13)Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Общее решение. Понижение порядка.

Теорема: Общим решением при а≤х≤b линейного однородного уравнения с непрерывными на отрезке а≤х≤b коэффициентами p_i(x),p₀(x)≠0 (i=1,2,...,n) является линейная комбинация отn линейно независимых на том же отрезке частных решений у_i(х) (i = 1, 2,...,n)(7) с произвольными постоянными коэффициентами C_i.

Док-во.

Надодок-ть,что явл. решением (7).То, что (10) явл. частным решением (7) следует из 3 св-ва частных решений лин. однор. уравнений.Но нужно док-ть более сильное утв:что (10) явл. общим решением ур(7) т.е содержит в себе все частные решения Ур(7) без исключений.

Т.к. при сформулируемых условиях (7) удовлетворяет условиям теоремы существования единственности решения, то нам достаточно показать, что постоянные в решении (10) всегда можно подобрать так, чтобы это решение удовлетворяло произвольно заданному начальному условию:

.-любые числа.

Чтобы убедиться в этом подставим (10) в каждое из начальных условий (11):

(12)

……………………………………..

Относительно постоянных(12) явл. линейной, неоднор., алгебраической системой.Определитель которой равен.

Т.К. у1,у2…явл. лин.нез. по условию на [a,b] коэффициентами, то по 2) св-ву определителя Варденмонда наш опрнделитель не равен 0. То по теореме Кронсера-Капелли сис(12) имеет решение и любых правых частях. ч.т.д.

След1: Макс. число лин.нез. частных решений лин. однор Ур.= его порядку.

След2:лин.нез. частных решений лин. однородного ур.n-ого порядка наз. его фундаментальной системой решеший.

Альтернативная формулировка теоремы выше6 общее решение лин. однор. ур. с непр. коэф-ми равно лин. комбинации его фундам. сис. решений.

16. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения). Частные решения линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+…+a_n-1y^/+a_ny=0(1)

,( где а0,а1…аn-действ.постоянные)

всегда можно искать в виде y=e^kx,

где k – некоторая постоянная. Так как y^/=ke^kx, y^//=k²e^kx, … , y⁽ⁿ⁾=kⁿe^kx, то подставляя в исходное дифференциальное уравнение имеем: (a₀kⁿ+a₁k^n-1+…+a_n-1k+a_n)e^kx=0.

Сокращая на необращающийся в нуль множитель e^kx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени, называемое характеристическим:

a₀kⁿ+a₁k^n-1+…+a_n-1k+a_n=0.(2)

Это уравнение определяет те значения постоянной k, при которых функция y=e^kx является частным решением линейного однородного уравнения (1). В зависимости от рода корней характеристического уравнения (2) возможен случай:

Если все корни(2) k₁, k₂,…,k_n характеристического уравнения действительны и различны

, то тем самым найдено n линейно независимых частных решений (3) исходного уравнения, то есть найдена его фундаментальная система решений.

(3)-лин. независимы на любом отрезке.То (3) образуют ф.с.р.(1)

Следовательно, , гдеC_i – произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения(1)

№7

Понижение порядка в линейных дифференциальных уравнениях n-го порядка.

Порядок (7) может быть понижен, если известно одно частное решение

этого уравнения. Для понижения порядка необходимо сделать замену:

Покажем , что (13) понизит порядок на 1, при этом новое уравнение u(x) будет линейным и однородным.

y=yz (14)

z=u (15)

Применим к (7) замену (14),

получим новое уравнение с z , которое является лин. и однородным.

z и ее производные входят линейно и однородно. Если все производные и саму функцию (14) подставим в (7) и приведем подобные, получим:

Т.к. функции y и z связаны равенством (14), то решение уравнения (7) соответствует.

Т.К. все функции 0 , подставимв (16), то получим

Делая замену (15):

У (18) порядок n-1,лин., однородное.

Пусть известно к штук решений- линейно независимых на [а.в] частное решение: уравнения (7). Покажем что в этом случае порядок (7) можем быть понижен на к-едениц, с сохранением линейн-ти и однородности урав-я.

- замена.

Получим (18)-лин. и однор.

Из (19) выразим u(x) и продифферен-цируем.

Если в нее подставлять , то получим

;;………….(20)

Покажем, что (20) линейно- нез. на [а,в].

Пусть противное, (20)- линейно-зависимо на [а,в]. То

Вычисляем от обеих частей определенный интеграл:

где ,.

Т.к. первообразная совпадет с функцией и используя формулу Ньтона- Лейбница, получим:

/*обе части тождества:

Это тождество невозможно т. к. линейно нез. на [a,b].

Взяв одно из частных решений , мы понизим порядок (7) на 1, получив (18)-лин. и однор., для этого ур. мы знаем к-1 частное решение (20)-лин. нез. на [a,b].

Берем одно из частных решений (20), понижаем порядок (18) еще на 1, получаем к-2 лин. нез. частных решений. Продолжая этот процесс к раз придем к уравнению n-k –лин,однор.

№ 9