Определение 1.12. Множество называется открытым, если

( , ) = { : ( , ) < }

Определение 1.13. Замкнутое множество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Утверждение. Если множество компактно ,то оно ограниченно и замкнуто. Пространство ( , ) компактно тогда и только тогда, когда : — вполне огра­ ничено и ( , ) — полное метрическое пространство[6].

Пусть и есть два непустых компактных подмножества метрического про­ странства . Тогда расстояние по Хаусдорфу, ( , ), между и есть минимальное число такое, что замкнутая -окрестность содержит и так­ же замкнутая -окрестность содержит .

Другими словами, если | | обозначает расстояние между точками и в

{ }

то ( , ) = max sup inf | |, sup inf | | .

Определение 1.14. Расстоянием между компактными множествами иназывается максимальная из двух величин max ( , ) и max ( , ), где ( , ) — расстояние от точки до множества , то есть до ближай­ шей к точке множества .

Критерий компактности

Пусть — метрическое пространство. Для компактности множества

необходимо, а в случае полноты и достаточно, чтобы > 0 существовала конечная -сеть для множества .

1.3. Изопериметрическая задача

Формулировка изопериметрической задачи звучит так:

Какой будет фигура максимальной площади при заданном периметре?

Это задача на плоскости и границей является замкнутая спрямляемая кривая.

8

Теорема 1.1. Фигурой максимальной площади при заданном периметре яв­ ляется круг.

Доказательство Доказательство можно осуществить доказав несколько лемм, следуя [1]:

Лемма 1.1. Существования фигуры максимальной площади.

Нужно доказать, что среди всех фигур периметра найдётся фигура макси­ мальной площади. Так как любую фигуру периметра можно поместить в квадрат со стороной , считаем, что наша фигура лежит внутри фиксирован­ ного квадрата со стороной .

Рассмотрим множество всех компактных подмножеств этого квадрата и введём на нём метрику Хаусдорфа.

Берём точку множества , наиболее удалённую от множества , и точку , наиболее удалённую от . Максимум из этих двух расстояний и называется расстоянием между множествами и . Так определённое расстояние удовле­ творяет трём условиям метрики. Получаем метрическое пространство, состоя­ щее из всех компактных подмножеств квадрата.

Рассмотрим подмножество этого метрического пространства, состоящее из всех фигур периметра . Множество не компактно и не замкнуто. Покажем, что можно ограничиться только выпуклыми фигурами периметра .

Для любой фигуры рассмотрим её выпуклую оболочку . По определению,

— это наименьшая выпуклая фигура, содержащая . Если фигура выпук­

ла, то = . Площадь не меньше площади , поскольку выпуклая оболочка

содержит в себе саму фигуру. Кроме того, периметр , напротив, не превосхо­

дит периметра . При взятии выпуклой оболочки на границе фигуры вместо каждой "вмятины"возникает отрезок, который имеет меньшую длину. Таким образом, мы заменяем каждую не выпуклую фигуру её выпуклой оболочкой, при этом периметр уменьшается, а площадь увеличивается. Теперь увеличим фигуру преобразованием подобия так, чтобы её периметр снова стал равен ,

9

при этом её площадь ещё более возрастёт. Получается, что мы можем заменить любую невыпуклую фигуру выпуклой того же периметра и большей площади. Итак, можно ограничиться множеством выпуклых фигур периметра .

Множество выпуклых фигур данного периметра , лежащих внутри данного квадрата, компактно. Это множество замкнуто. Если последовательность вы­ пуклых фигур периметра стремится к некоторой фигуре, то предельная фи­ гура также выпукла и имеет тот же периметр. В силу критерия компактности, достаточно для любого > 0 построить —сеть.

Для этого разобьём наш квадрат на 2 равных квадратиков и рассмотрим

множество всех фигур, состоящих из какого-то числа таких квадратиков. Это

√

множество является 2/ —сетью для множества выпуклых фигур. Для до­ казательства достаточно каждой выпуклой фигуре поставить в соответствие

фигуру, составленную из всех квадратиков, которые она пересекает. Расстоя­

√

ние между этими фигурами не превосходит 2/ . Остаётся взять достаточно

√

большое так, чтобы 2/ < . Так как при фиксированном периметре пло­ щадь непрерывно зависит от выпуклой фигуры, то из теоремы Вейерштрасса (непрерывная функция на компактном множестве ограничена и достигает свое­ го наибольшего и наименьшего значения в некоторых точках этого множества) следует существование фигуры наибольшей площади.

Лемма 1.2. Фигура максимальной площади выпуклая.

Пусть фигура — , её площадь обозначим через , а периметр через . Если фигура выпуклая, то это означает, что любой отрезок, соединяющий две точки фигуры , целиком лежит в .Допустим что фигура не выпуклая, то нашёлся бы отрезок с концами на границе фигуры, который целиком лежит вне . Отразив дугу границы фигуры , лежащую между точками и , симметрично относительно прямой , получим фигуру с тем же периметром, но с большей площадью, следовательно, не будет фигурой максимальной площади.

10

Из этого предположения следует следующая лемма:

Лемма 1.3. Любой диаметр фигуры максимальной площади делит пополам не только её периметр, но и площадь.

Назовём диаметром выпуклой фигуры любой отрезок, который делит её пери­ метр пополам.

Допустим, что найдётся диаметр , который делит на две фигуры неравной площади. Возьмём ту половину, которая имеет большую площадь (ясно, что её площадь /2), а другую половину уберём.Теперь отразим оставшуюся полови­ ну относительно прямой . Тогда получим симметричную фигуру, периметр которой по-прежнему равен (поскольку диаметр делил периметр по­ полам), а площадь больше, чем /2 + /2 = . Получаем, что не является фигурой наибольшей площади.

Лемма 1.4. Из любой точки границы фигуры максимальной площади диа­ метр виден под прямым углом.

Это значит, что если — диаметр, а — любая точка на границе, то \ = 90 . Предположим, что это не так, и \ ̸= 90 для какой-то точки . Диа­ метр делит фигуру на две половины. Уберём ту половину, которая не содержит точки . Согласно лемме 1.3, оставшаяся половина будет иметь площадь /2. Эта площадь состоит из трёх частей: площади треугольника и площадей двух сегментов, примыкающих к сторонам и . Приклеим эти сегменты к сторонам, а сами стороны раздвинем (или, напротив, сдвинем) так, чтобы угол стал прямым. Площади сегментов при этом не изменятся, а пло­ щадь треугольника увеличится. В самом деле, его площадь теперь равна

* /2, а была равна

12 * * sin \ < 12 *

Получили фигуру, площадь которой больше, чем /2. Теперь отразим её отно­ сительно прямой и получим фигуру периметра и площади большей, чем 11

, что приводит к противоречию.

Из 4 шага следует, что — это круг, поскольку окружность с диаметром

является геометрическим местом точек, из которых отрезок виден под пря­ мым углом.#

И так можно ответить на вопрос изопериметрической задачи: фигурой макси­ мальной площади при заданном периметре является круг.

12