Простейшие виды движения твердого тела
Поступательное движение – это движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково.
Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной оси, которая называется осью вращения.
Для описания вращательного тела вокруг неподвижной оси используют угловые характеристики:
Угол поворота тела . Измеряется в радианах. Уравнение движения
Угловая скорость , определяет изменение угла поворота в единицу времени. Измеряется рад/с. Угловая скорость определяется как первая производная от угла поворота по времени.
Иногда для оценки быстроты вращения используют угловую частоту вращения n, которая оценивается в оборотах в минуту. Между угловой скоростью и частотой вращения существует зависимость:.
Угловое ускорение , определяет изменение угловой скорости во времени. Измеряется рад/с2. Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени .
Частные случаи вращательного движения:
Равномерное вращение – угловая скорость постоянна .
Уравнение равномерного вращения .
Кинематические графики
Равнопеременное вращение - угловое ускорение постоянно .
Уравнение равнопеременного вращения .
Угловое ускорение при ускоренном движении – величина положительная, угловая скорость возрастает.
Угловое ускорение при замедленном движении – величина отрицательная, угловая скорость убывает.
Кинематические графики
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры движения точки А, расположенной на расстоянии от оси вращения.
Путь точки А: ;
Линейная скорость точки А:.
Ускорение точки А: ;.
Последовательность решения задач расчетно-графической работы
Задание 1.
Определить вид движения на каждом участке по приведенному кинематическому графику.
Записать законы движения шкива на каждом участке. Параметры движения в конце каждого участка являются начальными параметрами движения на каждом последующем.
Определить полный угол поворота шкива за время вращения. Использовать формулу для перехода от угловой частоты вращения к угловому ускорению.
Определить полное число оборотов шкива, используя формулу .
Построить графики угловых перемещений и угловых ускорений.
Определить нормальное и касательное ускорения точки на ободе шкива в указанные моменты времени.
Задание 2.
Подставив заданные коэффициенты в общее уравнение движения, определить вид движения.
Определить уравнение скорости и ускорения груза.
Примеры решения задач.
Задача 1. Дано уравнение движения точки: . Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.
Решение.
Уравнение скорости ;
Скорость в конце третьей секунды (
.
Средняя скорость
Задача 2. Точка движется по кривой радиуса 10 м согласно уравнению . Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной составляющих ускорения в точке М и вид движения точки.
Решение:
Касательное ускорение определяется как .
Уравнение скорости:
Касательное ускорение м/с2.
Касательное ускорение не зависит от времени, оно постоянно, следовательно, движение равноускоренное.
Нормальное ускорение: .
Скорость на второй секунде будет равно: м/с.
Величина нормального ускорения м/с2.
Полное ускорение: .
Полное ускорение в конце второй секунды:
м/с2.
Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.
Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, так как касательное ускорение положительная величина.
Задача 3. По заданному графику угловой скорости определить вид движения. Определить полное число оборотов шкива за время движения. Построить графики угловых перемещений и угловых ускорений шкива.
Решение:
Из графика определяем вид движения:
Участок 1 – скорость возрастает равномерно, движение равноускоренное;
Участок 2 – скорость постоянна - движение равномерное;
Участок 3 – скорость убывает равномерно – движение равноускоренное.
Определяем угловое ускорение:
Участок 1 - рад/с; рад/с;рад/с2
Участок 2 - рад/с;рад/с;рад/с2;
Участок 3 - рад/с;рад/с.рад/с2.
Определяем угол поворота : ; ;.
Участок 1 - рад;
Участок 2 - рад;
Участок 3 – рад.
рад.
Определяем полное число оборотов шкива за время движения:
Строим графики угловых перемещений:
Участок 1 - рад;
Участок 2 - рад;
Участок 3 – рад.
Строим графики угловых ускорений.
Участок 1 - рад/с2
Участок 2 - рад/с2;
Участок 3 - рад/с2.