить ,и(2)
Из подобия треугольников OAC и CEF можно записать Из равенства следует, что(3)
Выражение (3) с учётом (1) перепишется:
(4)
Тогда общая сумма затрат на пополнение, хранение запаса продукции и возможный штраф за неудовлетворительный спрос будет определяться выражением:
Если привести затраты в единицу времени, то выражение для удельных затрат будет иметь вид:
Таким образом, есть функция двух аргументовQ и T, оптимальные значения которых определяются как решение задачи:
Для того, чтобы найти минимум функции двух аргументов, необходимо и достаточно решить систему уравнений:
(5)
Это следует из факта, что функция является вогнутой функцией относительно своих аргументов. Решение системы уравнений (5) даёт следующие неотрицательные корни:
(6)
(7)
Минимум общих затрат в единицу времени составит:
(8)
Можно рассмотреть частные случаи.
Дефицит продукции не допускается. Решение задачи в этом случае получается из формулы (6)-(8), если положить штраф Тогда С1/С3=0 и оптимальные значения искомых величин будут:
Этому случаю соответствует график изменения уровня запаса во времени:
Пополнение запаса осуществляется мгновенно. В этом случае полагается и соответственно
График изменения уровня запаса имеет вид:
Дефицит не допускается, запасы пополняются мгновенно, т.е. . Тогда следует:
Эти формулы называются формулами Уилсона, а величина - экономическим размером партии.
График изменение уровня запаса имеет вид: