- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
1.1. Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: масса, объем, работа, длина, площадь, температура.
Другие величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными.
Определение: Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым и обозначаетсяили просто0. Вектор обозначается так или , или выделяется жирным шрифтома. Направление вектора на рисунке указывается стрелкой
А Вс
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается: ,.
Определение: Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором. Длина его равна нулю, т. е. =0. Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.
Определение: Векторы иназываются равными, если они коллинеарны, одинаково направленные и их длины равны.
На рисунке изображены слева неравные, а справа - равные векторы и .
Всякие векторы можно «привести к общему началу», т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало в некоторой точке О. Такое приведение показано на рисунке ниже.
О
В связи с этим векторы называются свободными.
1.2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называются операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями, поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.
Сложение векторов.
Пусть даны два вектора и . Суммой+называется вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условии, что вектор приложен к концу вектора . (Правило треугольника.) Графически это выглядит так:
Сумму двух векторов можно найти по правилу параллелограмма, для этого вектор приложите к началу вектора, достройте полученную фигуру до параллелограмма. Диагональ, выходящая из начала векторов - есть вектор суммы, т.е. +=.
Замечание: Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора,, Сложиви, получим вектор+. Прибавив теперь к нему вектор, получим вектор++ =
Умножение вектора на число
Пусть дан вектор ≠ 0и число . Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору, имеет длину, равную, и направление такое же, как и вектор , если 0, и противоположное, если 0.
, (0) , (0)
Геометрический смысл операции умножения вектора на число0 можно выразить следующим образом: если 1,то при умножении вектора на число вектор «растягивается» в раз, а если 1 — «сжимается» в 1 раз. При 0 вектор изменяет направление на противоположное. Если 0 или =, то произведениесчитаем равным нулевому вектору.
Разность векторов
Под разностью векторов и понимается такой вектор , что
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью.
Можно вычитать векторы по правилу:–= + (– ), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .