Метод Симпсона
.docМетод Симпсона
Будем заменять подынтегральную функцию f(x) на частичном интервале интерполяционным полиномом второй степени. Для этого число разбиений должно быть четным – 2n. Итак, рассмотрим интервал от xi до xi+2, заменим подынтегральную функцию f(x) на этом интервале интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) - параболой, проходящей через узлы х0, х1, x2, (рис. 5.7), тогда
где Ri - погрешность вычисления интеграла.
Рис. 5.7. Метод Симпсона
Для записи полинома Р2(х) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (3.6) для трех узлов
(5.27)
где
разделенные разности; h - расстояние между узлами.
Введем новую переменную z = х – xi, тогда х = z + xi и полином (5.27) принимает вид
(5.28)
Теперь вычислим интеграл от полинома (5.28)
(5.29)
Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол.
Окончательная формула интегрирования по методу Симпсона для интервала [a,b] имеет вид:
Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапеций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции f(x) на интервале [x0, х2] с шагами h и 2h по формуле трапеций (5.20).
(5.30)
Интегралы (5.30) подставим в формулы (5.15) и (5.16) и получим уточненное значение интеграла
которое совпадает с формулой Симпсона (5.29). Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подинтегральную функцию f(x) в ряд Тейлора около точки х1 и проинтегрируем разложение почленно в интервале [xi,xi+2]
(5.31)
Суммируя разложение около точки x1 для функции f(x) в узлах x0 и x2 получим, что
тогда интеграл (5.31) принимает вид
Первое слагаемое в правой части формулы (5.32) совпадает с формулой Симпсона, значит, второе слагаемое является главным членом погрешности для интеграла на интервале [x0, x2]
Если интеграл вычисляется на интервале [x0, xn] путем разбиения на четное число интервалов [xj-1, xj], на каждой паре которых применяется формула Симпсона для узлов xj-1, xj, xj+1, то полная погрешность будет суммой правых частей соотношения (5.33). При малой величине шага h нa основании метода средних прямоугольников получим
тогда полная погрешность запишется в виде
(5.34)
Следовательно, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом в остаточном члене. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод Симпсона. Например [51], для функции f(x) = -25x4 + 45х2 - 7 формула трапеций при n=2 для интеграла в пределах [-1, 1] дает точный результат, равный 4, тогда как по формуле Симпсона получим результат, не совпадающий даже по знаку (-8/3).